第四章一元函数积分学反常积分

1、§3I 基本概念与主要结果 无穷1 定义设函数 f (x) 在无穷区间a,+¥) 上有定义，且在任何有限区间a, u 上可积，如果存在极限uòlimf (x)dx = J ，（1）u®+¥ a则称此极限 J 为函数 f (x) 在a,+¥) 上的无穷限反常（简称无穷），记作+¥J = òaf (x)dx ，+¥+¥并称òaf (x)dx 收敛。若（1）式极限不存在，则称òaf (x)dx 发散。类似可定义 f (x) 在(-¥, b 上的无穷：bbò

2、42;f (x)dx =limf (x)dx.-¥u®-¥ u对于 f (x) 在(-¥,+¥) 上的无穷，定义为+¥a+¥ò-¥òf (x)dx + òaf (x)dx ，f (x)dx =（2）-¥其中 a 为任意实数，当且仅当右边两个无穷都收敛时它才收敛。注 无穷（2）的收敛性与收敛时的值，都与 a 的选取无关。收敛的性质2 无穷+¥òaf (x)dx 收敛的充要条件是： "e > 0, $M> a, 当性质 1（收敛准则）无穷

3、u1,u2 > M 时，都有uò< e .2f (x)dxu1+¥òaf (x)dx 收敛的充要条件是： "e > 0, $M > a, 当u > M 时，有性质 2 无穷+¥òu< e .f (x)dx170+¥+¥òaf (x)dx 与òag(x)dx 都收敛，k1 , k2 都是任意实数，则无穷性质 3 若无穷+¥òak1 f (x) ± k2 g (x)dx 也收敛，且+¥+¥+¥ò

4、ak1 f (x) ± k2 g (x)dx = k1 òaf (x)dx ± k2 òa g (x)dx.+¥+¥性质 4 若函数 f (x) 在任何有限区间a, u 上可积，a < b ，则 òaf (x)dx 与òbf (x)dx同时收敛或同时发散，且有+¥+¥bòaf (x)dx =f (x)dx + òbf (x)dx 。òa+¥+¥性质 5 若 f (x) 在任何有限区间a, u 上可积，且有 òa收敛，且f (x)

5、dx 收敛，则 òaf (x)dx 也+¥+¥òa£ òaf (x)dxf (x) dx .+¥+¥注 1 当òa收敛。f (x) dx 收敛，则称òaf (x)dx 为绝对收敛；称收敛而非绝对收敛者为条件+¥+¥+¥注 2 若òa注 3 若瑕f (x)dx 条件收敛，òag(x)dx 绝对收敛，则 òa f (x) + g(x)dx 条件收敛。b+¥òòaf (x)dx 与无穷f (x)dx 中一个条件收

6、敛，另一个绝对收敛，则a+¥òaf (x)dx 条件收敛。3 无穷收敛的判别方法（1）定义（2）收敛准则（3） 绝对收敛必收敛（4） 比较法则设定义在a,+¥) 上的两个函数 f (x), g (x) 在任何有限区间a, u 上可积，且满足：£ g(x),x Îa,+¥) ，f (x)+¥+¥则当òag(x)dx 收敛时， òaf (x) dx 必收敛。171其极限形式为：设定义在a,+¥) 上的两个函数 f (x), g (x) 在任何有限区间a, u 上可积， g (x) >

7、 0, 且= c, 则有：limg(x)x®+¥+¥+¥i）当0 £ c < +¥时，若òag(x)dx 收敛，则òaf (x) dx 收敛；+¥+¥ii）当0 < c £ +¥时，若òag(x)dx 发散，则òa1f (x) dx 发散。若以 g(x) =作为比较的对象，则有下面的判别法。x p（5）设 f (x) 定义在a,+¥) (a > 0) 上，且在任何有限区间a, u 上可积，则有：1x p1x p+¥&#

8、242;a£, x Îa,+¥) ，且 p > 1时，f (x)f (x) dx 收敛；i）当+¥òa³, x Îa,+¥) ，且 p £ 1 时，f (x)f (x) dx 发散。ii）当其极限形式为：设 f (x) 定义在a,+¥) (a > 0) 上，在任何有限区间a, u 上可积，且有= l.lim x pf (x)x®+¥则有：+¥i）当 p > 1, 0 £ l < +¥ 时， òaf (x) dx

9、收敛；+¥ii）当 p £ 1, 0 < l £ +¥ 时， òa（6）Dirichlet 判别法f (x) dx 发散。uò若 F (u) =f (x)dx 在a,+¥) 上有界， g ( x) 在a,+¥) 上当 x ® +¥ 时单调趋于 0，则a+¥òaf (x)g(x)dx 收敛。（7）Abel 判别法+¥+¥若òaf (x)dx 收敛， g ( x) 在a,+¥) 上单调有界，则òaf (x)g(x)dx 收敛

10、。4 几个重要结论172f (x)ì收敛，当 p > 1, 1 +¥òx pdxí（1）î发散，当 p £ 1.ì收敛，当 p > 1,í1+¥（2） ò2î发散，当 p £ 1.ì绝对收敛，当 p > 1,+¥ sin x+¥ cos xï（3） ò1dx, ò1dxí条件收敛，当 p Î (0,1),x px pï发散，当 p £ 0.î+

11、65;+¥òò22（4）sin x dx,cos x dx 为条件收敛。11二 瑕定义 设函数 f (x) 定义在区间(a, b 上，在点 a 的u, b Ì (a, b 上可积。如果存在极限领域内，但在任何闭区间bòlimf (x)dx = J ，（3）+u®aubò，记作 J =f (x)dx ，并称反常函数 f (x) 在(a, b 上的反常则称此极限为abbòòf (x)dx 收敛；如果极限（3）不存在，则称反常f (x)dx 发散。aa注 1 定义中的点 a 通常称之为瑕点，函数的反常又称之为瑕

12、。类似可定义其它类型的瑕。注 2 瑕的记号与定完全一样，其区别在于被积函数是否有界，读者应予以注意。瑕与无穷具有完全类似的性质和敛散判别方法，限于篇幅，这里不在给出，请读者查阅数有关学分析。II 典型例题一的敛散性判别例 1 判别下列命题的真伪，并说明理由：+¥（1）若函数 f (x) 在(-¥,+¥) 上连续，且ò-¥ f (x)dx 收敛，则173 d dx d dx+¥xòòf (t)dt = f (x),f (t)dt = f (x).-¥x+¥（2）若 f (x) 在a,+¥

13、) 上，则òaf (x)dx 发散。+¥（3）若极限 lim f (x) 不存在，则òaf (x)dx 发散。x®+¥+¥（4）若 f (x) 非负，连续，且òaf (x)dx 收敛，则 lim f (x) = 0 。x®+¥+¥（5）若 lim f (x) = A （有限），且 òaf (x)dx 收敛，则 A = 0 。x®+¥+¥（6）若 f (x) 单调，且òaf (x)dx 收敛，则 lim f (x) = 0 。x®+

14、65;（7）若 f (x) 在a, + ¥)上一致连续，且f (x)+¥dx 收敛，则 lim f (x) = 0 òax ® +¥+¥+¥òòf 2 (x)dx 收敛。f (x)dx（8）若收敛，则aa+¥+¥òò（9）若f (x)dx 绝对收敛，则f 2 (x)dx 收敛。aa（10）若f (x)dx 绝对收敛，且 lim f (x) = 0 ，则f 2 (x)dx 收敛。+¥+¥òòax ® +¥a+

15、¥+¥+¥（11） 若 òaf (x)dx, òa g(x)dx 都收敛，则òaf (x)g(x)dx 收敛。（12） 若òaf (x)dx, òa g(x)dx 都绝对收敛，则òaf (x)g(x)dx 收敛。（13） 若òaf (x)dx 收敛，且òag (x)dx 发散，则òaf (x)g(x)dx 发散。+¥+¥+¥+¥+¥+¥+¥+¥（14）若òaf (x)dx 收敛， g (

16、x) 连续，且 lim g(x) = 1，则òaf (x)g(x)dx 收敛。x®+¥+¥n（15）若òaòf (x)dx = Alimf (x)dx = A （ n 为自然数），反之不真。，则n®¥ a+¥+¥+¥（16）若òaf (x)dx 收敛，且òag (x)dx 发散，则òa f (x) + g(x)dx 发散。解（1）正确。这是因为 d dx同理，另一个也成立。 d éùxaxòòòf (t)d

17、t =f (t)dt +f (t)dt = f (x),dx ëû-¥-¥a174（2）不正确。例如函数ì 1,x > 1, x Ï Z ,x = n, n = 1,2,",ïf (x) =2íxïî n,+¥在1,+¥) 上有定义，但ò1f (x)dx 收敛。+¥ò2（3）不正确。如sin x dx 收敛，但极限 lim f (x) 不存在。x®+¥0（4）不正确。如函数ìn 2 2n (x - n

18、) + n,1x În -, n,ïn × 2nïï1f (x) = - n 2 (x - n) + n,x Î (n, n +其它，2 níï 0,ïî,n × 2nï+¥显然 f (x) 在0,+¥) 非负连续，且ò0f (x)dx = 1,（5），（6），（7）都正确，参见例 6，8，9。（8）和（9）都不正确。如函数但极限 lim f (x) 不存在。x®+¥ì2n ,14n1x În -, n +

19、,f (x) = ïíïî 0,4n其它，2n+1¥¥2 × 4n+¥+¥显然 f (x) 非负，且ò0f (x)dx = å= 2 ，但ò0f (x)dx = å= +¥ 发散。24n4nn=1n=1（10）正确。这是因为 lim f (x) = 0 ，则当 x 充分大时，有 f 2 (x) £f (x) ，从而由比x®+¥较判别法知f 2 (x)dx 收敛。（若将绝对收敛改为收敛，则结论不成立，如 f (x) = sin

20、x . ）+¥òxa（11）和（12）都不正确。参见（8）。11（13）不正确。在1,+¥) 上，取 f (x) =, g(x) =.xx3sin xsin x（14）不正确。如 f (x) =, g(x) = 1 +，显然满足条件，但xx175sin xsin 2 xf (x)g(x) =+，xx在1,+¥) 上发散。+¥u（15）正确。 òaf (x)dx 收敛于 A，即 limf (x)dx = A ，由ò定理知u ®+¥ anòlimf (x)dx = A 。n®¥a

21、nò反之不真，如函数 f (x) = cos p x 在1,+¥) 上显然满足条件： limf (x)dx = A ，但n®¥ 1+¥ò1f (x)dx 是发散的。如果附加条件： lim f (x) = 0 ，则结论成立。事实上，由 lim f (x) = 0 得： x®+¥> a, 当 x > M 时，有x®+¥"e > 0, $M< e.f (x)（1）nò又limf (x)dx = A ，则对上述e > 0 ， $N > M ，当 n

22、 > N 时，有n®¥anòf (x)dx - A < e 。（2）a于是，当u > N + 1时，有uu uòòò< 2e ，f (x)dx - A £f (x)dx - A+f (x)dxaau +¥即òaf (x)dx = A 。+¥（16）正确。若òa f (x) + g(x)dx 收敛，则+¥+¥+¥òag(x)dx = òa f (x) + g(x)dx - òaf (x)dx ，。+

23、65;从而 òag(x)dx 收敛，例 2判别下列的敛散性：dx(x - 1 )ln x(ldx xl + xm+¥+¥（1） ò2（2） ò0（ l, m 为实常数）；（北大）；176+¥ sin 2 xxm+¥（3） ò1( x 2 + m - x + 1)dx ；（4） ò0dx 。xm解（1）当l £ 1时，有11(ln x)l>，1x ln ldx(x - 1 )ln x(l+¥+¥而ò2dx 发散，所以ò2x发散；当l > 1时，有

24、12(ln x)l£，1x ln ldx(x - 1 )ln x(l+¥+¥而ò2dx 收敛，所以ò2x收敛dx xl + xmdxdx xl + xm+¥+¥1（2） ò0òl+ ò1=x + xm0dxx + xm，当minl, m< 1时收敛，当minl, m³ 1时发散；1ò对l0dx xl + xm，当maxl, m > 1时收敛，当maxl, m£ 1 时发散，+¥ò1对dx xl + xm因此，当maxl, m>

25、1，且minl, m< 1时（3）记被积函数为 f (x) ，则+¥ò0收敛；其余情况下均发散m(1 - m)x 2 + x - m2xf (x) =x 2 + m - x + 1 =(x 2 + m)(x + 1)= (1 - m)x 2 + x - m 2，x3 + x 2 + mx + m+¥lim x × f (x) = 1， l = 2 > 1，所以f (x)dx 收敛；ò当 m = 1时，2x®+¥1+¥m -1 ¹ 0 ， = 1，所以ò1f (x)dx 发散。当 m

26、¹ 1时， lim x ×=f (x)x®+¥（4）当 m > 2 时， x = 0 是瑕点，所以分化为+¥ sin 2 x1 sin 2 x+¥ sin 2 xò0xmdx = ò0dx +ò1dx = I1 + I 2 .xmxm177对于 I1 ，有sin 2 xsin 2 xm-2lim x×= lim= 1，xmx 2x®0+x®0+所以，当 m - 2 < 1，即 m < 3时，收敛，当 m ³ 3时，发散。对于 I 2 ，当 m &g

27、t; 1时，有sin 2 x1£，xmxm因此， I 2 收敛；当0 < m £ 1时，有+¥ sin 2 x1+¥ cos 2x+¥ò1xmdx = ò12xm dx - ò1dx ，xm发散，而第二个收敛，因此 I 2 发散；当 m £ 0 时， I 2 显然发散。右边第一个无穷综上所述，当且仅当1 < m < 3 时，所给无穷收敛。思考题 1（）讨论下列的敛散性。+¥ ln(1 + x)（1） ò0dx ；xm1 ln x（2） ò0 1 - x dx

28、.éêë+¥òln(1 +例 3（北京航天航空大学）判别的敛散性。1解 "x ³ 1，有1111120 < ln(1 + x ) - 1 + x <，1+¥ édx 收敛，由比较判别法知ln(1 +¥ò1x 2òêë而收敛。1+¥ sin x 2ò0³ 0) 是收敛的。例 4（1998）证明：无穷1 + x p+¥ò2证 由于sin x单减有界，由 Abel 判别法知其收敛。0+¥+&

29、#165;1òòò注sin x dx =2sin x dx +sin x dx 。22001178x p-1+¥ò01 + x dx 的敛散性：例 5（复旦大学）判别下列广义解 由x p-12- plim x×= 1，1 + xx®+¥x p-1+¥当 p ³ 1 时， 2 - p £ 1，所以ò0 1 + x dx 发散；当 p < 1 时， 2 - p > 1，所以收敛。思考题 2（哈尔滨工大 1999）证明：sin xx+¥òdx 收敛；

30、（1）1sin x dx 发散。+¥ò（2）x1例 6 判别下列广义的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛：（1） ò x cos x dx （复旦大学）；+¥+¥ éù- 1sin x x（2） òê(1 -)- 1údx （3）；0ëûx解（1）记 f (x) =，则当 x > 100 时，有x + 100100 - xf ¢(x) =< 0 ，2 x (x + 100)2Aò即 f (x) 在100,+¥) 单调递减，且 lim

31、 f (x) = 0 。又£ 2 ，由 Dirichlet 判别法知cos xdxx®+¥100òx cos xdx 收敛，从而由+¥ x cos x x + 100 x cos x x + 100 x cos x x + 100+¥+¥100òòòdx =dxdx00100知òx cos x dx 收敛。+¥又因为179x cos 2 xx cos xxx cos 2x³=+，x + 100x + 1002(x + 100)2(x + 100)xx cos 2xx

32、 cos x+¥+¥+¥显然ò02(x + 100) dx 发散，仿上可证 ò02(x + 100) dx 收敛，从而 òdx 发散，故òx cos x dx 条件收敛。+¥（2）分可化为+¥ éù1 éù+¥ éù- 1-1- 1sin xsin xsin xò)- 1údx = ò ê(1 -)- 1údx + òê(1 -)- 1údx = I1 +

33、I 2 .ê(1 -ë333xxx00 ë1ûûëû对于 I1 ，有- 1- 1sin x xsin x x111ò) 3 dx - ò dx = ò (1 -(1 -) 3 dx - 1，000显然 x = 0 是其瑕点。由于sin3 ) (x ® 0) ，所以x 2sin x1 -=+ o(x ) ，62x从而- 13æ x 2öç+ o(x ) ÷221lim x 3 × (1 - sin x )- 3 = limç6&

34、#247;÷= 36 ，x®0+ çx 2xx®0+ç÷è由此得 I1 收敛，又被积函数非负，故 I1 是绝对收敛。对于 I 2 ，由于ø- 1sin x1sin x111sin xsin x(1 -)= 1 + (- ) × (-) +(- )(- 1)(- 233)2 + o()2 ) ，3x3xxxsin x2 sin 2 xsin 2 x= 1 +-+ o()9x 2x 23x所以，- 1sin x2 sin 2 xsin 2 xsin x(1 -)- 1 =-+ o() ，39x 2x 2x3x

35、180+¥ 2 sin 2 xsin 2 x+¥ sin x+¥而ò1dx 条件收敛， ò1dx 绝对收敛， ò1o(2) dx 绝对收敛，故 I2 条3x9x 2x 2件收敛。+¥ éù- 1sin x x综合可知òê(1 -)- 1údx 条件收敛。30ëû二求值与证明+¥ò- xesin x dx 。例 7 试求无穷0解由比较法则无穷收敛，所以有2(n+1)p0+¥òò- x- xsin x dx =

36、 limeesin x dx0n®¥n= lim åæ(2k +1)p2kp2( k +1)p( 2k +1)pöòòesin xdx - x- xç÷esin xdxn®¥ k =0 èø¥= 1 å( 2k +1)p2kp2(k +1)p(2k +1)pe(sin x + cosx)- x+ e(sin x + cosx)- x2 k =0¥= 1 å(e-2kp + 2e-( 2k +1)p+ e-2(k +1)p )2

37、 k =0¥= 1 (1 + e-p )2 å(e-2p )n2k =0ep2(ep+ 1=- 1) .+¥ò-¥ (. （ n 为正整数）例 8（2000）计算解 由于11+¥+¥+¥ò-¥ (记上式右边为 I n ，则有ò-¥ (x + 1)2 + 1nò-¥ (t 2 + 1)n=d (x + 1) =dt.+¥2nt 2t+¥+ ò-¥ (t 2 + 1)n+1 dt=(t 2 + 1)nI n-¥

38、= 2n(In - I n+1 ) ，1812n - 1由此可得 I n+1 =I n ，而2n1+¥ò2+¥-¥= p ，I1 =dt = arctant + 1-¥所以2n - 3 × 2n - 5 " 1 I(2n - 3)! × p .I =n2n - 2 2n - 421(2n - 2)!+¥òn -ax例 9（国防科技大学）计算xedx ，其中 n 为正整数， a 为正常数。0解 令t = ax ，则有1+¥xne-ax dx =+¥t ne-t dt ，0

39、42;n+1 òa0由G 函数得1an+1n! an+1+¥xne-ax dx =òG(n + 1) =.0+¥ò10 - x思考题 3（北京航空航天大学 2000）计算x e dx.0例 10（北京航空航天大学）证明：px 21+¥+¥ò0dx = ò0dx =.2 21 + x 41 + x 411证 令t =，则 dx = -dt ，于是有xt 2t 4t 211+¥+¥0+¥ò0òdt =ò0dx = -dx ，1 + x 41 + t1

40、 + x 44 t 2即第一个等式成立。由此可得x 2111+¥+¥+¥ò0dx =(ò0 2dx +ò0dx)1 + x 41 + x 41 + x 41x 21 += 1 +¥ 1 + x 21+¥ò0ò0dx =2dx.1x 21 + x42+ x 2182d (x - 1 )12x+¥ò=(x - 1 )2 + 20x+¥111=arctan 2 2(x-)2x0=p.2 2pppòò例 11（大学）证明：lnsin xdx =ln co

41、s xdx = -ln 2 22200p111ò2 ln x = 0 p =< 1 ，收敛证 0 是lnsin xdx 的瑕点，且 lim22x®0+0x 0ppò同理可得lncos xdx 也收敛令 x =- t ，则有220p20pòòlncos xdx =lnsin xdx 20即两者相等，设其值为 I ，两者相加得pppæ 1öòòò2I =ln cos xdx +ln sin xdx =lnsin 2x ÷dxç222è 2ø000p20p

42、1212òò=ln sin 2xd (2x) -ln 22pp=ln sin xdx -ln 220pp1pòò=(ln sin xdx +ln sin xdx) -ln 22p2220ppò=ln sin xdx -ln 2,220p由此得 I = -ln 2 2例 12（2004）证明：p4dx+¥ò0(1 + x 2 )(1 + xa ) =183dxdxdx+¥1+¥ò0òò=+(1 + x )(1 + x )(1 + x )(1 + x )(1 + x2 )(1 +

43、 xa )，而证aa220111- dt t 2x =1dxtta+¥1òò1 ö = ò1(1 + t 2 )(1 + ta )dt ，=(1 + x )(1 + x )a2æ1 öæ+¥01 +1 +ç÷÷a2ètøètø于是有pdxdx+¥+¥ò0(1 + x2 )(1 + xa ) = ò1 1 + x2+¥= arctan x=14例 13（北师大）设 m, n 为正整数，求

44、t (1ln t ) dt òmn0解法一 令lnt = x ， t = ex ， dt = exdx ，原式化为m !(n + 1)m +11t (ln t ) dt0()(n +1)x mòòmmn=-ex dx1-¥0解法二 记其为 Im ，则 1 n + 1Im =t (ln t ) dt =(ln t ) dt11òòmmnn +100mm1t n (ln t )m -1 dt = -ò= -I，m -1n + 1n + 10由此递推公式立得m !Im = (- 1)m(n + 1)m +1 - x21+¥

45、;例 14（湖南大学）计算 I k = òx e 2 dx ，其中 k 为自然数。k2p-¥- x21+¥解 显然 I k = òx e 2 dx 收敛，因此，当k 为奇数时，被积函数为奇函数，从而k2p-¥I k = 0 ；当 k 为偶数时，设 k = 2n ，则有- x2- x212+¥+¥I k = òx e 2 dx =k òxk e 2 dx 。2p2p-¥0令t = x 2 ，则有184- x2k +1 2k +1-21+¥+¥1te-t dtò0

46、42;0I = xk e 2 dx = × 22k2p2pk +1k + 12n11= × 2G() = G(n +)22pp222n133 11=(n -)(n -)"×G( )p222 22= (2n - 1)!.例 15（同济大学）设 f 在每个有限区间a, b上可积，并且 lim f (x) = A ，lim f (x) = Bx ® +¥x ® -¥有限证明： "a > 0 ，f x dx(+¥()òx + a-f-¥存在，并求出它的值证 即需证明极限lim

47、f (x + a)-b) f x dx(òa ®-¥ ab ®+¥存在，并求其值事实上，ba f (x +) f x bba) -( =f (x + a)dx - ) fx dx(òòòdxaab +aa + abf (x)dx -f (x)òò=dxab +aba +aaf (x)f (x)dxòòò=dx -b +abA + ( f (x) -A)a +aaB + ( f (x) -B)ò=dx -dx= (A - B)a +)( fb +a( )dx

48、 - )( fa +ax - B)d(xòòx - Aba由已知条件 lim f (x) = A ， lim f (x) = B 易证® -¥ 和 b ® +¥ 时上式中均为x®+¥x®-¥零故有lim f (x + a) -b) f x dx( = a( A - B) òa ®-¥ ab ®+¥三有关证明问题185f ( t 2 + 4ab )dt ，其中 a,b > 0 ，并假定左右æb ö1a+¥+

49、65;òò例 16证明：f ax +dx =ç÷èx ø00两边均存在分析：比较左右两式，必须使得ax + b =xt 2+ 4ab ，由 a, b, x 的非负性立得：b ö2b ö2ææç ax += t 2 + 4ab ， ç ax -= t 2 ，÷÷èx øèx øbx故可令t = ax -b ö2bæb证 令t = ax -，平方得ç ax += t 2 + 4ab ， ax

50、 +=t 2 + 4ab ，由此得÷xèx øxx = 1 (t +t 2 + 4ab )，2aæö1tdx =ç1 +2a÷ødt ，t + 4ab2è从而有ö f ( t 2 + 4ab )t + dt t 2 + 4abæ+ b ö 1 æ+¥+¥0-¥òòòI =f ç ax÷dx =+2a èøx øè00t 2 + 4ab在第一个中令t

51、 = -，合并即得所要证之式大学）设函数 f (x) 在(-¥,+¥) 有定义， f (x) > 0 ，且在其内任意有限区间例 17（- A, B( A, B > 0) 上可积，又存在定数 M ，使得对任意 k > 0 ，有-+¥-¥òf (x)e k dx < M ，+¥证明： ò-¥ f (x)dx 收敛。+¥Aòò证 因为 f (x) > 0 ，因此，要证明f (x)dx 收敛，只需证明："A > 0 ，f (x)dx 有00界即可。

52、事实上， "A > 0 ，取 k > A ，则有186xAA-AAA0 £ ò f (x)dx £ ò f (x)edx = e k ò f (x)e k dx < e k M £ eM ，k000+¥0同理可证f (x)dx 收敛，所以ò-¥ f (x)dx 收敛ò-¥f (z)+¥例 18（大连理工）设 f (x) 在0 + ¥) 上连续，且òAdz( A > 0) 存在。证明：zf (ax) - f (bx)b+&#

53、165;ò0dx =f (0) ln a .（ a, b > 0 ）xf (ax) - f (bx)f (z)+¥+¥证 记 F ( A) = òAdx ，则对任意的 a, b > 0 ，由 òAdz( A > 0) 存在xz得 f (ax)x f (bx)x+¥+¥òòòòF ( A) =dx +dxAA f (x)x f (x)x+¥+¥ò=dx -dxaAbA f (x)xbA=dx.aA由中值定理得：bA 1bF ( A) = f

54、 (x )òaA x dx = f (x ) ln a ，其中x 介于 aA 与bA之间。所以由 f (x) 在0 + ¥) 上连续得- f (ax) f (bx)dx = lim F ( A) = lim f (x ) ln b = f (0) ln b .+¥0òaaxx®0+x®0+大学 2000）设 f (x) 在0 + ¥) 上连续，且例 19（lim f (x) = k.x®+¥证明：对任意b > a > 0 ，有+¥- f (ax) f (bx)bòdx =

55、( f (0) - k ) ln.ax0- f (ax) f (bx)Bò0 < A < B ，记 g( A, B) =dx ，则证xAB f (ax)B f (bx)aB f (t)bB f (t)g( A, B) = òAdx - òAdx = òaAdt -òbAdt ，xxtt187xA-x f (t)t f (t)tbAbBòò=dt -dt.aAaB由中值定理得： $x Î (aA, bA), h Î (aB, bB) ，使得bbg( A, B) = f (x ) ln a - f

56、 (h) ln a ，所以，由 f (x) 的连续性及 lim f (x) = k 可得x®+¥- f (ax) f (bx)dx = lim g( A, B) = lim f (x ) - f (h)ln b = ( f (0) - k ) ln b .+¥0òaaxA®0+ B®+¥A®0+ B®+¥+¥ e- ax - e-bx例 20（上海交通大学）求ò0dx.x记 f (x) = e-x ，则 f (0) = 1, lim f (x) = 0 ，由上例可得解x

57、74;+¥+¥ e- ax - e-bxbò0dx = ln a .x注也可用含参量求之。瑕与无穷有许多类似的性质。对于无穷，读者很容易举例说明： +¥+¥òò2f(x)dx 收敛，但f (x)dx 发散。对于瑕，我们有下面结果。aabbòò2例 21 设 f (x) 在(a, b) 连续，瑕f (x)dx 收敛，试证：f (x)dx 绝对收敛。aabxò- ò不仿设仅b 是瑕点，因此要证f (x)dx 绝对收敛，只需证极限 limf (t) dt 存在，证ax®bax

58、42;关于 x 单调递增，因此只需证：f (t) dt 在(a, b) 内有界。事实上，由 Schwarz 不而该a等式得ö2æxxxbòòòòçf (t) dt ÷£dx ×f (t)dt £ (b - a)f (t)dt ，22èøaaaabxòò2由f(x)dx 收敛知右边是有界量，所以f (t) dt 在(a, b) 内有界。aa有许多相似之处，在收敛级数中有通项收敛于 0，那么我们知道，无穷级数与无穷，有否有 lim f (x) = 0

59、 成立？对无穷x ®+¥+¥ò22的如sin x dx 收敛，但 lim sin x 发散即使无穷回答是绝对收敛，此结0x®+¥188论也未必成立。如ì 1,x > 1, x ¹ 2,3,4,",x = 1,2,3,".ïf (x) =2íxïî 1,+¥显然ò1f (x)dx 收敛，但极限 lim f (x) 不存在。x®+¥那么在什么条件下，极限 lim f (x) = 0 ？下面给出一组命题x ®+¥例 22 若 lim f (x) 存在，且f (x)dx 收敛，则 lim f (x) = 0 +¥òx ®+¥ax &#