大二下学期17届材料力学讲稿

1、1yyyy年年M月月d日日23工程中的压杆稳定问题工程中的压杆稳定问题4工程中的压杆稳定问题工程中的压杆稳定问题5工程中的压杆稳定问题工程中的压杆稳定问题6工程中的压杆稳定问题工程中的压杆稳定问题7工程中的压杆稳定问题工程中的压杆稳定问题8工程中的压杆稳定问题工程中的压杆稳定问题91011 1983年年10月月4日，北京的一幢正在施工的高层日，北京的一幢正在施工的高层建筑的高建筑的高54.2m、长、长17.25m、总重总重565.4kN的的大型大型脚手架屈曲坍塌，造成脚手架屈曲坍塌，造成5人死亡，人死亡，7人受伤人受伤 。 横杆之间的距离横杆之间的距离 2.2m规定值规定值1.7m; 地面未夯

2、实，局部杆受力大；地面未夯实，局部杆受力大； 与墙体连接点太少；与墙体连接点太少； 安全因数太低：安全因数太低：1.111.75FPcrFPcrF PFPFPcrFP 分叉点分叉点(临界点临界点)FPFPFPFP平衡路径平衡路径压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉 20分叉点分叉点FPOFPcr平衡路径平衡路径平衡路径平衡路径 平衡路径的分叉点：平衡路径的分叉点：平衡路径开始出现分叉平衡路径开始出现分叉的那一点。的那一点。 分叉载荷（临界载分叉载荷（临界载荷）：分叉点对应的载荷，荷）：分叉点对应的载荷，用用FPcr 表示。表示。压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉压杆的

3、平衡构形、平衡路径及其分叉 21判别弹性平衡稳定性的静力学准则判别弹性平衡稳定性的静力学准则 平衡构形平衡构形压杆的两种平衡构形压杆的两种平衡构形 (equilibrium configuration)FPFPcr : 弯曲平衡构形弯曲平衡构形 (在扰动作用下在扰动作用下)FP22判别弹性平衡稳定性的静力学准则判别弹性平衡稳定性的静力学准则 平衡构形平衡构形压杆的两种平衡构形压杆的两种平衡构形 (equilibrium configuration)FP FPFPcr :在扰动作用下，在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，衡构形，扰动除去后，不能恢复到

4、直线平衡构形，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形则称原来的直线平衡构形是不稳定的。是不稳定的。FPFP24压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉 压杆从直线平衡构形到压杆从直线平衡构形到弯曲平衡构形的转变过程，弯曲平衡构形的转变过程，称为称为“屈曲屈曲”。由于屈曲，。由于屈曲，压杆产生侧向位移，称为屈压杆产生侧向位移，称为屈曲位移。曲位移。252627282930M=-Pv = d2v Mdx2 EI令有EIPvdxvd22EIPk20222vkdxvd31EIPk20222vkdxvd022 krrki 通解通解v=Asinkx+Bcoskx32确定待定

5、系数确定待定系数:v=Asinkx+Bcoskx根据边界条件x=0及x=l时,v=0可得B=0, Asinkl=0sinkl=0?A=0Pxv33kl=np (n=0,1,2,)最小非零解为: n=122lEIPcrp欧拉公式欧拉公式222lEInPcrpPxv3435理想受压直杆与理想受压直杆与真实压杆的区别真实压杆的区别真实压杆的缺陷：真实压杆的缺陷：初曲率初曲率非均匀性非均匀性偏心载荷偏心载荷363722lEIPcrp38一端固支一端一端固支一端自由自由(悬臂悬臂)22)2( lEIPcrp39一端固支一端滑动一端固支一端滑动固支固支(简称两端固支简称两端固支)22)5 .0(lEIPc

6、rp4022)(lEIPcrp 如何分析临界力与如何分析临界力与挠度曲线间的关系？挠度曲线间的关系？41几何上，形成一个正弦波所需几何上，形成一个正弦波所需杆长与压杆原长度之比等于杆长与压杆原长度之比等于 值值4222)(lEIPcrp几何上，形成一个正弦波几何上，形成一个正弦波所需杆长与压杆原长度之所需杆长与压杆原长度之比等于比等于 值值 值的推导？值的推导？ 4344PPmmxy挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程EImEIPvdxvd2245通解加特解:v=Asinkx + Bcoskx + m PPPmmxyEIPk2EImvkdxvd22246边界条件边界条件x= 0 及 x =l 时,

7、 v = 0 ,v=0v=Asinkx+Bcoskx+ mP得0PmB0Ak0cossinPmklBklA0sincosklBkklAkSinkl = 0Cos kl -1=0解得解得K l = 0, 2p p, 4p p最小非零解最小非零解K l = 2p p224lEIPcrpEIPk2A=00PmBsinkl=0coskl-1=047xPQyEIPk2222()d vQk vlxdxEI通解加特解:v=Asinkx+Bcoskx+ (l-x)QP22()d vPQvlxdxEIEI 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程48边界条件边界条件x=0时, v=0 ,v=0 x=l时, v=0 得v

8、=Asinkx+Bcoskx+ (l-x)QP0lPQB0PQAk0cossinklBklAA,B,Q不能都为不能都为零，则其系数零，则其系数行列式必为零行列式必为零0 1 lk 0 -1sinkl coskl 0=0tgkl=kl最小非零解 kl=4.49222)7 .0(19.20lEIlEIPcrpEIPk249临界载荷的通用表达式临界载荷的通用表达式22()crE IFlp22()crcrFEIAlAp由AiI222()crcrFElAip令il22pEcr临界应力的临界应力的欧拉公式欧拉公式50ppEp21则1pcrEp22pEp2或51临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总

9、图12bas2pEp2152临界应力总图临界应力总图53crwFFnwcrnwcrwFnnF54bacrbas2 1 1 2 2 2有时有时用用 s表示表示临界应力总图临界应力总图125556)(2)(1574di 12511il5.6222il25.3133il992ppEpMPaEcr1262121p57bassMPabacr2342MPascr240311158crcrFAkN22294crcrFAkN33302crcrFAkN58crstFnnF稳定安全系数稳定安全系数 nst与强度安全系数的区别与强度安全系数的区别强度安全系数取值强度安全系数取值1.22.5，有时可达，有时可达3.5

10、稳定安全系数取值稳定安全系数取值25,有时可达有时可达81059在如图所示的结构中，梁在如图所示的结构中，梁AB为为No.l4普通热轧工字普通热轧工字钢，钢，CD为圆截面直杆，其直径为为圆截面直杆，其直径为 d20 mm，二者材料均，二者材料均为为 Q235钢。结构受力如图所示，钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰三处均为球铰约束。若已知约束。若已知FP25 kN，l11.25 m，l20.55 m， s235 MPa。强度安全因数。强度安全因数n ns s1.451.45，稳定安全因数稳定安全因数 n n stst1.81.8。此结构是否安全？此结构是否安全？ 60在给定的结构中共有

11、两个构件：梁在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压缩载荷，属于承受压缩载荷，属于稳定问题。稳定问题。 (3max1(sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN mPMFlo.3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFFoo大梁大梁AB在截面在截面C处弯矩最大，该处横截面为危险截面，处弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为其上的弯矩和轴力分别为 61(3max1(sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN mPMFlo.3NPcos302

12、5kN 10cos3021 65kN.xFFoo由型钢表查得由型钢表查得No.14普通热轧工字钢的参数为普通热轧工字钢的参数为Wz =102 cm3=102 103 mm3；A21.5 cm221.5 102 mm2由此得到由此得到梁内最大应力梁内最大应力42239333maxmax10mm1052110N652110mm1010210mN6315.AFWMNxz62(3max1(sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN mPMFlo.3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFFoo42239333maxmax10mm1052110N652110mm1010

13、210mN6315.AFWMNxzMPa2 .163Pa102 .163663由此得到由此得到梁内最大应力梁内最大应力maxmax163 2MPa.NxzMFWAQ235钢的许用应力钢的许用应力 MPa1621.45MPa235ssn max略大于略大于 ，但（，但（ max一一 ） 100/ 0.75，在工程上仍认为是安全的。，在工程上仍认为是安全的。 64 kN2530sin2PPNFFFCDommdddAIi5446424pp65 kN2530sin2PPNFFFCDo5 mm4IdiA101110m105m55001P3.il66 kN2530sin2PPNFFFCDo(410mm20

14、11010GPa206423-292222crPcrdEAFkN825N108523.P110101 67 kN2530sin2PPNFFFCDo5 mm4IdiA这表明，压杆这表明，压杆CD为细长杆，故需采用欧拉公式计算其为细长杆，故需采用欧拉公式计算其临界应力临界应力。22Pcrcr252 8kN4.EdFA 于是，压杆的工作安全因数于是，压杆的工作安全因数 8111225kNkN852stNPcrwcrw.nFFnCD68 kN2530sin2PPNFFFCDo22Pcrcr252 8kN4.EdFA 这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。 811122

15、5kNkN852stNPcrwcrw.nFFnCD上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。性都是安全的。 69例例 2(书例书例 9.5 )已知已知: 活塞直径活塞直径D= 65 mm，p= 求求： 活塞杆直径活塞杆直径d 。解解：这是截面设计问题。这是截面设计问题。l 需要的临界压力值为需要的临界压力值为pDF241N3980l 先假设为大柔度杆先假设为大柔度杆F1.2MPa, l=1250mm, 45钢，钢，p = 220MPa, E= 210GPa, nst = 6。FnFstcrN23900l 活塞杆所受压力活塞杆所受压力用欧拉

16、公式计算临界压力用欧拉公式计算临界压力70解解：这是截面设这是截面设计问题。计问题。l 需要的临界压力值为需要的临界压力值为pDF241N3980l 先假设为大柔度杆先假设为大柔度杆FFnFstcrN23900l 活塞杆所受压力活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力用欧拉公式计算临界压力u 活塞杆可简化为两端铰支杆活塞杆可简化为两端铰支杆122cr)(lEIF242)(64ldEmm6 .24d取取mm25d71u 活塞杆可简化为两端铰支杆活塞杆可简化为两端铰支杆122cr)(lEIF242)(64ldEmm6 .24d取取mm25du 根据求出的根据求出的d计算柔度计算柔度il4dl200u

17、计算计算 1 p21E97因为因为1，是大柔度杆。，是大柔度杆。 以上计算正确。以上计算正确。7222()crEIFlpcrcrFA)(2)(1crwFnnF7322()crE IFlp22pEcr临界应力的临界应力的欧拉公式欧拉公式值降低柔度系数il747576AIi pbacrcrstFnnFscr77ililaaa5ililbbb77 .0ililccc95 .0ililddd22il78b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢钢E205 GPa, FP150 kN, nst=1.8 该压杆的该压杆的稳定性？稳定性？ 79AIizzAIiyy80工作工作安全因数

18、为安全因数为kN22764)(222crPcr.dEAzF83411502276PPcrwrcrw.FFnIz=bh3/12 z=132.6 z= z l / iz ,因此，因此，压杆将在压杆将在正正视视图平面内图平面内屈曲。屈曲。8183411502276PPcrwrcrw.FFn82. .图示结构中图示结构中ABAB为为刚性杆，刚性杆，CDCD为边长为边长a=30mma=30mm的正方形的正方形钢杆，钢杆，EFEF为直径为为直径为d=20mmd=20mm的圆截面钢杆，弹性模量的圆截面钢杆，弹性模量E=200 E=200 GPaGPa，比例极限为，比例极限为200MPa, 200MPa, 屈

19、服极限为屈服极限为230 MPa230 MPa，在钢杆，在钢杆的的B B端有集中力端有集中力F FP P作用，求钢架倒塌时的作用，求钢架倒塌时的F FP P值？值？1.1.倒塌时倒塌时1 1杆屈服杆屈服、2 2杆失稳杆失稳1632266.6crEFAkNpmax2221.52321.52PCDEFFFFmax46PFkNA AE EB BD D1m1m1 1m m1m1m1m1m1.5m1.5mF FC C1 12 2F FP PEFsFACDcrFF8322113232AEFlIEFl利用杆的变形条件利用杆的变形条件2222)2(lIEFcrpl2lABCD. .相同的悬臂梁相同的悬臂梁AB

20、AB和和CDCD，抗弯刚度为抗弯刚度为 E E1 1I I1 1，长，长L L，垂直，垂直间距为间距为L/2,L/2,若在两梁间装配细杆若在两梁间装配细杆BD,BD,其抗压刚度为其抗压刚度为E E2 2A A2 2 , ,抗弯刚度为抗弯刚度为E E2 2I I2 2 , ,求加工求加工BDBD杆的最大允许过盈量杆的最大允许过盈量。FF利用杆的稳定条件利用杆的稳定条件)232(42211222maxlAIIElIEp两根梁自由端挠度两根梁自由端挠度加上加上杆的杆的压缩压缩变形变形关键在于建立关键在于建立变形变形协调协调条件条件84两端铰支两端铰支8586Pcr87 图示结构，是刚性杆，是弹性杆，

21、图示结构，是刚性杆，是弹性杆，AC杆杆的抗拉压刚度为，求此桁架的临界载荷的抗拉压刚度为，求此桁架的临界载荷crsinhlAC88cossinACEAEAllFACACsincrhFhPAC求出由0crBMPEAPcossin2cr89bacdcrcrcrcrFFFF90AIi pbacrstcrnPPnscr91lw2FlcyxcxcABw1F1Flcyxcxl922121112( )d wF cEIMxxFwdxl(0()xlc2222122()()( )d wF lc lxEIMxFwdxl()lcxlw1F1F2FlcyxcxlcAB2F cl2()Flcl932121112( )d wF cEIMxxFwdxl(0()xlc2222122()()( )d wF lc lxEIMxFwdxl()lcxl221212d wF ck wxdxE