工程力学静力学第三章力矩与平面力偶理论

1、第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论 力矩的概念与计算力矩的概念与计算 力偶及其性质力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡（一）平面中力矩的概念（一）平面中力矩的概念oABdF一、力对点的矩的定义一、力对点的矩的定义力使刚体绕力使刚体绕O点转动的强弱点转动的强弱程度的物理量称为力对程度的物理量称为力对O点点的矩。用的矩。用)(Fmo表示，其定表示，其定义式为：义式为：FdFmo)(其中：点其中：点O称为矩心，称为矩心，d称为力臂。称为力臂。（1）力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩）力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心心逆时针转动取正逆时针转

2、动取正，反之取负。，反之取负。（2）力矩的单位为：牛顿）力矩的单位为：牛顿（3）力矩是代数量。）力矩是代数量。米（米（N m）。）。（4）由图可知：）由图可知：OABFmo2)( 的面积的面积（5 5）当力过矩心时，力矩为零；当力为零时，力矩为零）当力过矩心时，力矩为零；当力为零时，力矩为零（一）平面中力矩的概念（一）平面中力矩的概念二、平面汇交力系的合力矩定理二、平面汇交力系的合力矩定理定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任意平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即数和。即oxxyyFA 利用合力矩定理，可以利用合力矩定

3、理，可以写出力对坐标原点的矩的解写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即析表达式，即yFxFFmFmFmxyxoyoo)()()(yFxF)()(ioRoFmFm合力矩定理的证明证明：l1FOAB1B2BB3b1b2b32FRF3Fb)()(ioRoFmFmObOAOABFmObOAOABFmObOAOABFmObOAOABFmRoooo2)(2)(2)(2)(333222111)()()(321RoioFmobOAobobobOAFm3.1力 矩 的 概 念 与 计 算例例1 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 对A、B、C三点之矩。FFABCDAdC

4、d解：由定义mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(3.1力 矩 的 概 念 与 计 算例2OxyFA1r2rBd如图所示，求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA3.1力 矩 的 概 念 与 计 算例3T1=2KNT2=1KNR=250mmO求：两力对求：两力对O点的力矩分别是多大？合力矩点的力矩分别是多大？合力矩多大？多大？如果把两皮带

5、的夹角变大，力矩是否发生变如果把两皮带的夹角变大，力矩是否发生变化？化？力 偶 及 其 性 质（二）力偶的概念（二）力偶的概念dFF（1） 在力学中，把等值、在力学中，把等值、反向、平行而不共线的两反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力作为个具有特殊关系的力作为一个整体，称为一个整体，称为力偶力偶。 表示为表示为),(FF（2）两力作用线所决定的平面称为）两力作用线所决定的平面称为力偶的作力偶的作用面用面，两力作用线间的距离称为，两力作用线间的距离称为力偶臂力偶臂。（3）力偶是具有特殊关系的力组成的力系，）力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，虽然力偶中每个

6、力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性：但作为一个整体又有它本身的特性：力偶既力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。3.2力 偶 及 其 性 质（三）力偶矩的概念（三）力偶矩的概念 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm（1）正负号表示力偶的转向。规定）正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正逆

7、时针取正；顺时针取负顺时针取负。（2）单位同力矩的单位。也是代数量）单位同力矩的单位。也是代数量（3）力偶三要素：大小、转向、力偶作用平面）力偶三要素：大小、转向、力偶作用平面力偶矩力偶矩：是力偶对物体转动效果的唯一：是力偶对物体转动效果的唯一度量。度量。3.2力 偶 及 其 性 质（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理PF2F FPF1F1F2定理：在同一平面上的两定理：在同一平面上的两个力偶，如果他们的力偶个力偶，如果他们的力偶矩大小、转向都相同，则矩大小、转向都相同，则两个力偶等效。两个力偶等效。) ,() ,(PPmFFm已知证明：两力偶等效) ,() ,() ,(11PPmFFmF

8、Fm（通过力的等效变化得到的）3.2力 偶 及 其 性 质（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理 推论推论1、力偶可以在其作用平面内任意移、力偶可以在其作用平面内任意移动而不影响其对刚体的作用效果。（也就是动而不影响其对刚体的作用效果。（也就是说，力偶对刚体的作用效果与力偶在平面内说，力偶对刚体的作用效果与力偶在平面内的位置无关，恒等于力偶矩的大小）的位置无关，恒等于力偶矩的大小）力偶可表示为：力偶可表示为：mm推论推论2、只要保持力偶矩不变，力偶可以、只要保持力偶矩不变，力偶可以适当改变力的大小和相应的力偶臂的大小，适当改变力的大小和相应的力偶臂的大小，而不改变其对刚体的作用。而不改变其对

9、刚体的作用。Fdm3.2力 偶 及 其 性 质（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理 此上性质是力偶系合成的基础。此上性质是力偶系合成的基础。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。素为：矩的大小和转向。 力偶可表示为：力偶可表示为：mmm讨论：讨论： 力偶在作用面内任一轴上的投影均为零力偶在作用面内任一轴上的投影均为零。3.3平面力偶系的合成与平衡（五）平面力偶系的合成（五）平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为作用面共面的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FdRAdFm11dFm33dFm22321F

10、FFR321321)(mmmdFFFRdM推广得：推广得：mmmmMn 21结论：结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。的代数和。BdRRABd3.3平面力偶系的合成与平衡（六）平面力偶系的平衡（六）平面力偶系的平衡 平面力偶系总可以简化为图平面力偶系总可以简化为图示情形。若示情形。若R=0，则力偶系平衡，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是合力偶矩等于零，则或是R=0或或是是d=0，无论哪种情况，该力偶系

11、，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：均平衡。因此可得结论： 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。中各力偶矩的代数和等于零。即：即：0m上式称为上式称为平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。RRAB3.3平面力偶系的合成与平衡例例4 图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。MABMCMCARCRMMABCARBRBRMCR3.3平面力偶系的合成与平衡例例5AB1m2m3mARBR 求图示简支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁为研究对象，受力如图。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR3213.3平面力偶系的合成与平衡例例6BAC1m2mDE45EB1mAARERC2mDECRER 如图杆AB上有一导槽，套在杆CD上的销子E上