2015年高考全国2卷数学文科试题和答案解析详解

1、WORD格式.WORD.格式 .2021年普通高等学校招生全国统一考试数学第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 1集合A 2,0,2， B x | x2x 20，那么A B=(A)B2C0(D)2考点：交集及其运算分析：先解出集合 B，再求两集合的交集即可得出正确选项解答：解： A= 2， 0， 2 ， B=x|x2 x2=0= 1， 2 ， A B=2 应选： B点评：此题考察交的运算，理解好交的定义是解答的关键213i()1iA12iB1 2i C1-2i (D)1-2i考点：复数代数形式的乘除运算分析：分子分母同乘

2、以分母的共轭复数1+i 化简即可解答：解：化简可得 = 1+2i应选： B点评：此题考察复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属根底题 3函数f x在x x0处导数存在，假设p : f (x0 ) 0; q : xx0是 f x 的极值点，那么() Ap是q的充分必要条件 Bp是q的充分条件，但不是q 的必要条件 Cp是q的必要条件，但不是q 的充分条件(D)p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：函数 f x=x3 的

3、导数为 f' x=3x2，由 f x0=0，得 x0=0 ，但此时函数 f x单调递增，无极值，充分性不成立根据极值的定义和性质，假设x=x0 是 f x的极值点，那么f x0 =0成立，即必要性成立，故p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件，专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 .应选：C点评：此题主要考察充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决此题的关键，比较根底（ 4设向量a , b满足|a+b|= 10，|a-b|= 6，那么 a·b= ()A1B 2C3(D) 5考点：平面向量数量积的

4、运算分析：将等式进展平方，相加即可得到结论解答： |+ |=，|=，分别平方得，+2"+ 2 " + =6，两式相减得 4" "=106=4，即" =1，=10，应选：A点评：此题主要考察向量的根本运算，利用平方进展相加是解决此题的关键，比较根底 5等差数列an的公差为 2，假设a2， a4， a8成等比数列，那么an的前n项 Sn= () An n1 B n n 1 Cn n 1n n 1(D)22考点：等差数列的性质分析：由题意可得 a42= a4 4a4+8，解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得解答：由题意可得 a42=a2"

5、;a8，即 a42= a4 4 a4+8，解得 a4=8， a1=a4 3× 2=2， Sn=na1+d， =2n+× 2=n n+1，应选：A点评：此题考察等差数列的性质和求和公式，属根底题 6如图，网格纸上正方形小格的边长为1表示1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6c m的圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为 ()A17B5C10(D)1279273专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 .考点：由三视图求面积、体积菁优网所有分析：由三视图判断几何体的

6、形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3 高为 2，一个是底面半径为2，高为 4，组合体体积是：32 "2+22 "4=34 底面半径为3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32 ×6=54切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为：=应选： C点评：此题考察三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力 7正三棱柱ABCA B1C1的底面边长为2，侧棱长为3 ，D为BC中点，那么三棱锥AB1 DC1的体积1为 ()A 3B3C1D322考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网所有分析：由题意求

7、出底面B1DC1的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积解答：正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为 BC中点，底面 B1DC1的面积： =， A 到底面的距离就是底面正三角形的高：三棱锥 AB1DC1的体积为： =1应选： C点评：此题考察几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键 8执行右面的程序框图，如果如果输入的x， t 均为 2，那么输出的S= ()A4B5C6D7考点：程序框图菁优网所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论解答：假设 x=t=2 ，那么第一次循环，12 成立，那么M=， S=2+3=5， k=2，第二次循环，2 2

8、成立，那么M=， S=2+5=7， k=3，此时 3 2 不成立，输出S=7，应选： D点评：此题主要考察程序框图的识别和判断，比较根底专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 .xy10 9设 x， y 满足的约束条件xy10，那么zx2 y 的最大值为()x3y30A8B7C2D1考点：简单线性规划分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y ，得 y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点 A 时，直线y=的截距最大，此时 z 最大由，得， 即 A3， 2

9、，此时 z 的最大值为z=3+2× 2=7，应选： B点评：此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 10设 F 为抛物线C : y23x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C于A, B两点，那么AB = () A30 B6C 12D7 33考点：抛物线的简单性质分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得 |AB| 解答：由 y2=3x 得其焦点 F ， 0，准线方程为 x= 那么过抛物线 y2=3x 的焦点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为y=tan30 ° x

10、 = x代入抛物线方程，消去y，得 16x2 168x+9=0专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 .设 A x1，y1， Bx2， y2那么 x1+x2=，所以 |AB|=x1+x2+= +=12故答案为： 12点评：此题考察抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键 11假设函数f ( x) kxln x 在区间1，+单调递增，那么k 的取值X围是 () A, 2B,1C2,D1,考点：函数单调性的性质分析：由题意可得，当x1 时， f x =k 0，故 k 10，由此求得 k 的X围解答：函数

11、 f x =kx lnx 在区间 1， +单调递增，当 x 1 时， f x =k 0， k 1 0， k 1，应选： D点评：此题主要考察利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于根底题 12设点M ( x0,1)，假设在圆O : x2y21上存在点N，使得OMN45°那么 x0的取值X围是 (), A1,1 B11 C2, 2 D2，22，222考点：直线和圆的方程的应用菁优网所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 .解答：由题意画出图形如图：点 M x0 ， 1

12、，假设在圆O： x2+y2=1 上存在点N，使得 OMN=45°，圆上的点到 MN的距离的最大值为 1，要使 MN=1，才能使得 OMN=45°，图中 M显然不满足题意，当 MN垂直 x 轴时，满足题意， x0 的取值X围是 1， 1 应选： A点评：此题考察直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得此题的策略之一第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。第13 题 第 21 题为必考题，每个考试考生都必须做答。第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分。 13甲、已两名元发动各自等可能地从红、白、蓝3 种颜

13、色的运动服种选择1 种，那么他们选择一样颜色运动服的概率为_.考点：相互独立事件的概率乘法公式菁优网所有分析：所有的选法共有3×3=9 种，而他们选择一样颜色运动服的选法共有3 种，由此求得他们选择一样颜色运动服的概率解答：有的选法共有3× 3=9 种，而他们选择一样颜色运动服的选法共有3 种，故他们选择一样颜色运动服的概率为=，故答案为：点评：此题主要考察相互独立事件的概率乘法公式，属于根底题 14函数f (x)sin( x)2sincos x 的最大值为_.考点：三角函数的最值分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，那么答案可求解答：解： f x =s

14、in x+ 2sin cosx=sinxcos +cosxsin 2sin cosx=sinxcos sin cosx=sinx f x的最大值为1故答案为： 1点评：此题考察两角和与差的正弦，考察了正弦函数的值域，是根底题专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 . 15函数f ( x)的图像关于直线x2 对称， f (0) 3 ，那么 f ( 1) _.考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f x+4 =f x，即可得到结论解答：解：因为偶函数 y=f x的图象关于直线 x=2 对称，所以 f

15、2+x =f 2 x =f x 2，即 f x+4 =f x，那么 f 1 =f 1+4 =f 3 =3，故答案为： 3点评：此题主要考察函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f x+4 =f x是解决此题的关键，比较根底 16数列 an满足an 112 ，那么a1=_., a21an考点：数列递推式分析：根据 a8=2，令 n=7 代入递推公式an+1=，求得 a7，再依次求出a6， a5 的结果，发现规律，求出 a1 的值解答：由题意得， an+1=， a8=2，令 n=7 代入上式得， a8=，解得 a7=；令 n=6 代入得， a7=，解得 a6= 1；令 n=5 代入得

16、， a6=，解得 a5=2；根据以上结果发现，求得结果按2， 1 循环， 8÷ 3=2 2，故 a1=故答案为：点评：此题考察了数列递推公式的简单应用，即给n 具体的值代入后求数列的项，属于根底题专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 .三、解答题：解容许写出文字说明过程或演算步骤。 17本小题总分值12 分四边形 ABCD的内角A与C互补， AB=1， BC=3, CD=DA=2.求 C和BD;求四边形ABCD的面积。解：由题设及余弦定理得BD 2BC 2CD 22BC CD cosC1312cos CBD 2AB2DA 22 A

17、B DA cos A54cos C1由，得cosC，故 C60 , BD72四边形ABCD 的面积S1 AB DA sin A1 BC CD sin C22(1121 32)sin 60222 3专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 . 18本小题总分值12 分如图，四凌锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA面ABCD ， E 为 PD 的中点。证明：PB / 平面 AEC ;设置 AP1，AD3 ，三棱锥PABD 的体积 V3，4求 A 到平面 PBD的距离。解：设 BD与 AC的交点为O，连接EO因为 ABCD为矩形，所以O

18、为BD的中点，又因为 E 为 PD的中点，所以EO/PBEO平面 AEC ， PB平面 AEC ，所以 PB / 平面 AEC V1S ABDPA1PA AB AD3 AB366由题设知 V334，可得 AB2做 AHPB交PB于H由题设知 BC平面 PAB ，所以 BCAH ，故 AH平面 PBC ，PAAB313又 AHPB133 13所以 A 到平面 PBC 的距离为专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 . 19本小题总分值12 分某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50 位市民。根据这50 位市民甲部门乙部门35 9440

19、4489 7512245667778997665332110601123468898877766555554443332100700113449665520081233456322209011456100 0 0分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90 的概率；根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。解：由所给茎叶图知， 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25， 26 位的是 75， 75，故样本中位数为 75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25， 26位的是66

20、， 68，故样本中位数为666867.67 ，所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是2由所给茎叶图知， 50 位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.1, 80.16 ，故该5050市的市民对甲、乙部门的评分高于90 的概率的估计值分别为0.1 ， 0.16.由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大注：考生利用其他统计量进展分析，结论合理的同样给分。 专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享

21、 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 . 20本小题总分值12 分设 F1, F2x2y2分别是椭圆 C ：2b2 1 a>b>0的左右焦点，M是 C 上一点且MF2与x轴垂直，直线aMF1与 C 的另一个交点为N。假设直线MN的斜率为3，求 C 的离心率；4假设直线MN在 y 轴上的截距为2 且 |MN|=5|F 1N| ，求 a， b。解：根据 ca2b2及题设知M (c,b2), 2b23aca将 b2a2c2代入 2b23ac ，解得c1 , c2舍去故 C 的离心率为1a2 a2由题意，原点O 为F1F2的中点，MF2/ y轴，所以直线MF1与y轴的交点D (0,

22、2)是线段 MF1的中点，故b24，即ab24a由|MN | 5| F1N |得| DF1 | 2| F1N|设 N ( x1 , y1) ，由题意知 y1 0，那么2( cx1 )cx13 c2 y12即2y11代入 C 的方程，得9c2114a2b2将及 ca2b2代入得 9( a24a)114a24a解得 a7,b24a28 ，故a 7, b27专业资料整理WORD格式.专业资料 .整理分享 .专业资料整理WORD格式.WORD.格式 . 21本小题总分值12 分函数f ( x)x33x2ax2 ，曲线 yf ( x) 在点0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.求a；证明：当时，曲线yf ( x) 与直线 ykx2 只有一个交点。解： f ( x)3x2 6xa ，f (0) a曲线 yf ( x) 在点0，2处的切线方程为 y ax 2由题设得2，所以 a 12a由知，f ( x)x33x2x2设 g (x)f ( x)kx2x33x2(1k )x4由题设知 1k0当 x0 时，g (x)3x26x1k0 ，g( x)单调递增，g ( 1)k10, g (0)4 ，所以g( x)0 在 (,0 有唯一实根。当 x0 时，令h( x)x33x24 ，那么g( x)h( x)(1k )xh(x)h (x)3x