柯西不等式习题

1、WORD格式柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式( a 2b 2)( c 2d 2) ( ac bd )2(a , b , c , dR , 当且仅当 adbc 时 , 等号成立 .)二、二维形式的柯西不等式的变式2222bd (a , b , c , dR , 当且仅当ad bc 时 , 等号成立 .)(1) abcdac2222bc 时 , 等号成立 .)( 2) abcdac bd ( a , b , c , d R , 当且仅当 ad( 3)( ab )( cd )(acbd ) 2 ( a , b , c , d0 , 当且仅当adbc 时 ，等号成立.)三、二维形式的柯西

2、不等式的向量形式. (当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使k时 , 等号成立.)借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比方说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成 (1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2) 就可以用柯西不等式了。根本方法1巧拆常数：例 1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：2229abbcc aab c2重新安排某些项的次序：例 2：a、b为非负数，a + b =1，x1, x2R求证： ( ax 1bx 2 )( bx 1ax 2 ) x1 x23改变构造：例 3、假设a > b >

3、; c求证：114abbcac4添项：例 4：a , b , cR 求证：abc3caab2b c【 1】、设a(2,1,2 ),b6 ，那么 a b之最小值为 _；此时b_。答案： 18;( 4,2, 4)解析： aba b a b18 18 ab18a b 之最小值为18，此时b2 a(4 ,2 ,4)【2】 设， ， b，假设222，那么 a b 的最大值为。(1(xyz)xyz16a02)【解】 a(1，0， 2)，b(x， y， z) a bx 2z由柯西不等式 120( 2)2(x2y2z2 )(x02z)2516(x2z)245x4545a b45 ，故a b的最大值为 45【3

4、】空间二向量a (1, 2, 3)，b( x , y , z) ， b56 ，那么(1)a b的最大值为多少？(2)此时b？Ans： (1) 28： (2) (2,4,6)专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式【4】设 a、b、c 为正数，求( abc)(4936) 的最小值。Ans：121【5】. 设 x， y， zR，且满足 x2abcy2z2，那么x 2y3z之最大值为5解 (x 2y 3z)2(x 2y2z2 )(122232)5 1470 x 2y 3z 最大值为70【6】 设 x， y， zR，假设 x222，那么x2y2z之最小值为时，(x，z)yz 4y解(x2y2

5、z)2(x2222(2)22936yz )12 4x 2y2z 最小值为6，公式法求 (x， y， z)此时 xyz262221222( 2)23x2， y4， z4333【7】设x , y , z R，22225，试求x 2 y 2 z的最大值M与最小值。xyzmAns：M15 ; m15【 8】、设x, y , zR ,x 2y 2z 225 ，试求 x2 y2 z 的最大值与最小值。答：根据柯西不等式(1 x2 y2 z )22222221( 2 )2 ( xyz )即 ( x2 y2 z) 29 25而有15x2 y2 z15故 x2 y2 z 的最大值为15，最小值为15。【 9】、

6、设x, y , zR ,2 xy2 z6，试求 x2y2z2 之最小值。答案：考虑以下两组向量u = ( 2,1,2)=( x, y, z )222v根据柯西不等式( u v )uv ，就有 2 x( 1) y( 2) z 2 2 2( 1)2( 2 ) 2 ( x 2y 2z 2 ) 即( 2 xy2 z ) 29 ( x 2y 2z 2 )将 2 xy2 z6 代入其中，得369 ( x 2y 2z 2 ) 而有x 2y 2z 24故 x 2y 2z 2之最小值为4。【10】设，求 x2y22的最小值、 、之值。zx, y , z R2 x y 2 z 6m，并求此时 x yzAns：m4

7、 ; ( x, y , z )(4,243,)33【11】 设 x， y， zR， 2x2yz80，那么 (x1)2(y2)2(z3)2之最小值为解： 2x 2y z 8 02(x 1)2(y2)(z3)9，考虑以下两组向量u = (,) ，v =(,)222(u v )uv2(x 1)2(y2)(z3) 2(x1)2(y 2) 2(z 3) 2 (222212)(x1)2(y2) 2(z 3) 2(9 ) 299【 12】R，假设2 x 3 y z 3222之最小值为 _，又此时y_。设 x, y, z，那么 x( y 1)z专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式解： 2 x3

8、yz 32x 3(y 1) z ()，考虑以下两组向量u = (,)， v =(,)解析： x 2( y1) 2z 2 2 2( 3)21 2 ( 2 x3 y3z) 2 x 2( y1) 2z 2 36最小值 18147xy1z2x3yz3 ,2t ( 2 ) t 3 (3t1 )323t ,1 t3 y277【13】 设 a，b，c 均为正数且 a bc9，那么4916 之最小值为abc解：考虑以下两组向量u= (,)， v=(,)(u2222a3424916v )uv(bc )()(a b c)abcabc(4916) 9(23 4)281abc4916819abc9【 14】、设a,

9、b, c均为正数，且a2 b 3c2，那么123 之最小值为_，此时a。abc_解：考虑以下两组向量u= (,)， v=(,)1 )22 )23)2(u v ) 2uv( a ) 2( 2 b ) 2( 3 c ) 2 (1 23 ) 222abc (123) 18 ，最小值为18等号发生于u / v故a2b3cabc123abc a b c又 a 2 b 3c 2 a13【15】. 设空间向量a的方向为，0， ，csc29 csc225 csc2的最小值为。解sin2sin2sin22 由柯西不等式(sin2sin2sin2 ) (1)2(3)2(5)2 (1 35)22(csc 29csc

10、225csc2 )81sinsinsincsc29csc225csc 281故最小值为8122【注】此题亦可求tan29 tan225tan2与 cot 29cot 225cot2之最小值，请自行练习。【16】. 空间中一向量a与 x 轴， y 轴， z 轴正向之夹角依次为，均非象限角，专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式求149的最小值。222sinsinsin解 : 由柯西不等式1)222(322sin22)(sin)(sinsinsinsin1sin2sin3sin)2(sinsinsin(1) (4)(9)(sin2sin2sin2(123)22sin22)sinsin

11、sin2sin2sin222 (149)36(149222222)18sinsinsinsinsinsin149的最小值18222sinsinsin【17】.空间中一向量a的方向角分别为,，求92516的最小值。sin 2sin 2sin 2答 72 利用柯西不等式解之【 18】、设x, y, zR，假设( x1) 2( y2 ) 2z 24 ，那么3 xy2 z 之X围为何？又 3 xy 2 z 发生最小值时， x？答案： ( x1) 2( y2 ) 2z 2 3 2(1) 2(2)2 (3 x3y22 z) 24(14 )( 3 xy2 z5)22 143 xy2 z5214专业资料整理W

12、ORD格式假设5 2143 x y 2 z 5 2 143 x y 2 z5 214又 x 1y2zt 3( 3t 1) ( t 2 ) 2 ( 2 t ) 5 2 1431214314t x177专业资料整理WORD格式【19】 设ABC 之三边长 x， y， z 满足 x2y + z = 0 及 3x + y2z = 0，那么ABC 之最大角是多少度？【解】x 2 y z 0211112= 3：5：73 x y 2 z 0x： y： z =：31122 3= (3 k )2221， =120设三边长为 x = 3k， y = 5k， z = 7k 那么最大角度之 cos(5 k )(7 k

13、 ) =2 (3k )( 5 k)2222【20】. 设 x， y， zR且 ( x 1)( y 2 )( z3)1 ，求xyz 之最大值，最小值。1654Ans 最大值 7；最小值 3【解】( x1)222( y2)( z 3)11654由柯西不等式知专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式25)22x 1 2y 22z 32x 1y 24 (2 ()()()4()5() 245245( z 3 )2(x y z 2)225 15 |x y z 2|25 x y z 25 3 x y z 7故 xyz 之最大值为 7，最小值为3【21】. 求 2sin3 cossincos cos

14、的最大值与最小值。答.最大值为 2 2 ，最小值为2 2【详解】令向量 a(2sin ，3cos ， cos )，b(1，sin ， cos )由柯西不等式 |ab|a得| b | 2sin3cossin coscos|22cos2，4 sin3 cos1sin 2cos 24 (sin2cos 2)( 1sin 2cos 2)22所求最大值为2 2，最小值为22【22】 ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：( a 2b 2c 2 )(1A1B1)36 R 2证明：由三角形中的正弦定理得sin 2sin 2sin 2Ca1212124 R4 R4 RsinA2 R，所以s

15、in2Aa2，同理sin2Bb2，2Cc2于是左边 =sin2222R)2( a 2b 2c 2 )(4R4 R4 R) ( a2 Ra2Ra36R2。a2b2c2abc【23】求证 :点 P(x00| Ax 0By 0C |.,y )到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=A 2B 2证明 :设 Q(x,y) 是直线上任意一点,那么 Ax+By+C=0. 因为 |PQ|202+(y-y0222 0,由柯西不等式得=(x-x),A+B2220202002002| Ax 0By 0C |(A+B )(x-x0) A(x-x 0)+B(y-y)= (Ax+By)-(Ax+By)=(Ax+C) ,所

16、以 |PQ| .) +(y-y+ByB 2A 2当x x0y y0Ax 0By 0C时 , 取等号 ,由垂线段最短得d=| Ax 0By 0C |ABA2B2A 2B 2.【24】正数x,y,z 满足 x+y+z=xyz, 且不等式111恒成立 ,求的X围 .yyzzxx解析 :由二元均值不等式及柯西不等式,得1111111(zxy)x yy zz x2 xy2 y z 2 zx2x y zx y zx y z专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式1(121212)(zxy)3 故的取值X围是3,+ ).2x y zx y zx y z22温馨提示此题主要应用了最值法,即不等式111恒成立,等价于(111y zz xy z) max,问题转x yx yz x化为求 f(x,y,z)=111的最大值 .xyyzzx【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数 ,且满足 a2+b2+c2=25,x2 +y2+z 2=36,ax+by+cz