公路工程测量放线圆曲线、缓和曲线(完整缓和曲线、非完整缓和曲线)计算解析

1、公路工程测量放线圆曲线、缓和曲线 (包括 完整缓和曲线 、非完整缓和曲线 )计算解析例：某道路桥梁中， A 匝道线路。已知交点桩号及坐标：SP，K9+000(2957714.490，485768.924)；JD1，K9+154.745(2957811.298，485889.647)；EP，K9+408.993( 2957786.39，1 486158.713)。SP-JD1 方位角：51° 16' 25；转角：右 44° 00' 54.06 ;JD1 EP 方位角：95° 17' 201_«_一1 ' M-8:_1T丨匸_

2、1_1_11.3.i上一aII54点号交点坐百由线控制拒時克经芳庸泾亡向厂'-】XIAlLhl3nT3LeBrt tzi)IirCT!)HZ 123匕EF JF 10F 11” 1213L4r 15it17IB 1020LI2 3a 7; 14. 45FG134.7+5sr is 2j 13*134. 743fr293T0I14009. &47右44" fK 尙關'7333SFIM. T43右Q Z»iw. aejr-WC-S EWF-*1 i F 3KMC17.器 E111. ：1Sr*21fiL 13413T 9, L11-F"2&qu

3、ot;1ST, Wf-531. 134-tea 353TH. ?53Fzro紳灯 IF ?-iap沖勢：菲由上面“ A匝道直线、曲线及转角表”得知:K9+000 K9+116.282处于第一段圆曲线上，半径为 385.75mK9+116.282 K9+151.282处于第一段缓和曲线上， K9+151.282的半径为300m,缓和曲线要素 A1=217.335, Ls仁35m；K9+151.282 K9+216.134处于第二段圆曲线上，半径为 300m；K9+216.134 K9+251.134处于第二段缓和曲线上， K9+251.134的半径为 1979.5 缓和曲线要素 A2=111.2

4、45, Ls2=35m；K9+251.134 K9+408.933处于第三段圆曲线上，半径为 1979.5m求：K9+130、K9+200、K9+230、K9+300的中桩坐标，切线方位角，左 5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标解:首先，我们知道要求一个未知点的坐标，必须知道起算点坐标，起算点至未知点的方位角，起算点至未知点的直线距离，然后利用坐标正算的计算公式，就可以直接求出未知点的坐标。那么，关于圆曲线和缓和曲线（包括完整缓和曲线和非完整缓和曲线）的计算方位角和直线距离。下面，先列出关于圆曲线和缓和曲线中角度和距离计算的相关公式。,我们需要知道如何求出起算点至圆曲线或缓和曲线上某点的圆曲线

5、:建立圆曲线直角坐标系，以起点直圆 ZY的切点方向（也是直圆ZY至交点JD的方向）作为x轴，以过直圆ZY垂直于直圆ZY切线的方向作为y轴。过圆曲线上任意点P的切线与ZY JD相交，夹角（切线角）为 B,ZY P与ZYJD的夹角（弦切角）为a, ZY P的弧长为L, ZYP的直线距离为d,圆曲线的半径为R。那么，a=（弧度）2R的角度,（度）】缓和曲线:建立缓和曲线直角坐标系，以起点直缓 ZH的切点方向（也是直缓ZH至交点JD的方向）作为x轴，以过直缓ZH垂直于直缓ZH切线的方向作为y轴。过缓和曲线上任意点P的切线与ZH JD相交，夹角（切线角）为B,ZH P与ZH JD的夹角（弦切角）为a,Z

6、H P的弧长为L，Ls为缓和曲线起点ZH 缓和曲线终点HY的里程，ZH P的直线距离为d, R为缓和曲线终点HY点处的圆曲线半径。那么,缓和曲线参数：A= R* Ls ；22b=2Rl转化为角度为B丄2RL X 型；当L=Ls时，迁気X1a=- B;3在完整的缓和曲线坐标系中，缓和曲线上任一点P的坐标为（X,HYy），则缓和曲线的参数方程为:59|_13X = L- 40R2lS + 3456R4L：59904g6L6L9L15L3L7L1y =-33 +5 5 -7 76RL 336R3L34224(R5l5 967680(R7L；当L=L s时，则缓和曲线终点HY点或YH点坐标（Xo, y

7、o ）为:RL BJDZH3=.-Ls x°=8 - 40R2 + 3456 R4L5sl7599040 R6L8s* = 6R - 336R3 + 42240R5 9676800 R7ZH到P的直线距离为：d= x2 y2 ；51° 16' 25JD：X=2957811.298 y=485889. 64744° 00' 54.06K9+116. 282K9+000x=2957714.490k9+151.2820+216. 134K9+251.134R=1979.2+408. 993 X=2957786. 391 Y=486158.713分析:首先

8、，从主线示意图上可以看出，这条线路是具有多段圆曲线和非完整缓和曲线组成的线路。在计算时，需要分开推算，圆曲线段用圆曲线 的推到公式计算，缓和曲线段用缓和曲线的推到公式计算我们需要计算的桩号为K9+130, K9+200，K9+230，K9+300，这四个桩号分别处于第一段缓和曲线，第二段圆曲线，第二段缓和曲线，第段圆曲线上，需要注意的是，这里的缓和曲线是非完整缓和曲线。【注意：一定要清楚，缓和曲线是从半径为+ R。】解: ，求K9+130的中桩坐标，切线方位角，左 5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。K9+130在第一段非完整缓和曲线上，在第一段圆曲线，我们只需要计算出K9+116.282的中

9、桩坐标和切线方位角由于是圆曲线，且已知起止桩号、半径、K9+000JD的方位角，K9+000的坐标，所以计算非常简单K9+000 的坐标为（2957714.490 485768.924, L=116.282, R=385.75, K9+000JD 的方位角为 51° 16' 25，由圆曲线的相关公式推导，L 1800,a = X =8 ° 388.64 2R nK9+000K9+116.282 的方位角为:F=51 ° 16' 25 + a=59° 54' 33.64'K9+000K9+116.282 的距离为：d=2Rs

10、in a=115.842K9+116.282的坐标为：X=2957714.490+dX cosF=2957772.570Y=485768.924+dX sinF=485869.154【利用坐标正算公式直接计算即可，这里不在推导。 】K9+116.282的切线方位角为：F 切=51° 16' 25 + B=51 ° 16' 25 +2 a=68° 32' 42.28【注：我们推导下一段缓和曲线的时候，需要用到K9+116.282的坐标和切线方位角。】在完整缓和曲线的计算中，通常以直线线元与缓和曲线线元衔接点( ZH 点)为原点建立平面直角坐标

11、系进行计算，而非完整缓和曲线只是完整缓和曲线中的一段，其与上一线元的衔接点并非是ZH点，而是缓和曲线上的任意一点，也就是说它的起点半径不是,而是一个具体的数值，其曲率半径变化时由R1到R2 (R1>R2)，但是它仍然是回旋线，所以仍具有回旋线的一切特性。要解决非完整缓和曲线的计算问题，可以将其一端延伸至曲率半径为的 ZH点处，将其转换为相对应的完整缓和曲线，然后通过相应的坐标转换，就可以计算出非完整缓和曲线上任意里程的坐标数据了。如图1所示:已知第一段缓和曲线要素 A仁217.335,起点曲率半径为R1=385.75终点曲率半径为R2=300,且R1>R2，非完整缓和曲线长Ls=3

12、5m,将其曲率半径较大的一端 01 (K9+116.282)端顺延至曲率半径为的 0处，形成完整缓和曲线，就可以完整缓和曲线公式来推导非完整缓和曲线计算公式了。图中：0至0i ( K9+116.282)缓和曲线长为:0至02 (K9+151.282)缓和曲线长为:Lsi =LS2 =A2=122.448Ri皆=157.448R2O1至。2非完整缓和曲线长为:Ls= Ls2 - Ls1 =35 （和已知数据相符）我们要推算K9+130的中桩坐标，需要先推算出在完整缓和曲线中O点的坐标和切线方位角。所以需要先算出K9+116.282-O点方位角和距离d1。180冗=9° 5' 3

13、7.09'K9+151.2 82Y，a d1a2827568° 32' 42.28 1a 二- B 1=3 ° 52.36'3K9+116.282 O点方位角为：F=68° 32' 42.28' +180° -丫=68° 32' 42.28' +180° - (1-01)=242° 28' 57.55'K9+116.282 O 点距离 d1 为:d仁 x2 y2 =122.311(x, y可由缓和曲线的参数方程x =L_59L，3L371L，5L 40R

14、2l2+3456R4L459904(R6L6，= 6Rls336R3 L3 +4224(R5L5967680(R7L7推导出来)所以:O 点的坐标为(2957716.060 485760.680 ,O点的切线方位角为 68° 32' 42.28'-创=59° 27' 5.19；要计算K9+130的中桩及边桩坐标，需要计算出 O点到K9+130的方位角和距离d2,以及K9+130的切线方位角O 点到 K9+130 的弧长为 L= （9130-9116.282+122.448=136.1662L180磁= x =11 ° 14' 43.

15、13'2RL,2 n1a2 二B2=3 ° 44' 54.38'3O点到K9+130的方位角为：F=59° 27' 5.19' + a=63° 11' 59.57'O点到K9+130的距离d2为：d2= x2 y 2 =135.933 （方法同上，此处不再列出计算过程）K9+130 的中桩坐标为：（2957777.349 485882.012K9+130的切线方位角为：F 切=59° 27' 5.19' + 化=70° 41' 48.32【推算切线方位角，是为了后面

16、推算边桩方位角做铺垫。】K9+130左侧5米边桩方位角为：F左=F切-90=70° 4f 48.32 -90°=-19° 18' 11.6S这里计算出来的边桩方位角为负数，所以我们需要加上360° ,所以,K9+130 左侧 5 米边桩坐标为：（2957782.06? 485880.359；K9+130右侧10米边桩方位角为：F右二 F 切+90°=70° 4V 48.32 +90°=160° 4V 48.32K9+130 右侧 10 米边桩坐标为：（2957767.911 485885.31$F左=340

17、° 4f 48.32 ,(也68° 32' 42.28/74° 29' 11.83，求K9+200的中桩坐标，切线方位角，左 5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。K9+200在第二段圆曲线上，所以我们需要计算出这段圆曲线的起点坐标和切线方位角 就是第一段非完整缓和曲线终点 K9+151.282的坐标和切线方位角。O点的切线方位角前面已经得出，为 59° 27' 5.19',L180这里X =15° 2' 6.64，2R n所以K9+151.282的切线方位角为；F( K9 151. 282)切 =59&#

18、176; 27' 5.19' + B=74° 29' 11.83'O 点到 K9+151.282 的方位角为：64° 27' 47.4',O 点到 K9+151.282 的距离 d 为：156.966所以 K9+151.282 的坐标为：(2957783.727 485902.312。要计算K9+200的中边桩坐标，需要计算出 K9+151.282- K9+200的坐标方位角和距离，K9+200的切线方位角。a x 180 =4 ° 39' 8.0T2R nK9+151.282 K9+200的坐标方位角为：F

19、=74° 29' 11.83' + a=79° 8' 19.84'K9+151.282 K9+200 的距离 d 为：d=2Rsin a=48.664K9+200 的中桩坐标为（2957792.897 485950.104,K9+200的切线方位角为：F（ k9 200）切=74° 29' 11.83' + B=74° 29' 11.83 +2 a=83° 47' 27.85K9+200的左侧5米边桩方位角为：F 左=F（ K9 200 ）切-90=83° 47' 27.85' -90=-6° 12z 32.15'值为负数，仍然需要加上360° ,所以F左=353 ° 47' 27.85',K9+200 的左侧 5 米坐标为：(2957797.8