数学浙江专用新设计大一轮讲义+习题：第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第8节

1、第8节函数与方程考试要求1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.I知识衍正体验回以教巧夯实基础知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)=0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y=f(x)满足：在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线；ff(b)<0；则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)

2、=0的根.2.二次函数v=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系A=b24ac2>0A=0A<02一次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象441u与x轴的交点(xb0),(x2,0)便，0)无交点零点个数210常用结论与易错提醒1 .不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).2 .由函数v=f(x)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图所示.所以f(a)f(b)<0是图象连续的函数y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.3 .若函数f(x)在a,b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b

3、)<0?函数f(x)在a,b上只有一个零点.基础自测1 .思考辨析(在括号内打或"X”)(1)函数f(x)=lgx的零点是(1,0).()(2)图象连续的函数y=f(x)(xCD)在区间(a,b)?D内有零点，则f(a)f(b)<0.()(3)若连续函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)<0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.()(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当xC(4,十却时，何有h(x)<f(x)<g(x).()解析(1)f(x)=lgx的零点是1,故错.(2)f(a)f(b)<0是连续函数y=f

4、(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)X(2)X(3)，(4)，2 .下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1解析由函数是偶函数，排除选项B,C,又选项D中函数没有零点，排除D,y=cosx为偶函数且有零点.答案A3 .(必修1P88例1改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由f'x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增，又f(1)=13<0,f(0)=e1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.答案B44.(2019北京东城区一模)函数

5、f(x)=42x的零点所在区间是()x11,A.2)B.5112)D.(3.2)解析f(x)的图象在(0,+oo)上连续，又f(x)在(0,+oo)上递减，且f(1)=2>0,3、8386725一f2!Q22=<<0.选C.233答案CB.(1, 2)D.(3, 4)5.函数f(x)=ax+12a在区间(一1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是解析(1)-a<b<c,.f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(ca)(cb)>0,由函数零点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点，又函

6、数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=lnx,h(x)=x+2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).法二易知f(x)=lnx+x-2在(0,+8)上为增函数，且f(1)=12=1<0,f(2)=ln2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法利用函数零点存在性定理：首先看函数v=f(x)在区间a,b上的图象是否连续

7、,再看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.x21B.(1, 2)D.(3, 4)【训练11已知函数f(x)=lnx习的零点为xo,则xo所在的区间是()A.(0,1)C.(2,3)x_21，一，解析.f(x)=lnx-qJ在(0,+8)上是增函数，_i又f(1)=ln1-g)Tn1-2<0,or1r1f(2)=ln2-Qj=ln2-1<0,f(3)=ln3-2>0.故f(x)的零点xoC(2,3).答案C考点二函数零点(或方程根)个数的判断，lln(

8、x-1)|,x>1,i-【例2】(1)(2019镇海中学模拟)已知函数f(x)=x-1+1x<1则万程f(f(x)222If(x)+4L。的实根个数为()A.3B.4C.5D.6函数f(x)=2x|logo.5x|1的零点个数为.解析(1)令t=f(x),则方程f(f(x)2.|f(x)+4匚0等价于f(t)2t2=0.在同3.一.一.一平面直角坐标系中作出函数v=f(x)与直线y=2x+2的图象，由图象可得有两，、一一3个父点，且f(t)2t2=0的两根分别为t1=0和1<t2<2.当t1=f(x)=0时，解得x=2;当t2=f(x)C(1,2)时，方程f(x)=t2

9、有3个不等实根.综上所述，方程f(f(x)-1x设g(x)=|log0.5x|,h(x)=gj,在同一坐标系下分别回出函数g(x),h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.答案(1)B(2)2规律方法函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点，令f(x)=0,有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数【训练2】一，.X2-2,x<0,的零点个数为(1)函数f(x)=2x

10、6+lnx,x>0(2)f(x)=2sinxsinx+2x2的零点个数为解析当x00时，令x22=0,解得x=表(正根舍).所以在(予0上有一个零点.，,，1当x>0时，f'x)=2+1>0包成立，所以f(x)在(0,+8)上是增函数.x又因为f(2)=2+ln2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+°0)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)f(x)=2sinxcosxx2=sin2xx2,则函数的零点个数即为函数y=sin2x与函数y=x2图象的交点个数，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案(1)2(

11、2)2考点三函数零点的应用_、一,1，一一，i【例3】(1)(2019绍兴调研)设函数f(x)=H-a4x+a+1有两个零点，则实数a的取值集合是.(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间0,2上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根，则a的取值范围为.1_14，一斛析(1)设-=t,则x=+1,则问题转化为函数g(t)=|ta|,+a3有两4个布点，即曲线y=|t2|+2与丫=+3有两个公共点.汪息到曲线y=|ta|+a4的顶点(a,a)在直线y=t上运动，直线丫=1与丫=彳+3有两个父点，作出函数的图象，则当y=|ta|+a的顶点(a

12、,a)在A(4,4)时，有a=4；当t<a且y=t422+22与丫=-+3相切时，有t2+(32a)t+4=0有两个相等实根，由A=(3-2a)216=0得a=2或2.综上，实数a的取值集合为1-2,7,41(2)由f(x4)=f(x)知，函数的周期T=4.又f(x)为偶函数，.f(x)=f(x)=f(4x),因此函数y=f(x)的图象关于x=2对称.又f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=lOgax有三个不同的实根.WSA.0/2+ftKJO由函数的图象(如图),f(6)<2,必须有f(10)>2,a>1.loga6<2,即loga10>2

13、,I.a>1.解得6<a<.10.故a的取值范围是(乖,回)、IT'L一答案(1)'2,2,4'(2)(乖，回)规律方法已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象,然后观察求解.e+a,x00,【训练3】已知函数f(x)=,(aR),若函数f(x)在R上有两个,3x-1,x>0零点，则a的取值范围是()B.( 8, 0)C.(1, 0)A.(OO,1)

14、D.1,0)已知函数f(x)=M x< m, ! 2-.x 2mx+ 4m,x>m,其中m>°.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是解析(1)当x>0时，f(x)=3x1有一个零点x=J3因此当x<0时，f(x)=ex+a=0只有一个实根,a=-ex(x<0),则一10a<0.2(2)在同一坐标系中，作出丫=g)与丫=b的图象.当x>m时，x2mx+4m=(xm)2+4mm2,.二要使方程f(x)=b有三个不同的根，则有4m-m2<m,即m23m>0.又m>0,解得m>3.答

15、案(1)D(3,+oo)I分层限时调练.iDMffiEE其一翔IM编噩程雌弟鬻基础巩固题组一、选择题1 .函数f(x)=3xx2的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,1)D.(-1,0)解析由于f(1)=2<0,f(0)=3°0=1>0,3f(1)f(0)<0.则f(x)在(一1,0)内有零点.答案D2x1,x<1,2 .已知函数f(x)=)则函数f(x)的零点为()J+lOg2x,x>1,.1A.2，0B.-2,0-1C.D.0解析当x<1时，由f(x)=2x1=0,解得x=0；当x>1时，由f(x)=1+log2x一

16、，11一，、，一，一，一，=0,解得x=2,又因为x>1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D3 .函数f(x)=2x2a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()xA.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析因为函数f(x)=2xxa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)=2x：a的一个零点在区间(1,2)内,则有ff(2)<0,所以(一a)(41a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.答案C4 .已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(卜x)只有一个零点，则实数人的值

17、是()1A.4C. 一3D.-8解析令y=f(2x2+1)+f(Ax)=0,则f(2x2+1)=f(卜x)=f(x；),因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2+1=x%即2x2x+1+人=0只有一个实根，则A=18(1+2)=0,解得仁-7.8答案C5 .(一题多解)已知函数f(x)=x22x+a(exC.2D.1解析 法一f(x)=(x-1)2+a(ex-1 + e1-x)-1,令 t = x1,则 g(t) = f(t+1) = t + a(e + e ) 1. g(1) = ( t)2+a(et+et) 1 =g(t),且 tC(00, +00).函数g(t)为偶函数. f(x)有唯一

18、零点，. g(t)也有唯一零点.又g为偶函数，由偶函数的性质知g(0)=0,1；2a1 = 0,解得 a = 2.法二 f(x) = 0? a(ex-1 + e-x+ 1) = x2+ 2x.ex-1 + e- "12%匕x+1 = 2,当且仅当x= 1时取“=”.+ex+1)有唯一零点，则a=()11A.2B.3X2+2x=-(x-1)2+1<1,当且仅当x=1时取“=”.若a>0,贝a(ex1+ex+1)>2a,1要使f(x)有唯一零点，则必有2a=1,即a=2.若a00,则f(x)的零点不唯一.故选C.答案C,一0,x<0,6 .已知函数f(x)=3xx

19、>0则使函数g(x)=f(x)+xm有布点的头数m的取值范围是()A.0,1)B.(00,1)C.(-oo,1U(2,+3D.(0°,0U(1,+3解析函数g(x)=f(x)+xm的零点就是方程f(x)+x=m的根，画出h(x)=f(x)x,x<0,+x=jx的大致图象(图略).e+x,x>0观察它与直线y=m的交点，得知当m&0或m>1时，有交点，即函数g(x)=f(x)+xm有零点.答案Dfex,x<0,7 .(2018全国I卷)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零Jnx,x>0,点，则a的取值范围是()A

20、.-1,0)B.0,+oo)C.T,+00)D.1,+00)解析函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程f(x)=xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y=xa有2个交点.作出直线y=-xa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，一a<1,解得a>-1,故选C.答案C8 .已知函数f(x)=x2+mx+n2x,x|f(x)=0=x|f(f(x)=0w?,则m+n的取值范围是()A.0,4)B.4, 8C.-4, 2D.(-2,8解析设xiCx|f(x)=0=x|f(f(x)=0,则f(xi)=f(f(xi)=0,f(0)=n=0,.f(x)=xmx=x

21、(x+m),.f(f(x)=f(x)f(x)+m=(x2+mx)(x2+mx+m),显然f(x)=0时，有f(f(x)=0,.f(x)=0,.7=0或乂=m,又x(x)=0=x|f(f(x)=0w?,当m=0时，f(x)=x2,xf(x)=0=x|f(f(x)=0=0w?;当mw0时，x|f(x)=0=x|f(f(x)=0=0,m,但要使f(x)=0与f(f(x)=0具有相同解，则方程x2+mx+m=0无解，A=m24m<0,解得0<m<4.综上所述，0<m<4,0<m+n<4,故选A.答案A二、填空题9 .在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函

22、数y=|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为.解析函数y=|xa|1的图象如图所示，因为直线y=2a与函数y=|x-a|11的图象只有一个父点，故2a=1,解得a=2.1答案一210 .(2019苏锡常镇四市调研)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间1,2上有(1两个不同的零点，则一二的取值范围为af(1).斛析设f(x)=a(xX1)(XX2),1<X1<X2<2,则=(1X1)(1X2)C0,1).a答案0,1)2X,x<a,4一-一，el11 .已知函数f(x)=2x>a右f(x)是单调函数，则头数a的取值沱围是;若存在实数b,使函数

23、g(x)=f(x)b有三个零点，则实数a的取值范围是.解析因为函数丫=2、在定义域内是单调递增函数，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>0且2%a2.在同一坐标系下作出函数y=2、与y=x2的图象，由图可知，实数a的取值范围为2,4.函数g(x)=f(x)b有三个零点等价于函数y=f(x)与y=b的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数y=f(x)与y=b的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b,使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，实数a的取值范围为(8,0).答案2,4(8,0)112 .已知f(x)=1m|x|,右f(x)有两个布点，则头数m的值为;

24、右f(x)X十2有三个零点，则实数m的取值范围是.1一1斛析函数f(x)的专点，即为方程-m|x|=0即一=冈(x+2)(xw2)的头数根，x+2''mx2+2x,x>0,令g(x)=|x|(x+2)=j2其图象如图所示，当m=1时，g(x)图象与11y=而有2个父点；当0<m<1,即m>1时，有3个父点.答案1(1,+8)xsinx,0<x<tt,13 .(2019北京丰台区一模)已知函数f(x)=g(x)=f(x)kx(kCR).L“x,x>Tt,当k=1时，函数g(x)有个零点；若函数g(x)有三个零点，则k的取值范围是.解析(1

25、)当k=1,0<x<九时，g(x)=f(x)x=xsinxx=0,得sinx=1,即x=5；x学九时，g(x)=f(x)x=Wx=0,无解.综上：当k=1时，函数g(x)有1个零点；xsinxkx,0<x<tt,(2)g(x)=f(x)kx=Nxkx,x>为当0<x<九时，xsinxkx=0,得k=sinx,k(0,1)时，有两个根；当x学九时,或kx=0,彳3k=C,时有一个根，综上：kCJo,时，函数g(x)有三个零点.答案(1)1(2)0,二14 .(2019杭州高级中学测试)已知函数f(x)满足：f(1x)=f(1+x),且当x<1时,f

26、(x)=x2+a(aCR),若存在实数tC0,1,使得关于x的方程|f(x)|=t有且仅有四个不等实根，则实数a的取值范围是.解析由f(1x)=f(1+x)知函数f(x)关于直线x=1对称.当a>1时，|f(x)|=f(x户f(0)=a>1,函数y=|f(x)|的图象与直线y=t无公共点，不满足条件；当a=1时，函数y=f(x)|的图象与直线y=t最多只有两个公共点，不满足条件；当0&a<1时，如图1所示，函数y=|f(x)|的图象与直线y=t可能有四个公共点，满足条件；当1<a<0时，如图2所示，存在t=0,使函数v=f(x)|的图象与直线y=t有且仅有

27、四个公共点，满足条件；当a01时，如图3所示，存在实数tC0,1,使函数y=f(x)|的图象与直线v=t有且仅有四个公共点，满足条件.综上可知，实数a的取值范围是(一0°,1).答案(一31)能力提升题组1一|x111 、一，x(一oo,=g(1), (1 , 1)是两函数图象的一个父点；. f(3) =2f(1) =2, g(3) =3,潴足 f(3)>g(3),),15 .设函数f(x)=，1则函数F(x)=xf(x)1的零点个数2f(x-2),xC2,+00),为()A.4B.5C.6D.71 .解析作出函数y=胞)与丫=g(x)=-的图象如图，当x<0时，y=f(

28、x)单调递增，x1 1一，.、，一一y=为减函数，此时函数f(x)与y=g(x)=:只有一个父点.f(1)=1,g(1)=1,；f(1)xx两函数的图象在(2,4)内有两个交点；f(5)=1f(3)=1,g(5)=1,满足f(5)>g(5),245111一两函数的图象在(4,6)内有两个父点；;f=2f(5)=8，g(7)=7,潴足f(7)<g(7),两函数的图象在(6,8)内没有交点；f=1K7)=得g(9)=1,满足f(9)<g(9),2169.二两函数的图象在(8,10)内没有交点，即当x>7时，包有f(x)<g(x),两函数的图象没有交点.综上所述，两函数

29、的图象的交点个数为6个，即函数F(x)=xf(x)1的零点个数为6个.答案Ckx+1,x<0,16.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)+1的零点个数的判断正确的Jnx,x>0,是()A.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点B.无论k为何值，均有2个零点C.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点D.无论k为何值，均有4个零点1解析(1)当x>1时，lnx>0,；y=f(f(x)+1=ln(lnx)+1,此时有零点x=e>1;(2)当0<x01时，Inx<0,.y=f(f(x)+1=kInx+1.当k>

30、0时，有一个零点；当k<0时，无零点；(3)当x00,kx+100时，y=f(f(x)+1=k2x+k+1.当k+10k>0时，有一个零点x=-T2-；当k<0时，k2x+k+1=k(kx+1)+1>0,无零k点；(4)当x00,kx+1>0时，y=f(f(x)+1=ln(kx+1)+1.当k>0时，有一个零点x=111i；当k<0时，无零点.综上，当k>0时，有4个零点，当k<0时,ke只有一个零点.答案AInx,x>1,17.已知函数f(x)=/fw+1)式e为自然对数的底数)，则f(e)=,函数6,x<1y=f(f(x)1

31、的零点个数为.解析f(e)=lne=1;函数y=f(f(x)1的零点个数为方程f(f(x)=1的根的个数，则由lnx=1(x>1),得x=e,于是f(x)=e,则由lnx=e(x>1),得x=ee；或由ef(x|+1)=e(x<1),得f(x|+1)=1,所以ln(|x|+1)=1,解得x=e1(舍去)或x=1e；由ef(|x|+1)=1(x<1),得f(|x|+1)=0,所以ln(|x|+1)=0,解得x=0,所以f(x)=0,只有lnx=0(x>1),解得x=1.综上可知函数y=f(f(x)1有x=ee,1-e,1共3个零点.答案1318.(2018天津卷)已知a>0,函数f(x)=)x2+2ax+a,x<0,2若关于x的方程f(x)x+2ax2a,x>0.=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是解析当x00时，由x2+2ax+a=ax,得