数字信号处理第五章

1、pp 第一章 数字信号处理的特点、实现和应用p 第二章 离散时间信号与离散时间系统p 数字信号处理变换及算法p 第三章 离散叶变换及其快速计算方法p 数字滤波器的设计与实现p 第四章 IIR 数字滤波器设计与实现p 第五章 FIR 数字滤波器设计与实现2IIRFIR1p IIR与FIR性能比较p IIR数字滤波器p 幅频特性较好，但相频特性较差p FIR数字滤波器p 可以严格线性相位，又可任意幅度特性p 因果稳定系统p 可用 FFT 计算 (计算两个有限长序列的线性卷积)p 但阶次比 IIR 滤波器要3IIRFIR2p IIR 与 FIR 设计方法比较pIIR DFp 无限冲激响应，H(Z)

2、是 z-1 的有理分式，借助于模拟滤波器设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。p 缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIR DFp 有限冲激响应，系统函数 H(Z) 是 z-1 的多项式，采用直接逼近的方法，逼近所要求的频率响应。设计灵活性强。p 缺点： 设计方法复杂； 延迟大； 阶数高。p(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和FIR DF 的技术要求p 通带频率p，阻带频率s 及最大衰减p，最小衰减sp 很重要的一条是保证 H(z) 具有线性相位。单元)p4FIR DFp FIR 数字滤波器p 设计 FIR 滤波器的任务p 给

3、定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定 h(n) 及阶数N。p 三种设计方法p 窗函数法p 频率采样法p FIR DF 的 CAD - 切比雪夫等波纹逼近法5FIR DFpFIR 系统定义：一个数字滤波器 DF 的输出 y(n)，如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入x(n), x(n-1),. ., x(n-N+1)，则称之为FIR DF。FIR滤波器的差分方程为：pN-1y(n) = åbk x(n - k)=FIR滤波器的I/O 关系：pN-1y(n) = åh(r)x(n - r)r=0FIR 滤波器的系统函数：ph(0)zN-1 + h(1)zN-2+ .

4、h(N - 1)N-1H(z) = åh(r)z=-rzN-1N-1r=0一，。ÞZN-16FIR DFp FIR DF 的频率响应为：N -1H (e jw ) = å h(n)ejnw(w )ejq (w )= Hrn= 0Hr()：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。() = arg H(ejw) 为数字滤波器的相位响应。FIR 滤波器的最重要特点是能实现线性相位。具有线性相移特性的FIR 滤波器是FIR 滤波器中应用最广泛的一种。7p 线性相位FIR DF 的条件和特性p 线性相位FIR DF 的设计方法p 窗函数法p 频率取样法p FIR DF的实现

5、结构81p 信号通过线性滤波器时，其幅度和相位可能会发生改变，滤波器幅 频特性 |H()|和相频特性 () 可能会随频率的变化而改变。p 如：输入正弦信号Acos(n0)则：输出为 |H(0)| Acos(n0)，其中相移(0)输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化p 输出信号比输入信号滞后的样点数n (位移) 可由下式求得:设：n00q = - q (w 0 )n = -滤波器在数字频率 处的相位延迟（位移）0ww00p 由于不同频率分量通过滤波器产生的相位延迟n 的不同，最终产生了相位失真。p 确保不产生位失的办法：使不同频率的信号通过滤波时相同的延迟n。92p 对不同的频率有恒

6、定的相移，不同的相位延迟n，会产生相位失真。例：方波y(t) 可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：y(t) = 4 sin(Wt) + 1 sin(3Wt) + 1 sin(5Wt) + 1 sin(7Wt) + 1 sin(9Wt) +Lp3579若每个正弦波相移 =/2 弧度：41111yp (t)= p cos(Wt) + 3 cos(3Wt) + 5 cos(5Wt) + 7 cos(7Wt) + 9 cos(9Wt) + L可见相移之后正弦波之和已不再是方波。对所有的频率要求恒定的相移，不能避免相位失真。随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保

7、持恒定，这种方法可通过使系统的相位函数()为频率的线性函数来实现。10FIR DFp 三个内容p 约束条件pp h(n) 偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立p h(n) 奇对称：仅恒群延时成立p 频率响应Type I：h n 偶对称、N 为奇数Type II：h(n) 偶对称、N 为偶数Type III：h(n) 奇对称、N 为奇数Type IV：h(n) 奇对称、N 为偶数ppppp FIR DF 零极点分布11FIR DFpp 滤波器的延时分为相延时和群延时两种N -1H (e jw ) = å h(n)e- jnw n=0(w )e jq (w )=Hr令 q (w)= arg

8、 H(ejw )(w) = - q (w)(w ) = - dq (w )相延时： t群延时： twdw，这时滤波pg恒延时滤波器：p() 或g() 是不随变化的器具有线性相位特性。12FIR DF1p 恒相延时和恒群延时同时成立p 要使p、g 都不随 变化,() 必须是一条过原点直线q (w ) = -tw（负号是因为系统必有时延）(w)由于 FIR 滤波器的系统函数为:N -1H (e) = å h(n)ewjw- jnw0n=0N -1= å h(n)cos nw - j sin nwn=0éù故:N -1å h(n) sin nw &#

9、250;êq (w ) = argH (e jw ) = arctan ê- n=0ú = -twN -1êúå h(n) cos nw úêëûn=013FIR DF2:tan(tw ) =N -1N -1å h(n) sintw cos nw = å h(n) costw sin nwn=0n=0N -1å h(n)sin(tw - nw) = 0n=0h(0)sin(tw) + h(1)sintww + Lh(N-1)sintw-(N-1)w = 0 h(0)

10、sin(tw)h(N-1)sintw-(N-1)w+ h(1)sintww +h(N-2)sintw(N-2)w + L+ h(n)sintw-nw + h(N-1-n)sintw-(N-1-n)w + L = 014N -1sintwå h(n) sin n= n=0costwNå-1h(n) cos nwn=0FIR DF3可以证明，当N - 1t =h(n) = h( N - 1) - n(0 £ n £ N-1)h(n)且2上式成立，此时t p (w) = tg (w) = t =N - 10n72N -12h(n) 为偶对称，N 为偶数恒相延时

11、和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的必要条件是：不管N 为偶数，还是N 为奇数，系统冲激响应h(n) 都关于中心点(N-1)/2 偶对称。当N 为奇数时对称中心轴位于整数h(n)0n6N - 12样点上; 当 N 为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。，Nh(n)15FIR DF1p 只要求恒群延时成立若只要求群延时g() 为一常数，则相移特性为不过原点的直线。()ppq(w) = q0- tw =- twN -1N -1= åh(n)en=0é= åh(n)coswn - j sinwnH(e) = Hr (w)e故jwjq (w)- jwn0n=0N -1&#

12、249;å h(n)sinwn úêp2q (w) = arg H (e jw ) = arctan ê- n=0ú =- twN -1êúå h(n)coswn úêëûn=0于是有：épêë 2ù- tw= cot tw =tanúû16N -1-å h(n)sinwncos(tw) n=0=åN -1sin(tw)h(n)coswnn=0FIR DF2故N -1N -1å h(n)

13、coswncostw = -å h(n)sinwnsintwn=0n=0N -1å h(n)cos(tw - nw) = 0n=0可以证明，当N - 1t =且 h(n) = -h(N - 1) - n(0 £ n £ N-1)2上式成立，此时= N - 1t (w) =g217FIR DF3p FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应 h(n) 对中心点(N-1)/2对称。此时，无论N 为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有/2 的固定相移：q (w)p- N-1 w22因此，信号通过此类滤波器时不仅产生 (N-1)/2 个取样点

14、的延迟，还将产生 90o 的相移，通常这类滤波器又被称为 90o 移相器，并具有很好的应用价值。- 1 - N - 1 ù = -h é N - 1 ù ，故 h é Nhæ N1 ö = -h ê Né1 ù = 0当N 为奇数时h(n)ç÷úêúêúè2øë2ûh(n)ë2ûë2û006n7nN - 12N - 12h(n) 为奇对称，N 为偶数h(n)

15、 为奇对称，N 为奇数18FIR DF1p 线性相位约束条件p 对于任意给定的值 N，当 FIR 滤波器的 h(n) 相对其中心点 (N-1)/2 是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，且( ) = 0 -= (N-1)/2 ,p 偶对称： () 为过原点的，斜率为- 的一条直线ìq 0= 0, q (w ) = -twN - 1ïít =相时延和群时延同时成立2ïïîh(n) = h( N - 1 - n)p 奇对称：() 对所有的频率成分都有一个 90°相移。= p , q (w) = p -

16、twìqï022ïN - 1ït =í仅群时延同时成立2ïïh(n) = -h( N - 1 - n)ïî19FIR DF2因此，有四种类型的 FIR DF：ì类型I： h(n)偶对称，N为奇数ï类型II： h(n)偶对称，N为偶数ïí类型III：h(n)奇对称，N为奇数h(n)奇对称，N为偶数ïïî类型IV：20FIR DFType I1p h(n) 偶对称，N 为奇数（恒相时延、恒群时延）p 此时，由于 h(n) 序列的长度为奇数，

17、因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）：N -1-1N -1æ N - 1 öN -1N -12- jwH (e) = å h(n)eån=0å- jnw- jnw- jnw=+ hçjwh(n)eh(n)e÷ e2è2øN -1n=0n=+12对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m) 后得到:N -1-1 2ån=0N -1-1 2ån=0N -1- æöN 1-jwh(n)e- jnw +h( N - 1 - n)e- j ( N -

18、1) we jnwh(n)H (e jw ) =+ he2ç÷2èøh(n) = h( N - 1 - n)H(ej)0n6N - 12h(n) 为偶对称，N 为奇数21FIR DFType I2N -1-1- j N -1wæ N - 1 ö2åH (e jw ) =h(n) ëée- jnw+ e- j ( N -1)w e jnw ûù + hç÷ e22èøn=0ì N -1 -1üéùï

19、- j N -1wj N -1w- j N -1wæ N - 1 öï2ån=0= e÷ + ejne jníhçh(n) êee222úý2èøëû þïîïì N -1 -1ü- j N -1wæ N - 1 öéæ N - 1ùïïö2ån=0- n ÷w úý= e

20、47; +íhçh(n)2 cos êç2è2øëè2øû ïþïî- n令n' =2ìN -1ü- j N -1w -N - 1ïæ N1 öï2则上式为÷ + å 2h(H (e jw ) = e- n')cos n'w ýïþíhç2è2ø2ïîn '

21、=1N -1- j N -1w2å a(n)cos nw = e jq (w) H (w)= e2rn=022FIR DFType I3ìa(n) = h( N - 1)H (w )n = 0ï2N - 1其中íïa(n) = 2h- nn ¹ 0ïî2O2Magnitude ResponseN -1321.0.60.40.20H (w) = å a(n)cos nN=92rn=01相频响应： q (w) = -tw = - N-1 w02024h(n)68012frequency Unit:piPhas

22、e Response010.80.60.40.2由此可以看出其线性相位特性。由于cos(n) 对于 =0、2都是偶对称，所以幅度响应Hr() 对-10-20=0、2。00-30024a(n)681frequency Unit:pi223PhaseMagnitudeFIR DFType II1p h(n) 偶对称，N 为偶数（恒相时延、恒群时延）p 由于h(n) 序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）：N -1N -1N -12H (e jw ) = åh(n)e- jnw = å h(n)e- jnw + å h

23、(n)e- jnwn= Nn=0n=02对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m) 后得到:N -1N -122H (e jw ) = å h(n)e- jnw+ å h( N - 1 - n)e- j ( N -1)w e jnwn=0n=0h(n)由对称条件h(n) = h( N - 1 - n)H(ej)0n7N -12h(n) 为偶对称，N 为偶数24FIR DFType II2N -12H (e jw ) = å h(n) éëe- jnw+ e- j ( N -1) we jnw ùûn=0N -1N -1h(

24、n)2cosw( N -1 - n)2w å- j= e22n=0N2- n，n' =N2- j N -1wN1å 2h(n=1NH (e jw ) = e- n) cosn -w222- j N -1w122å b(n) cos(n -n=1)w e jq (w ) H(w )e2rb(n) = 2h( N - n)其中（注意n 从1 开始，即b(0)=0或没有定义）= 1, 2, .,2225FIR DFType II3H (w )N(w) = åb(n) cos é (n-)w ù21振幅响应：Hêë

25、úûr2n=12相频响应：q (w) = -tw = - N-1 wO2注意：p 在 = 处，有：NMagnitude Response210.80.6N=81.5ìæ1 öü2Hr (p ) = åb(n)cos íç n -÷p ý = 010.40.2n 从1开始îè2 øþ0.5n=100与所设计的 b(n) 或 h(n) 无关，恒为 0。024h(n)6012frequency Unit:piPhase Response这种类型（即 h

26、(n) 偶对称，N为偶数）010.8。-10.6p 由于 cos(n-1/2) 对于 =是奇对称，所以，Hr(w) 对 =也是奇对称；以 =0、2为偶对称。0.40.20-20-3002468012b(n)frequency Unit:pi26PhaseMagnitudeFIR DFType III1p h(n) 奇对称，N 为奇数（恒群时延）h(n)p h(n) 长度为奇数，拆分成前后两部分：N -1-1N -1H (e jw ) = å h(n)en=0N -1ån= N -1+12= å0jnwjnwjnw6n+h(n)eh(n)eN - 12n=02h(n

27、) 为奇对称，N 为奇数h(n)=-h(N-1-n)，得:H (e jw ) =N -1 -1N -1 -1N -1 -1222åån=0ån=0h(n)e- jnwN -1 w enwnwN -1 w e nw +h( N - 1 - n)e-=h(n)e- e-n=0N -1 -1 2N -1 -1 2- j N -1w- j N -1wN - 1N - 1åån=0- n)w = je- n)w= eh(n)2 j sin(2h(n)sin(2222n=0é N -1 -1ùp N -1æ N - 1 -&#

28、246;w ú2ån=0j ( -w )êêêë= e2h(n)sinçn ÷22úúûè2ø27FIR DFType III2H (w )N - 1 - n ，则上式为：令 n' =2N -1å2j p- N -1w 2H (e jw )w = e jq (w ) H(w)Oe22rn=1æ N -1Magnitude Responseö0.60.40.20-0.2-0.41.5其中 c(n) = 2hç- n

29、47;2èø1n = 1, 2, ., ( N -1)/ 2振幅响应：0.50024h(n)68012N -1frequency Unit:piPhase Response2H (w) = åw）1010.8n 从1开始r0n=10.60.4相频响应：p-10-200.2N-1q (w) =-00-30024c(n)681frequency Unit:pi22228PhaseMagnitud0.5piFIR DFType III3注意：p 在 = 0 , 和2 处，有：N -12H (e jw ) = ånw = 0rn=1与c(n) 或 h(n) 的值

30、无关，因此，这种类型的滤波器不适用于低通、带阻或滤波器设计，而且 ，这说明jHr(w) 是纯虚数，对于逼近理想数字变换和微分器，它是很有用的。理想的变换是一个滤波器，它对输入信号产生 90 度的相移，它频繁用于通信系统中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中 对信号求导。p 由于 sin(n) 对于 =0、2 、2为奇对称。对称，所以，Hr(w) 以 =0、29FIR DFType IV1h n 奇对称，N 为偶数（恒群时延）Npj ( p - N -1w )122åd(n)sin(n -n=1H (e jw ) = e)w = e jq (w ) H(w)22r其中d(n) = 2

31、hæ N - n ÷ , n = 1, 2, 3, ., NöçèN2ø2h(n)d(n)sinæ æ n- 1 öw ö2ån=1H (w) =0ç ç2 ÷÷7nN - 12rè èøøh(n) 为奇对称，N 为偶数pN - 1q（w）=w-2230FIR DFType IV2注意：p 在 =0, 2 处，有：NH (w )O2Magnitude ResponseH (e jw ) = åd(

32、n)sin(n - 1 )w = 020.60.40.20-0.2-0.41.5r2n=11，d(n)h(n)输函数 H(z) 在 z = 1 处为零点。显然，这种类型不能用于实现低通滤波器。又有，所以这类滤波器适用0.5002468012h(n)frequency Unit:piPhase Response10于设计变换和微分器。10.80.60.40.200p 由于 sin(n-1/2) 在 =处偶对称，-10在0、2 是奇对称，所以，H (w) 以r = 偶对称，0、2为奇对称。-20-30024d(n)6801frequency Unit:pi231PhasMagnitude0.5pi

33、FIR DFp 一般形式：H (e jw ) = e jq (w) H (w)r( Hr()p 偶对称：)- 1 wq(w) = - N2p 奇对称：pN - 1 wq(w) =-22一32FIRp 第一类FIR系统是 cosn的线性组合，当w = 0 时,H (jew)易取得最大值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是偶函数。通过频率移位，又可以体现、带通、带阻特性。所以，经典的低通、带通和带阻滤波器都是偶对称的。p 第二类FIR系统是cosn 的线性组合，当w = 0 时,H (jew) 易取得最大值，但当w = p时，H (e jw )=0，不能用于或带阻滤波器的设计。p 第三、四类FI

34、R系统是 sin wn 的线性组合，在 w= 0,p,2p时，H (的值为零，且是奇函数。这一类滤波器不适合设计低通、jew)、带通和带阻滤波器，可用来设计特殊形式的滤波器， 变换器，差分器等。如33FIR DF1、pFIR DFN -1N -1-( N -1)f (z)H (z) = å h(n)zå h(n)z- n( N -1)-n= z=z N -1n=0n=0p 在z=0处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定；p 其零点要求 f(z)=0，根据代数理论，它为 N-1阶多项式，应有N-1 个根，所以有 N-1 个零点。如果 h(n) 为实数值，其根肯定是共轭对称

35、的。34FIR DF2pFIR DFh(n) = ±h( N - 1 - n)n = 0,., N -1N -1N -1H (z) = å h(n)z-n n=0令：m=N-1-n= ±å h( N - 1 - n)z-n n=0N -1N -1H(z) = ±åh(m)z -(N -1-m) = ±z -(N -1) åh(m)zm= ±z -( N -1) H(z -1 )m=0m=0于是：H (z) = ± z -( N -1) H (z -1 )p 如果zi 是H(z) 的零点，即H(z

36、i)=0 则H(z-1) =0，即zi-1 亦为 H(z) 的零点。35FIR FD3p 上面提到zi 肯定是共轭的，故zi*p 于是零点有：亦必为其零点a1Z11*iizz*iib-111/bp 总结:Za2jewi ，有四个零点：= rp 一般情况，zii-1i-1 -ejwi-jewi-ejwi1jwei*-)1= r* = r=r= rzzz(z)iiiiiii= e jwi= e- jwizizip r=1，p 位(上的实数：1/b b, （实轴上的倒数对）。z * = z -1 = ( z *= z-1p z =1iiiii36FIR FD1p 例： 设FIR滤波器的系统函数为：1

37、H( =()0 +.-1+2-2+ z 0-3.9z+-41z9 zz.1)10求出该滤波器的取样响应h(n)，是否具有线性相位，求出其幅度特性和相位特性。对FIR数字滤波器，其系统函数为：N -11å-n-1-2-3-4H (z) =h( n)1z= 0(. +9z+2.z 1 +z 0+ z.9)10n=0h(n) = 1 1, 0.9, 2.1, 0.9,110由h(n)的取值可知h(n)h(N -1- n), N = 537FIR DF2所以，该FIR滤器具有第一类线性相位特性设其频率响应函数为N -1= åh(n)e- jwnH (e jw ) = H(w )e

38、j(gn=0= 1 10.9e- jw2.1e-2 jw0.9e-3 jwe-4 jw 101(2.1 + 1.8cosw + 2 cos 2w)e- j2w=10幅度特性函数为： H (w) = 1 (2.1+1.8cosw+2cos2w)g10相位特性函数为： j (w) = -w N - 1 = -2w238p 线性相位FIR DF 的条件和特性p 线性相位FIR DF 的设计方法p 窗函数法p 频率取样法p FIR DF的实现结构39p 思路：p 理想数字滤波器¥å- jn) =H (e jh (n)eh (n) 无限长，且非因果dddn=-¥p 设计的F

39、IR 数字滤波器H (e jw ) = å h(n)e- jnw n=0N -1h(n) 有限长，且因果Þ h (n) ¾窗¾函¾数® h(n)d截短p 要求：p 线性相位p 尽可能降低逼近误差401Hd(ej)，、pDF、带通和带阻 FIR DF，没有特指某种类型的数字滤波器。FIR DF，2，所以它可以展开为，p级数形式：¥åjw ) =(n)e - jnwH(ehddn=-¥，。hd(n)由叶级数理论可得：1p2p ò-p H (e jw )e jnwdwh (n) =dd412，DF&#

40、165;å) =- nH(h ( n)ddn= -¥p 显然，Hd(z) 是非因果的，且hd(n) 的持续时间为- +， 物理上不可实现。p 我们可以采用逼近Hd(ej) 的方法p 首先把hd(n) 先截短为有限项，把hd(n) 截为2M+1项，得：¥Mån=-¥ån=- M- nh (n)z-nH (z) =H (z) =h (n)zdd1d423p 然后把截短后的 hd(n) 右移，使之变成因果性的序列。令H(z) 等于H1(z) 乘以z-M得：M2 Mån=- Mån=0H (z) = z- M H (z)

41、=h (n)z-( n+ M )=h (n - M )z- n1ddp 令 h(n)= hd (n-M), n=0, 1, 2, ., 2M，则2 MH (z) = å h(n)z-npp H(z) 是实现的h(n) 的持续时间也n=0频率响应 z=ejp 其冲激响应是有限的p 选择 hd(n) = ±hd(N-1-n)，保证H(z) 具有线性相位。2 MH (e jw ) = å h(n)e- jnw n=0431p |H(ej)| 对 |Hd(ej)| 的逼近对hd(n) 的截短必然产生误差，即以 |H(ej)| 近似 |Hd(ej)| 。1p2p ò

42、;-p| H (e jw ) - H (e jw ) |2 dwe2=d而Hd(ej) 可以展开为：¥¥¥aH (e) = å h (n)e+åa cos(nw) +åb sin(nw)jw- jnw= 0ddnn2n=-¥n=1n=1式中:a0 = 2hd (0);an = hd (n) + hd (-n)bn = jhd (n) - hd (-n)442因为 H ej)| 是对 hd n短生，假定：AMM+ å A cos(nw) +åB sin(nw)jwH (e) = 02nnn=1n 1即当 |

43、n|>M 时，An = 0,Bn =0。所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：(a)2- A¥MM+ å(a)2å(b - B)2å (a)2e2=00- Abnnnnnn2n=1n=1n= M +1由于上式中每一的，所以，只有当A0 = a0 , An = an , Bn = bn , n = 1, 2, ., M 时。= min2453pp 当用 |H(ej)|Hd(ej)| 时，要使2 =min， |H(ejw)| 的截短后的单位取样响应 h(n) 的系数必须等于所要求的幅频响应 |Hd(ejw)| 展成叶级数的系数hd(n

44、)。级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近p 有限项å其逼近误差为： e=2h 2 (n)dn> |M |截短的长度M 越近误差2 愈小（因为hd(n) 值愈小）。46jw| Hd (e) |以线性相位理想低通滤波器为例来讨论，设群时延为。ì e- jwa| w |£ wH (e jw ) = íc-c0 cdw <| w |< p0hd(n)îc12ppò- pwjw )e jnw d wh ( n ) =H(edd 1òe - jwa e jnw dw=c0na2p- wcsin wc ( n - a

45、 )Þ h(n) ¾w¾R (n¾)® h(n)=dp n - a wcsin wc ( n - a )线性相位=pwc ( n - a )à a的确定； a(N-1)/2à 窗函数的对称性；Hd(n)：以a为中心的偶对称无限长序列471p 将hd(n) 截短：| n |£ Mh (n) = ìhd (n),í0,elseî相当于将hd(n ) 与一窗函数wR(n) 相乘，即h (n) = hd (n)wR (n)其中| n |£ Melsew (n) = ì1,&

46、#237;0,Rî在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够“看到” 多少个原来的冲激响应，“窗” 这个用词的含义也就在此。482p 窗函数的频谱ejMw -e-jMwe-jw¥MWR (e) = å wR (n)e= å ejw- jnw- jnw=1-e-jwn=-¥n=-M-jw æj2M+1w-j 2M+1w ösin (2M + 1)wsin Nweç e-e222÷=èø =2=2ww-jw æjw-jw ösin2sin2eç e 2 -e22&

47、#247;èø(e jw ) = sin(wN / 2)此矩形窗谱为一钟形偶函数，在 +2/N 之间为其主瓣，主瓣宽度 =W主瓣sin(w / 2)R-2/N22/N4/N，在主瓣两侧有无数幅度逐渐减小的旁瓣, 见。第1个旁瓣49H (e jw )与H (e jw )之间的关系d 讨论:12pH (e jw ) = H(e jw ) *W(e jw )dRN -12- j (w -q ) N -112pw- jq(w - q ) eòH(q )edq=´ Wc2dR-wc- jw N -112pwH(q ) ´ W(w - q )dqò

48、;= e´c2dR-wc- jw N -1Þ H (e jw ) = H (w)e212pwcH (q ) ´W (w -q )dqò-wH (w) =dRc即：对实际FIR滤波器频响的幅度函数H(w)起影响的是窗函数频响的幅度函数.504p 截短，根据时域相乘H (e jw ) =为频域卷积，得：1é H(e jw ) *W (e jw )ù2p ëûdR1p2p ò-p H (e jq )We j ( w-q) dq=dR为便于分析，我们假定 |Hd(ejw)|j (w-q )WR e是理想低通滤波器

49、 LPF。1wcòH (e jw ) =e j ( w-q) dqW2pR-w c0-wcc式中等于由c 到 c 区间内WRej(w-) 与轴围出的面积，随着变化，窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出区间，使得此面积发生变化， 也即 |H(ejw)| 的大小产生波动。515Hd()WR()2pN- 2pN卷积wc-wc00-ßHd()0.08950.0468c-c00.0895520.50.04680.56p 现在分析几个特殊频率点的滤波器性能Hd()1wcò = 0 时：H (e) =W (q)dqj0p12pR-w c-w-0cc由于一般情况下都满足c >> 2 / N，因此，H(0) 的值近似等于窗谱函数WR(ejw)WR()2pN- 2p。N0j 0H1 (e)12pwc = 时：ò-wpjwcw - q )dq »H1 (e) =w (cRc2c此时窗谱主瓣一半在区间内一半Hd()W (w-)R在区间外，因此，窗谱曲线围出的面积，近似为=0面积的一半，即 H (w