曲线积分与曲面积分备课教案

1、第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（StokeS）公式并会计算两类曲面积分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、第T对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时笫八.节高斯公式逋量与散度2学时第七节

2、斯托克斯公式环流量与旋度2学时0重心、转动惯量、功、流量等）二、教学内容及学时分配:、教学内容的重点及难点:1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节习题101 习题10-2 习题10-3 习题10-4 习题10-5习题10-6习题10-7131 页：141 页：153 页：158 页：167 页：174 页：1

3、83 页:第一节331、4、311（单数）、4、5（单数）、4、5、7 （单数）2、3、4 （单数）、5 （单数）6 （单数）、75、6 （单数）、7、8（单数）、4（单数）、2 （单数）、3 （单数）（单数）、2、3、4对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。1、弓I例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。2、卜f(x,y,z)ds为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数f(x,y,z)中的点(x,y,z)位于曲线上，即(x,y,z)必须满足对应的方程，ds=3dx2+dy2+dz2是弧微分、弧长元素。若是

4、封闭曲线，则第一类曲线积分记为.f(x,y,z)ds3、第一类曲线积分的应用：1)、曲线的长s=Lds2)、若空间曲线形物体的线密度为f(x,y,z),(x,y,z)wF,则其质量M=万f(x,y,z)ds；.yf(x, y, z)ds . zf(x, y, z)ds.xf(x,y,z)ds质心坐标为(x,y,z),其中x=T,yM对x轴的转动惯量Ix卜(y2+z2)f(x,y,z)ds4、第一类曲线积分的计算方法：X=x(t)若空间曲线参数方程为：)y=y(t),aWtwP，则ds=vx(t)2+y(t)2+z(t)2dt,z=z(t)Jrf(x,y,z)ds=f(x(t),y(t),z(t

5、)Jx(t)2+y(t)2+z(t)2dt。例1计算卜(x2+y2+z2)ds,其中：x=cost,y=sint,z=t,0t2n3-)解因为x2+y2+z2=cos2t+sin2t+t2=1+t2,ds=f(sint)2+(cost)2+1dt=72dt,ooo2-：-:o所以.(x2yz2)ds=o(1t2)-2dt=、2(2二,例2中y|ds,其中为球面x2+y2+z2=2与平面x=y的交线;解的参数方程为x=y=cost,z=V2sint,0t0)1 z=1J-|-x=acost-F222222解：y=asint,0zt三2二，ds-qx(t)2y(t)2z(t)2dt=.a2(sin

6、2tco/t)dt=adtz=12222,、2_2.卜(x+y+z)ds=0(a+1)adt=2na(a+1)或解：被积函数x2+y2+z2中的点(x,y,z)位于曲线上，即(x,y,z)必须满足对应的方程，所以x2+y2+z2=a2+1,卜(x2+y2+z2)ds=(a2+1)ds=(a2+1)jpds=2Tia(a2+1)二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。第二节对坐标的曲线积分、内容要点弓I例：变力沿曲线所作的功由例子引入对

7、坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。一、jy(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线,F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为向量值函数，dr=(dx,dy,dz)为定向弧长元素(有向曲线元)取=x(t)若曲线的参数方程为：|y=y(t),则z=z(t)切向量=(x(t),y(t),z(t),单位切向量福二(cosa,cosp,cos?)弧长元素=X(t)2y(t)2z(t)2dt定向弧长元素dr=(dx

8、,dy,dz)=(x(t)dt,y(t)dt,z(t)dt)=(x(t),y(t),z(t)dt=(.x(t),y(t)z(t)ds.x(t)2y(t)2z(t)2,x(t)2y(t)2z(t)2.x(t)2y(t)2z(t)2=(cos:,cos!：,cos)ds=edsF e ds.P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz=.F,=.=.P(x,y,z)cos工-Q(x,y,z)cosl： R(x, y,z)cos ds =p(x，y，z)x(t)Q(x，y，z)y(t)R(x，y，z)z(t)ds,乂2 y(t)2 z(t)2上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一

9、类曲线积分。例1把第二类曲线积分卜P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz化成第一类曲线积分，其中为r从点(0,0,0)到点(三2，三2,1)的直线段。22解方向向量(12,0,1),其方向余弦cosa=-,cosP=-,cosY=,22222原式=P(x,y,z)cos:工，Q(x,y,z)cosIR(x,y,z)cosds=/x,y,z)_Q(x,y,Z)-2R(x,y,z)ds例2.把第二类曲线积分(P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成第一类曲线积分，其中为从点(0,0)沿上半圆周x2+y2=2x到点、x=x-1-x解的参数方程为:2x：0T1,切向量-=(x,

10、y)=(1,/2)、y=T2x-x22x-x2其方向余弦cosct=、12x-x2,cosP=1-x,(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)cosa+Q(x,y)cosds=V2xx2P(x,y)+(1x)Q(x,y)ds。二、第二类曲线积分的应用：若一质点从点A沿光滑曲线(或个断光滑曲线)移动到点B,在移动过程中，这质点受到力F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,则该力所作的功W=.F*=.P(x,y,z)dx-Q(x,y,z)dyR(x,y,z)dz三、第二类曲线积分的计算方法：x=x(t)1、若空间定向曲线的参数方程,y=y(t)t:a-*b,则z(

11、t):P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzb=JHxQyQzOXt)Q(x(t),y(t),z(t)y(t)R(x(t),y(t),z(t)Z(t)dt2、若平面定向曲线的参数方程：/，t：aTb,则y=y(t)bP(x,y)dx+Q(x,y)dy=1P(x(t),y(t)x(t)+Q(x(t),y(t)y(t)dt例1计算y2dx+zdy_ydz,其中为曲线x=kg,y=acos&z=asin0上从6=0到0=n的一段弧。-k3_3解F2dx+zdy-ydz=k302-a2sin26-a2cos29d9=-a2no例2计算曲线积分,(z-y)dx+(x-z)dy+(x

12、-y)dz,其中是曲线r2,2.Py=1从轴正向看去，取顺时针方向x-y+z=2分析先写出曲线的参数方程，可令x=cos8,y=sin0,则z=2cos6+sin日，为参数,由题设，的起点、终点对应的参数值分别为和0;在代入计算公式。解曲线的参数方程为x=cos8,y=sin8,z=2cosH+sinH,日：21T0,于是0原式=2(2-cosi)(-sinR(2cosr-2-sinRcosr(cos二-sini)(cos二sin二)d=(2sin0+2cos02cos26-1)d0=0-g=-2n.二、教学要求和注意点1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。2,曲线积分与

13、二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果一一可用曲线积分计算平面图形的面积。在本章的讲述中，应提醒学生注意：1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分。第三节格林公式及其应用一、内容要点先介绍单连通域，画图说明然后回忆牛顿-菜布尼兹公式，由此推出格林公式(书上定理1)并证明。提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了。举2个例子说明格林公式的用法再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件。给出149页定理3,并证明，更重点讲151页公式，然后举2个例子说明该公式的用法。该堂课讲153页习题3,再由此说

14、明格林公式的条件。二、教学要求和注意点第四节对面积的曲面积分一、内容要点弓I例：求空间曲面的质量由例子引进对面积的曲面积分的定义，并给出性质介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法，该方法可概括为“一代二换三投影”。举3个例子提出该积分与二重积分的区别二、教学要求和注意点了解对面积的面积分的定义，掌握其计算方法在本章的讲述中，应提醒学生注意：求空间曲面的质量、转动惯量，曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分；第五节对坐标的曲面积分一、内容要点先介绍有向曲面引例：稳定流体在单位时间流过曲面的流量由例子引入对坐标的曲面积分的定义，给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，同时提醒学生注意区别两类曲面积分。再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法，举2个例子说明该方法。最后给出两类曲面积分之间的联系。二、教学要求和注意点1、二类曲面积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积。3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对