重庆大学高数(工学下)期末试题五(含答案)

1、WORD格式室教试考密名姓弊作绝拒、纪考号肃学严、信守实封级诚、年争竞平公班、业专线院学*大学"高等数学工学类"课程试卷2020学年第学期开课学院 :数统学院课程号 :考试日期 :考试方式：考试时间 :120分题号一二三四五六七八九十总分得 分考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校观察,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等 ,属严重作弊 ,开除学籍 .一、选择题 (每题 3 分 ,共 18 分 )1. 如果a, b为共线的单位向量 ,那么它们的数量积a b().(A)1(B)0(C)2(D) cos(a,b )知识点 :向

2、量的数量积 ,难度等级 :1.答案 :D分析 : a b | a | b |cos(a, b) = cos(a, b).2. 微分方程x2y1 的通解是 ().(A)C1y1(B) yCxx*大学 "高等数学工学类"课程试卷第1页共1页(C) yC(D) y11Cxx知识点 :微分方程 ,难度等级 :1.答案:D分析 :将方程改写为dy12 , 并积分,得通解 y1C, 故应dxxx选(D).3. 设空间区域：x2y 2z2R2, 那么x2y 2z2 dV ().(A)R4(B)4R4;(C) 2R4(D)2 R433知识点 :三重积分计算 ,难度等级 :2.答案: A4假

3、设L是上半椭圆xa cost取顺时针方向 ,那么ydxxdy 的值为yb sin tL().(A)0(B)ab(C)ab(D)ab2知识点 :对坐标的曲线积分 ,难度等级 :1.答案: C分析: 题中半椭圆面积为ab, 要用格林公 式,添有向线段2L1 : y 0( x : a a).2dxdyab,0. 应选C.LLDL115. 设 函 数f ( x) , x连0续 , 并 对x0的任意闭曲线L,有命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制专业资料整理WORD格式*大学2021 版试卷标准格式专业资料整理WORD格式4x3 ydxxf ( x)dy 0, 且 f (1)2, 那么 f ( x

4、)().L(A) 4x312x224 x 24(B)4 x312x224 x 24(C) x31(D) x31x知识点 :对坐标的曲线积分 ,积分与路径无关 ,微分方程 .难度等级 :3.答案 :D分析 : 由条 件 知 , 积 分 与路 径 无关 , 有(4x3y)( xf ( x) .即yx4 x3f ( x)xf ( x). A,B选项显然不满足方程,而C含常数,也不能满足方程 ,应选 D.验证 D 满足 ,或用一阶线性微分方程求出为D.6. 曲 面zx2y2包 含 在 柱 面x2y22x 内 部 那 部 分 面 积().(A)(B) 2(C) 22(D) 3知识点 :曲面面积 ,难度等

5、级 :2.答案 :B分析 : 在xOy投影区域D : x2y22x, 化为二重积分为2dxdy =D2 ,选B.*大学"高等数学工学类"课程试卷第 1 页 共 1 页二、填空题 (每题 3 分 ,共 18 分)n7. 级数n2的和为 _.n 1 (2n)!知识点 :级数的和 .难度等级 :2.答案 :e分析 :n2nn1e.n 1 (2 n)!n 1 n!n 1 (n1)!8.其中 c 为螺线xa cost,的一(x2y2z2 )dsyasin t, (0 t 2 )_,cabt.段 .知识点 :对弧长的曲线积分 ,难度等级 :1.答案： 2(3a24 2 b2 )a2b2

6、 .3解: 弧长的微分为dsa2b2 dt , 于是(x2y2z2 )dsa2b22(a2b2t 2 )dt2 (3a24 2b2 ) a2b2 .0c39. 过点 A (1,2, 1) 和 B ( 5,2,7) 作一平面,使该平面与x轴平行,那么该平面方程为 _.知识点 :平面方程 ,难度等级 :2.答案 : y20.ijk分析 :平面的法向量nAB ,且 ni,取 n AB i606(0,6,0), 过100专业资料整理WORD格式*大学2021 版试卷标准格式专业资料整理WORD格式点 A (1,2,1), 平面方程为0 ( x 1)6 ( y 2) 0 ( z 0) 0, 即y 2 0

7、.10. 函数uxyz在点 (1,2, 1)处沿a(1,2, 2) 方向的方向导数为 _.知识点 :函数的方向导数 .难度等级 :1答案：1.6解 :a (1,2, 2)cos1 ,cos2 ,cos2 .333uy zx yz11;x (1,2,1)(1,2,1)2ux yzln x zyz10;y (1,2,1)(1,2,1)uxyzln x yz ln y0.z (1,2,1)(1,2,1)u111.a23611.设 为平 面3x2 y23z 6在第 一卦限 的 局部的上 侧,将RdxdyPdydzQdzdx 化 为 对 面 积 的 曲 面 积 分 的 结 果 为_.知识点 :两种曲面积

8、分之间的转换.难度等级 :2.答案 :3223( PQR)dS.555分析 :第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为3,2,2 3 , 长度为5故得结果.*大学"高等数学工学类"课程试卷第 1 页 共 1 页12. 设是圆锥面 zx2y2被圆柱面x2y 22ax 所截的下局部,则 ( xy yz zx)dS _.知识 :对面积的曲面积分 ,对称性 .难度等级 :3.答案 :642a4 .15分析 : 曲面关于x轴对称 , xyyz 为关于y的奇函数,故只需算zx的积分值,2 a cos64zxdSx 2y 2 x

9、 2 dxdy2d2r 3 cos dr2 a 4 .D xy2015三、计算题 (每题 6 分 ,共 24 分)13. 计算积分(2a y)dx xdy,其中c为摆线cxa(tsint), ya(1 cost) (0t2 )的一拱 .知识点 :对坐标的曲线积分 ,难度等级 :2分析 :了积分路径的参数方程,直接代入计算积分 .解 :由题设 dxa(1 cost) dt, dya sin tdt. 于是(2a y) dx xdy2cost) a(1 cost) a(t sin t )a sin t dt(2 a a(1c0专业资料整理WORD格式*大学2021 版试卷标准格式专业资料整理WOR

10、D格式a22t sin tdt0a2 t costsin t202a2 .14. 求x sin d ( x32x2 coscos ) dx 0 的通解.知识点 :微分方程 ,变量代换 ,一阶线性微分方程 .难度等级 :2分析 : sin dd cos ,假设令 cosz ,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为x sindcos dxx 22 cos d*dx .令 ycos,那么 dyxsin dcos dx.于是方程化为xx2dyx.2 xydx这是一阶线性非齐次方程.由通解公式y e x2 ( xex2 dx C)1Ce x2.2故 cos1 xCxe x2.215. 计算xdyd

11、zz2 dxdy是 由 曲 面 x2y2R2及 平 面x2y2z2 ,其中z R, zR( R 0所)围成立体外表外侧.知识点 :对坐标的曲面积分 ,高斯公式 .难度等级 :3分析 :利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式 ,并注意对称性 ,知*大学"高等数学工学类"课程试卷第 1 页 共 1 页z2 dxdy2z( x2y2 )2 dV 0.x2y2z2( x2y2z2)又xdydzR 2y 2dydzR 2y 2x2y2z2R2z2R2z2 dydz122R 2y 2R 2z 2D yz2R12 dzRR 2y2 dyR R2zR21arctanz RR2R 2RR

12、22R.xdydz z2 dxdy2R.x2y2z2216.计算第二类曲线积分y2dxz2 dyx2dz, 其 中L为 球 面Lx 2y 2z2R2与柱面对 x 2y 2Rx( z0, R0) 的交线,其方向是面对着正 x 轴看去是反时针的.知识点 :对坐标的曲线积分 ,斯托克斯公式 ,对称性 .难度等级 :3分析 : 利用斯托克斯公式 ,合一投影 ,并注意对称性的使用 .dydzdzdxdxdy解:Ly2 dx z2dy x2 dzxyzy2z2x2专业资料整理WORD格式*大学2021 版试卷标准格式专业资料整理WORD格式2zdydzxdzdxydxdy2( xxyy)dxdyR 2x2

13、Dxyy 22xdxdyDxy(Dxy关于x轴对称 , f (x,y)xyy是关于y的奇函数)R2 x2y222 cos dR cos2 drr204R3 2 cos4d30R3 .4四、解答题 (每题 6 分 ,共 12 分 )117判断级数(en11 ) 的敛散性.n 1n知识点 :级数敛散性的判断 .难度等级 :2分析 :取1用比较判别法的极限形式 .n1 n211en1ex1 xex1 1解: lim1nlimx2lim.nx 0x 0 2x2n2*大学"高等数学工学类"课程试卷第 1 页 共 1 页1211)收敛.由于收敛 ,故级数(en1n 1 nn 1n18求

14、函数zx2 3y22x 在闭域 D(x, y) | x2y21 上的最大值94和最小值 .知识点 :二元函数在闭区域上的最值.难度等级 :2分析 :先求函数的驻点 ,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点 .解:由zx2x2 0得 D 内驻点 (1,0)且, z(1,0)1.在边界x2y21上zy6y094z11 x22x 123 x 3 .3z12 x2 0.3z1 ( 3) 15z1 (3) 3.比较后可知函数 z 在点 (1,0) 取最小值 z(1,0)1在点 ( 3,0)取最大值 z( 3,0)15.五、 证明题 (每题 6 分,共 12 分)19设函数F ( x, y,

15、 z)具 有一阶连续偏导数 ,且对 任意实数t有F (tx,ty,tz)tk F ( x, y, z)(k 是自然数),试证曲面F ( x, y, z)0 上任一点的切专业资料整理WORD格式*大学2021 版试卷标准格式专业资料整理WORD格式平面都通过一定点 (设在任一点处 ,有Fx2Fy2Fz20. ).知识点 :齐次函数 ,切平面 .难度等级 :2分 析 : 曲 面F ( x, y, z)在0一 点( x0, y0, z0的)切 平 面 方 程 为Fx ( x x0 ) Fy ( y y0 ) Fz (z z0 ) 0, 求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0) 满足方程.证明 :由

16、条件可得xFxyFyzFzkF .曲面上点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为F( xx)F(yy)F (z)z0 .x0y0z0即xFxyFyzFzx0 Fxy0 Fyz0 FzkF ( x0 , y0 ,z0 )0.易知 x0, y0, z0 满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点0,0,0 .20. 设Pn0, Pn单调增 且1收敛.,n 1 Pn证明 :(1)unn单调减 .P2P1Pn(2) u2n收敛.n 1*大学"高等数学工学类"课程试卷第 1 页 共 1 页知识点 :级数敛散性的判断 .难度等级 :2证:(1)un 1unn1nP1

17、P2Pn 1P P2Pn1(n1)(P1P2Pn ) n(P1P2Pn 1 )(P1P2Pn )( P1P2Pn 1)P1P2PnnPn10( PPP )(PPP)12n12n 1unn单调减 .P2P1Pn(2)u2 nP22nP2n2n2 ,P1nPnPn而1收敛 ,由比较判别法 ,u2n收敛 .n 1 Pnn1六、 应用题(每题 8 分,共 16 分 )21. 设在xoy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片占有平面闭域D( x, y) | x2y2R2 , y0, 过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为 m 的质点P, OPa. 求半圆形薄片对质点P的引力知识点 :平面薄片对质点的引力 ,难度

18、等级 :3分析 : 由引力公式 ,建立二重积分计算解 : 设P点的坐标为(0,0, a).薄片的面密度为M2M1R2R2 .2专业资料整理WORD格式*大学2021 版试卷标准格式专业资料整理WORD格式*大学"高等数学工学类"课程试卷第 1 页 共 1 页设所求引力为 F( Fx , Fy , Fz ).知识点 :微分方程模型 .难度等级 :2由于薄片关于 y 轴对称所以引力在 x 轴上的分量Fx0,而分析 :据牛顿第二定律建立微分方程 .FyG Dmyd解 :船所受的力 = 向前推力 -水的阻力 = 0kvn , 加速度为(x2y2a2 ) 3/2dv . 于是,由题设有R2sindtm Gddm dv00(2a2 ) 3/2kvn , v |t 0v0.dtR2设距离为 xx( t) ,那么上述方程化为mGsinda2 )3/2 d00(2dvdvdxdvn2Rmmmvkv .dtdxdt2mG0(2a2 ) 3/2ddx故有 mv 1n dvkdx.a2R24GmMRRR2(lnaa2R2