数与式地运算、因式分解(教师版)

1、WORD格式数与式的运算一、乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： 平方差公式(ab)(ab)a2b2； 完全平方公式(ab)2a22abb2我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式： 立方和公式(ab)(a2abb2 )a3b3； 立方差公式(ab)( a2abb2 )a3b3； 三数和平方公式(abc)2a2b2c22(abbcac) ； 两数和完全立方公式(ab)3a33a2b 3ab2b3； 两数差完全立方公式(ab)3a33a2b3ab2b3【例 1】计算：(7x)(497x x2 ) (1a)(1a)(a 2a1)( a2a1)(3)(abc )(abc)(4)( x2)2

2、y2 ( x2)2y2 答案： 1x334321a6 3acb2ac(4)x42x2 y2y48x28y216例题的设计意图(1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式3 4利用整体代换思想简化运算。二、根式式子a (a0) 叫做二次根式，其性质如下：a (a0)(1) (a )2a(a0)(2) a2| a |0 (a0)a (a0)(3)abab( a 0,b0)bb0,b0)(4)( aaa三、分式当分式 A 的分子、分母中至少有一个是分式时，A 就叫做繁分式，繁分式的化简常用B(1) 利用除法法那么；(2)B以下两种方法：利用分式的根本性质【例 2】化简12323 2x1xx1xx

3、专业资料整理WORD格式例题的设计意图（ 1考察根式的性质（ 2繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快（ 1解法一：因为2222323232232323222232323426又23230 ，所以23236解法二：22342332312232131316222222234233231223213131622222故23236解法一：利用到aa2和 a(a )2，先计算原式的平方，然后再开方 2解法一 ：原式xxxxx( x1)x1=(1 x) xxx2x xx2x1 xxxx1x 1x2( x 1)(x 1)x 1xxxxx( x1)x1解法二 ：原式 =(1x)xx(1x)xx2xx

4、xxx1xx211( xxx)x说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二那么是利用分式的根本性质AAm 进展化简一般根据题目特点综合使用两BBm种方法因式分解专业资料整理WORD格式因式分解是代数式的一种重要的恒等变形， 它与整式乘法是相反方向的变形 在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的根本技能。专业资料整理WORD格式因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完全平方公式 )外，还有公式法 (立方和、 立方差公式 )、十字相乘法、 求根法和分组分解法等等。一、公式法 ( 立方和、立方差公式 )

5、【公式1】 a 2b 2c 22ab2bc2ca( ab c) 2【公式2】 a33a2b 3ab2b3(ab)3【公式3】 a33a2b 3ab2b3(ab)3【公式4】 a3b3(ab)(a2abb2 )【公式5】 a3b3(ab)( a2abb2 )【例 1】把以下各式分解因式： 8x3 27 y3； 4( x y)31 ( x y)3；2 8x336x2 y54xy227 y3=； x7xy6；【答案】 1(2 x 3 y)(4 x26xy9 y2 )21( x 3y)(7 x26xy3 y2 )23 3(2x3y)34x( x y)( x2xyy2 )( xy)( x2xyy2 )二

6、、十字相乘法一 般 二 次 三 项 式 ax 2bx c 型 的 因 式 分 解。大 家 知 道 ，(a1 xc1 )(a2 xc2 )a1a2 x2( a1c2a2c1 ) xc1 c2反过来，就得到：a1a2 x2(a1 c2a2 c1) xc1c2(a1 xc1 )(a2 xc2 )我们发现，二次项系数a分解成a1a2 ，常数项 c 分解成c1c2a1c1，把a1, a2 ,c1 , c2 写成a2c2，这里按斜线穿插相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，如果它正好等于ax 2bxc 的一次项系数 b ，那么 ax2bx c 就可以分解成(a1 xc1 )(a2 xc2)，其中a1,

7、 c1位于上一行，a2, c2位于下一行 这种借助画十字穿插线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法专业资料整理WORD格式注意：1、十字相乘法思路：分解二次三项式，尝试十字相乘法。分解二次常数项，穿插相乘做加法；叉乘和是一次项，十字相乘分解它。2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，【例 2】把以下各式分解因式： x22 x8_； x27 x 6_； 5x27x6_；4 x2xy6 y2=_5 ( x2x) 28(x2x)12 =_【答案】 x22x8( x 4)( x2) ； x27x6( x1)(x6) ；

8、 5x27x 6 ( x 2)(5 x 3) ；4( x 3y)( x2y) 5 ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1)【变式】用十字相乘法求以下方程的根 x22 x 8 0 x27x 6 0 5x27x60 4( x2x)28(x2x)120【答案】 14,2 2 1,6 32, 343,2,1,25【拓展】 双十字相乘法对于某些二元二次六项式 ( Ax2Bxy Cy2Dx Ey F )，我们也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式2x27xy22 y25x35y3 我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为2x2(7 y 5)x(22 y235y3) 可以

9、看作是关于x 的二次三项式对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为2 2y 23 5y3(y23) ( y1 1。再利1)用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解 .所以 原式 = x(2 y3)2 x(11y 1) ( x2 y3)(2 x11 y1) 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法( 双十字相乘法 ) 。具体步骤 : 分解形如ax2bxycy2dxeyf 的二次六项式,在草稿纸上，将a 分解成 mn 乘积作为一列， c 分解成 pq 乘积作为第二列，f分解成 jk乘积作为第三列， 如以下列图所示 ,mpjnqk专业资料整理WORD格式如果 mqnpb,

10、pkqje, mknjd ，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规那么。那么ax2bxycy2dxey fmx py j nx qy k【例】把以下各式分解因式： x22xy3y 23x y2_ ； 2x2xy3y2x4 y1_ ； 4x214xy6 y27xy2_ ；【答案】 x22xy3y23xy2( x3y2)( xy 1) 2x2xy3y2x4 y1(2x3 y1)(x y1) 4x214xy6 y27 xy2(4 x2 y1)(x3 y2)三、求根法如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程ax2bxc 0 有 两 个 实 数 根x1, x2， 那 么 多 项 式a

11、x 2bxc 可以分解为ax2bxc a(xx1 )( xx2 )。由 ax2bx ca(xx1)( xx2 )ax2a( x1x2 ) xax1x2， 比 较 系 数 得a(x1x2 )bx1 x2ba就得到 韦达定理。ax1x2c故cx1x2ax1bx2韦达定理： 设 x1, x2是关于 x 的一元二次方程ax2bxc 0的两根，那么acx1 x2a【例 3】把以下各式分解因式： x24x 4_ ； (2) 2x23x1【答案】 x24x4 ( x2 22)( x222) ；2x23x 1 2(x317 )( x3 17)(2)44专业资料整理WORD格式【例 4】假设 x1和 x2分别是

12、一元二次方程2x2 5x 30 的两根 1求 | x1 x2|的值； 2求113 x2322 的值；3 x1x1x2解：x1和 x2分别是一元二次方程2x2 5x 3 0 的两根， x1x2532， x1 x22 12222524 (3| x1 x2| x1 + x2 2 x1x2(x1 x2) 4 x1x2()22 25649，4 4 | x1 x2 |7221222( 5)22(3)25 337 1x1x2( x1 x2 )2x1x22324x12x22x12 x22(x1x2 )2(299)42（ 3 x13 x23 (x1x2 )( x12 x1x2x22) (x1 x2) ( x1

13、x2) 2 3x1x2 (5) ×(5)2 3×(3) 215 2228【点评】利用韦达定理求值，要熟练掌握以下等式变形：x12x22( x1x2 ) 22 x1 x2，11x1x2， ( x1x2 )2(x1 x2 )24x1 x2，x1x2x1 x2| x1x2 |(x1x2 )24x1x2，x1x22x12 x2x1 x2 (x1x2 ) ，x 3x3( xx) 33x x( xx) 等等12121212【重要结论】：一元二次方程的 两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x和 x 分别是一元二次

14、方程ax2 bx c0 a0，那么12x1bb24ac， x2bb24ac，2a2a | x1 x2|bb24acbb24ac2b24ac2a2a2ab24ac| a | a |于是有下面的结论：假设 x1和 x2分别是一元二次方程ax2 bx c 0 a0，那么 | x1 x2|其中b2| a | 4ac今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论【变式】关于 x 的方程 x2 2(m2)x m2 40 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值专业资料整理WORD格式分析： 此题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得

15、到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解： 设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1 x2 2(m 2)，x1·x2 m24 x12 x22 x1·x2 21， (x1 x2)2 3 x1·x221，即 2(m2) 2 3(m24) 21，2化简，得m 16m 17 0，当 m 1 时，方程为 x2 6x 5 0， 0，满足题意；当 m 17 时，方程为 x230x 293 0， 302 4×1×2930，不合题意，舍去综上， m 17专业资料整理WORD格

16、式说明： 1在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的X围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21求出 m 的值，取满足条件的m 的m 的专业资料整理WORD格式值即可。专业资料整理WORD格式（ 2在今后的解题过程中， 如果仅仅由韦达定理解题时， 还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。四、分组分解能分组分解的有四项或六项或大于四项，一般的四项分组分解有两种形式：二二分法按字母分组按系数分组符合公式的两项分组 ，三一分法先完全平方公式后平方差公式。【例 5】把以下各式分解因式： 5x22xy15x6y； 4a2b26a3b

17、； y29 x26x； 8x336x2 y54xy227 y3； x3px2pxp 1.【答案 】5x22xy15x6y( x3)(5x 2y) 4a2b26a3b(2ab)(2ab3) y29 x26x( yx3)( yx3) (2x 3y)3 (x2x1)(xp1)课后练习1、把以下各式分解因式164x6y1228x312x26 x 132x3n12x2n y218xn y44x4y(20x2 ) y55 7(a 1)6(a1)2 6y49y287x25x 24 8x213 x 3693x2x 1 x2xyy21011(x22x)29(x2)2 12 (a28a7)( a2 8a 15)

18、15专业资料整理WORD格式2、x , x是方程2两个实数根，求：x1 x1 ； xx ；x 5x 2 0212112 x1x2； x13x23；x2x13、,是方程 x2mx4m0 的两根， 且2234 ，求 m 的值.【作业参考答案】1、 1(2 xy2 )(4x22 xy2y4 )(2xy2 )(4 x22xy2y4 ) 2 (2x 1)332xn( xn3 y2 ) 2 4 y(x2)( x2)(x25) 5 (2 a 3)(3a 2)6 ( y 1)( y1)( y22)( y2 2)7( x 3)( x8) 8 ( x 4)( x 9)93(x1131136)( x6)10( x125y)( x1 5y) 11(x2)2 ( x3)(x3)2（ 12 a 46