曲线积分复习题答案知识分享

1、曲线积分复习题答案精品文档曲线积分2 j y )ds.、第一类曲线积分1.设平面曲线L为下半圆周yV1x2,求L(x2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解：曲线L：xcost,ysint,t,2,ds1dt,L(x2y2)ds2dt2.设一段锥面螺线L：xetcost,yeet0t2冗上点x,y,z处的线密度为x,y,zx2=,求该构件的质量.z解：计算微分ds.x(t)2y(t)2z(t)2dt(etcostetsint)2(etsintetcost)2e2tdt2t 2 . 2t,2(e cos t esin21)e2tdt.3e2tdt.3etdt3.计算L2yds,解：Li:yML(

2、x,y)ds其中L是抛物线yx2上点2x,x0,1,ds14x2dx,23e2tdt0.2e2t(0,0)与:苏也奴飞220xv14x2dx3262(1,1)之间一段弧.1d2.8x.14xdx0.2122.14xd(14x)80、23259五(5,594.设一折线型构件占有xoy面上曲线弧L,L为连接点A(2,0),0(0,0)与点B(0,3)的折线段，且在曲33线L上点x,y处的线密度为x,yx3y3,求该构件的质量.解：Ml(x,y)ds,LL1L2,L1是先沿直线从点A(2,0)到点0(0,0),L1:y0,x:20,cc2c(x,y)ds(xy)ds(x0).10dxL1L10L2是

3、沿直线点从0(0,0)到点B(0,3),L2：x0,y:03,L2(x,y)dsL2(x3y3)ds：(y30).10dy814，ML(x,y)ds81497解：L：xacost,yasint,t0,dsadt.Lexyds4eaadt0aaaaee.44、第二类曲线积分r6.设一质点在力Frryixj的作用下，沿圆周xRcost,yRsint上由t10至1Jt2的一段弧移动作的功2L为:Rcostt:0.dxRsint2Rsintdt,dyRcostdt,Lydxxdy02Rsint(Rsint)dtRcostRcostdt/2R20.2,2,sintcostdt_2_.Rcos2tdt1R

4、2sin2t27.计算Lx3ydy,其中L是抛物线yx2上从点（0,0）到点（1,1）的一段弧.解：L:yx2,x:01,dy3,2xdx,lxydy132xx2xdx02x778.计算L(xy)dx(yx)dy,其中(DL是先沿直线从点（1,1）到点（1,2）,然后再沿直线到点（4,2）的折线.(2)L是抛物线y2x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧解:（1）Li是先沿直线从点（1,1）到点（1,2）,L1:x1,y:12,Li(X2y)dx(yx)dy1(1y)0(y1)dyL2是沿直线点从（1,2）到点（4,2）,L2:y2,(2)L3：x9.设有L(xL2y)dx(y2,2/21(

5、y平面力场到点2a,0所作的功W1,解：曲线L：xaacost4x)dy1(x2)dx272，27L(xy)dx(yx)dy=14L(xy)dx(yx)dy、c,2、，2y)2ydy(yy)dy1(2y3、，,14y)dy(-y133yi,将一质点沿曲线L:22(xa)yy2)3430从点a,a移动Wl-22,.xaydx0(a2)(2asint)dta31,a110.设一质点在力Fyizjxk的作用下,从点A0,1,2沿直线段移动到点B2,3,5,求力F作的功W.解：直线AB的方程为:x2t,y2t1,z3t2,点A0,1,2对应t0,点B2,3,5对应t1,t:01,Wlydx1zdyxd

6、zo(2t1)2dt(3t2)2dt2t3dt14、格林公式及积分与路径无关11.计算?L(x42xy3y)dx(x2y2)dy,其中L是曲线x2y22y取顺时针方向.解：P(x,y)x42xy3y,Q(x,y)x22Pc。Qy,2x3,?L(x422xy3y)dx(xy2)dyQP()ddxy3dD12.计算曲线积分ILexsiny2xdx/x(ecosyx)dy,其中L为曲线y。1x2上点A(1,0)沿逆时针方向到点B(1,0)的一段弧.-P解：yQx/cosy,ecosy1,x,用格林公式，添加直线段BA,形成封闭曲线L直线段BA:13.设Lx2解：P(x,y)x?lesiny2xdx2

7、x，逆时针方向,ysinx,Q(x,y)?ysinxdxcosxdy014.设一变力在坐标轴上投影Xx(ecosyx)dy(1)dD1d一d2xx_.esiny2xdx(ecosyL?LBA2求?ysinxdxcosxdy.cosx,42xyy此场内移动时场力所作的功与路径无关；(3,2)x)dy12xdx01sinx，所以曲线积分与路径无关，xYx24xy3,这力确定了一个力场.证明(1)质点在求质点从点A(1,0)移动到点B(2,1),该变力所作的功.解：功Wl(2xyy43)dx(x24xy3)dy,其中P(x,y)2xyy43,Q(x,y)x24xy3,2x4y3/,因为上Q,所以曲线

8、积分与路径无关.即场力所作的功与路径无关.xAO:yOB:x(2)求质点从点0,x:12,dy2,1,dxA(1,0)移动到点B(2,1),该变力所作的功.选择折线段AOB42320,W1一(2xyy3)dx(x4xy)dy3dx3AO10,W2oB(2xy1y3)dx(x4xy)dy(48y)dy(4y2y)WW1W2515.计算L(x2y)dx(xsiny)dy,其中L为圆周yJ2xx2上由点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧.解QP(x,y)Q(x,y)P.积分与路径无关.y添加直线段OA:y0,1,y:01.(x2ABy)dx(xsiny)dy10(1siny)dy1ycosy)。cosl(x2OAy)dx(x16.设L为由2y,17.求-p解：yl(x2x0,xy)dx(xsiny)dy尿ABcosl2cosl2,y0,y3所围成的逆时针方向的封闭折线，求2y,所以曲线积分与路径无关，？L(1y2)dx2xydy0(2,0)x(00)ecosydxsinydy.exsiny,所以曲线积分与路径无关.选择线段OAyx0,x:0(2,0)(0,0)excosydx