2017年考研数学二真题与解析

1、WORD格式2021年考研数学二真题一、选择题1 8 小题每题4 分，共 32 分1cosx , x0在 x0 处连续，那么1假设函数f (x)axb,x01 Bab1 Dab 2 Aab Cab 022专业资料整理WORD格式【详解 】 lim f (x)x0必须满足1b2a2设二阶可导函数1 A f ( x) dx10 Cf ( x)dx1【详解 】注意到条件lim 1cos x1 x1lim2， limf (x)bf (0) ，要使函数在 x0 处连续，x0axx 0ax2ax0ab1所以应该选 A 2f (x) 满足 f (1)f ( 1)1， f (0)1 ，且 f( x)0 ，那么

2、01f ( x)dx 0B 11f ( x)dx01f (x) dx0D 1f ( x)dx0f(x)0 ，那么知道曲线f ( x) 在1,0, 0,1 上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然专业资料整理WORD格式当 x1,0 时，f (x)2x1，当x0,1 时，f (x)2x1，而且两个式子的等号不是处处成立，1f ( x) dx01)dx11)dx0 所以选择B否那么不满足二阶可导所以( 2x(2x110当 然 ， 如 果 在 考 场 上 ， 不 用 这 么 详 细 考 虑 ， 可 以 考 虑 代 一 个 特 殊 函 数 f ( x)2x2 1 ， 此 时01 ,11 ，可判断出选项A ，

3、 C，D 都是错误的，当然选择B希望同f ( x)dxf (x)dx1303学们在复习根底知识的同时，掌握这种做选择题的技巧3设数列xn收敛，那么 A当lim sin xn0 时， lim xn0 B当lim( xnxn )0 时， lim xn0nnnn(C当lim( xnxn2)0 时， lim xn0 D当lim( xnsin xn )0 时，lim xn0nnnn【详解 】此题考核的是复合函数的极限运算法那么，只有D是正确的其实此题注意，设lim xnA，那么nlimsinxnsin A,lim( xnxn ) AA ,lim(xnxn2 )AA2 ,lim( xnsin xn )As

4、in Annnn分别解方程 sin A0, AA0,A A20, Asin A0 时，发现只有第四个方程Asin A 0 有唯专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式一解 A0 ，也就是得到 lim xn0 n微分方程 y4 y89e2 x (1cos2x) 的特解可设为y* A Ae2 xe2 x ( B cos2x C sin 2x)B Axe2 xxe2x (B cos2 xC sin 2x) CAe2 xxe2x (B cos2xC sin 2x) DAxe2 xxe2x (B cos2 xC sin2x)【详解 】微分方程的特征方程为r 24r80，有一对共轭的复数根r 2

5、2i 所以12 不是特征方程的根，所以对应方程y4 y89e2 x的特解应该设为 y1*Ae2 x；而222i是 方 程 的 单 根 ， 所 以 对 应 方 程 y4y89e2x cos2x的特解应该设为y2*2 x( B cos2xC sin 2x)； 从 而 微 分 方 程 y4 y8 92xc o xs的2特)解 可 设 为xee ( 1y*y1 *y2 *Ae2xxe2 x ( B cos2xC sin 2x) ，应该选C5设f (x, y)具有一阶偏导数，且对任意的( x, y) 都有f (x, y)0,f ( x, y)0 ，那么xy Af (0,0)f (1,0)B f (0,0

6、)f (1,1) Cf (0,1)f (1,0) Df (0,1)f (1,0)【详解 】由条件对任意的( x, y) 都有f ( x, y)0,f ( x, y)0 可知 f (x, y) 对于x是单调增加的，xy对 y 就单调减少的 所以 f (1,1)f (1,0)f (0,0),f (1,1)f (0,1)f (0,0),f (0,1)f (0,0)f (1,0) ，只有第三个不等式可得正确结论D，应该选 D6甲、乙两人赛跑，计时开场时， 甲在乙前方10单位： 米处，如图中， 实线表示甲的速度曲线v v1 (t )单位：米 /秒，虚线表示乙的速度曲线vv2 (t) 单位：米/秒，三块阴

7、影局部的面积分别为10,20,3 ，计时开场后乙追上甲的时刻为t0，那么 A t010 B15 t020 Ct025 D t025S(t)T2【详解 】由定积分的物理意义： 当曲线表示变速直线运动的速度函数时，v(t )dt 表示时刻 T1,T2T1内所走的路程此题中的阴影面积S1,S2 , S3分别表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 t25 时乙追上甲，应该选C专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式0007设A为三阶矩阵，P1, 2, 3为可逆矩阵， 使得P1AP 010，那么002A12B223C2 3D1A(2123)3专

8、业资料整理WORD格式【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目可知000000A(1,2,3) AP P0101,2,30100, 2,2 3002002所以A(1 23 )A 1A 2A 322 3，所以可知选择B2002101008矩阵A021， B020， C 020，那么001001002 AA,C相似，B,C相似 BA, C相似，B,C不相似 CA, C不相似，B,C相似 DA,C不相似，B, C不相似【详解 】矩阵 A, B 的特征值都是122,312 的情况是否可对解化，只需要关心000对于矩阵 A，2E A001，秩等于 1，也就是矩阵 A 属于特征值2 存在两个线性无关的特001

9、征向量，也就是可以对角化，也就是AC010对于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2，也就是矩阵 A 属于特征值2 只有一个线性无关的特001征向量，也就是不可以对角化，当然B,C 不相似应选择B二、填空题此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分 . 把答案填在题中横线上9曲线yx(1 arcsin 2) 的斜渐近线为x解： lim yx(1arcsin 2)x) lim x arcsin 2limx1，lim(y2 ，所以斜渐近线为 y x 2 xxxxxxx10设函数y y( x)由参数方程xt et确定，那么 d 22y |t 0ysin tdx专业资料整理WORD格式3专业资料整理W

10、ORD格式dcost【详解 】 dycostd 2 y1 et(1 et )sin tet cost，所以 d 2 y1,dt|t 0dx 1 etdx2dx(1 et ) 3dx 28 dt11ln(1x)2 dx.0(1x)【详解】ln(1x)2dxln(1x)d1ln(1x) |012dx10(1x)01 x1x0 (1x)12设函数f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且df (x, y) yey dxx(1y)eydy ，f (0,0) 0，那么f ( x, y)【详解 】df ( x, y)yeydx x(1y)ey dyd ( xyey ) ，所以 f (x, y)xyeyC

11、，由f (0,0) 0，得 C0 ，所以( ,)yfx yxye1311 tan xdxdyyx0【详解 】交换二重积分的积分次序得：tan x dytan xdxln cos xln cos1.dy1tan x dxdx111x10yx00x00专业资料整理WORD格式41214设矩阵A12a 的一个特征向量为311【详解 】根据特征向量的定义，有11 ，那么a2专业资料整理WORD格式412111A12a113 2a，解得 a1311222三、解答题15此题总分值 10 分xxtet dt求极限 lim03x 0x【详解 】令 xtu ，那么 txu , dtdu ，xxtet dtxue

12、xu du00xtxxuxuxueduuedute dtexex2lim0lim0lim 0limx 0x3x 0x3x 0x3x 03 x3216此题总分值10 分专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，y f(ex ,cosx) ，求dy|x 0， d 2 y|x 0dxdx2【详解 】 dyxxx,cos x)(dy|xf1(1,1)；dxf1 (e,cos x)ef 2 (esin x) ，dx0d 2 yxx,cos x)xxxxcos xf 2x,cos x)dx2ef1 (ee( f11( e ,cos x)esin xf1

13、2 ( e ,cos x)(esin xex f21 ( ex,cos x)sin2xf22 (ex ,cos x)d 2 y|x 0f1 (1,1) f11(1,1)f2 (1,1)dx217此题总分值10 分求 limnk2 ln 1knk 1nn【详解 】由定积分的定义nkklim 1nk ln 1k1limln 1x ln(1 x)dxn1 n2nnn k 1nn0k11x)dx212ln(14018此题总分值 10 分函数 y( x) 是由方程x3y33x3y20 【详解 】在方程两边同时对x 求导，得3x23 y2 y 3 3y 0 1在 1两边同时对x 求导，得2x 2 y( y

14、 ) 2y2 yy 02(xy( y ) 2 )专业资料整理WORD格式也就是 y1y2专业资料整理WORD格式令 y0 ，得 x1 当x1时， y 1 ；当 x1 时， y20112当 x11时，y0 ， y10 ，函数 yy( x) 取极大值y11 ；当 x21 时，y0 ， y10 函数 yy( x) 取极小值y20 19此题总分值 10 分设函数 f ( x) 在区间0,1 上具有二阶导数，且f (1)0 ， limf (x)0 ，证明：x 0x专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式 1方程f (x)0 在区间0,1 至少存在一个实根； 2方程f (x) f(x)( f(

15、x)20 在区间0,1 内至少存在两个不同实根证明： 1根据的局部保号性的结论，由条件limf ( x)0 可知，存在 01，及x(0, ) ，使得x 0x1f (x1)0 ，由于f ( x)在 x1,1上连续，且 f ( x1 )f (1) 0 ，由零点定理，存在( x1,1)(0,1) ，使得f ()0 ，也就是方程 f (x)0 在区间0,1 至少存在一个实根； 2由条件limf (x)可知 f(0) 0，由1可知 f ( )0 ，由洛尔定理，存在(0, ) ，使得x0x 0f ()0；设 F ( x)f ( x) f( x) ，由条件可知 F ( x) 在区间0,1上可导， 且 F (

16、0)0,F()0,F()0 ，分别在区间0,上 对 函 数 F (x)使用尔定理，那么存在 1(0,)(0,1),2( ,)(0,1), 使 得12, F( 1)F( 2 )，0也就是方程f (x) f( x) ( f( x) 20 在区间 0,1内至少存在两个不同实根20此题总分值 11 分平面区域 D(x, y) | x2y22 y，计算二重积分(x1)2dD20【详解 】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知所以xdD( x1)2 d( x21)dd2sin( r 2 cos21)rdr0DD0024sin4cos22sin 2d4(4sin 44sin 62sin 2

17、)d054其中利用瓦列斯公式，知0sin 2d1,sin 4d313 ,sin 6d531522042806421621此题总分值 11 分设 y( x) 是区间0,3上的可导函数， 且 y(1)0 点 P 是曲线 L : yy( x) 上的任意一点， L 在点 P 处的2切线与 y 轴相交于点0,YP，法线与 X 轴相交于点XP,0假设 XPYp，求L上的点的坐标( x, y)满足的方程专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式【详解 】曲线过点P( x, y) 的切线方程为Yy(x)y (x)( Xx) ，令 X 0，得Yp( )xy( )；y xx曲线过点 P( x, y) 的法

18、线方程为 Yy( x)10，得Xpx yy ( x) ( X x) ，令 Yy ( x)由条件 XPY ，可得微分方程yxyxyypdyxyy1标准形为 yx，是个一阶齐次型微分方程dxxyy1x设 yu ，方程化为 ux duu1，整理，得 x du1u 2xdxu1dx1u别离变量，两边积分，得arctan u1 ln uln xln C2由初始条件 y(1)0 ，得 x1, y0, u0 ，确定常数 C1所以曲线的方程为arctan y1 ln yln x x2x22此题总分值 11 分设三阶矩阵 A1, 2,3有三个不同的特征值，且3122 . 1证明：r ( A)2 ； 2假设12 , 3，求方程组Ax的通解【详解 】 1证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是r ( A)1假 假设 r ( A )1时 ，