复杂网络理论及应用

1、复杂网络理论及应用Complex Network Theory and Its Application项副教授厦门大学自动化系: xiangly Tel:第五章复杂网络5.1 复杂网络的同步5.2 复杂网络的牵制2复杂网络问题: 当网络通过相互之间的耦合不能达到同步时，怎么办？引入来解决3复杂网络什么叫牵制特点: 选择少部分节点进行？优势:器个数少，计算量小，花费小思想: 网络中小部分节点能够“网络的同步”网络的其它节点逐渐实现整个4牵制的分类特定牵制(Specifically Pinning)根据节点的某些具体特性，比如节点的度，有选择地选取部分节点进行随机牵制(Random Pinning

2、)在网络中以某一概率随机选择部分节点进行例如，基于节点度的特定牵制，是指首先选取度最大的节点进行，其次选取度次之的节点进行，即按照目标。单调递减的次序选取节点进行，直至达到5复杂网络次序: 节点4, 5, 3, 6, 1067牵制思想的应用 这种“牵一发而动全局”的思想已在实际众多复杂系统中得到证实 生物群落: 蚁后蜂后具有整个蚁群蜂群的绝对系统: 群体意见的形成经常受到某个或某些导者的影响: 心脏细胞跳动的节奏是由位动而引起细胞的带网络模型连续时间耦合网络N= f (xi ) - cålij Gxj ,(1)i = 1, 2,L, N .x&ij =1Î RnT:

3、 状态变量x ,L, xi 2inc > 0: 耦合强度G = diag(r , r ,L, r ) Î R´nn:内耦合矩阵12n) Î RN ´NL = (l: Laplacian矩阵ij假设网络拓扑是无权无向的连通的简单图9复杂网络例子一个简单网络: N=2, n=2, c=1ù ,G = é00ù考虑fúê01úxëû2 ûù - éëù - éù0则有12ú-é x&am

4、p; ùx22 û121= ?ê x& úù0ë 2 û22ú+ xë22 û1210如何设计器？xN = x ,ui = -cdG(xi - x ).f (x ) = 0.目标:器:(2)增益、牵制强度受控网络:ìNf (xi ) - cålij Gxj - cdG(xij =1=- x ),i = 1, 2,L, l,ïx&iïí(3)Nïx&if (xi ) - cålij Gxj ,=i = l

5、 +1, l + 2,L, N.ïîj =1受控节点个数、牵制密度11复杂网络稳定性分析受控网络可写为N= f (xi ) - cålij Gxj - cdi G(xi - x ),i = 1, 2,L, N ,x&i(4)j =1i = 1, 2,L, l, i = l +1, l + 2,L, N.其中，ìd ,= í0,diî令误差为ei = xi - x ,i = 1, 2,L, N.(5)线性化得到E& = EJT (x ) - cBEG,(6)其中， E = e , e ,LeJacobian矩阵T ,12

6、NB = L + D,D = diag(d1, d2 ,L, dN ).12令 l1£ l2 £L £ lN为矩阵B的特征根，相应的特征向量为F = f ,f ,L,fÎ RN´N ,12NBfk = lkfk ,k = 1, 2,L, N.满足引入变换可得E = Fh,h& = h J T (x ) - cLhG,(7)其中，L = diag(l1, l2 ,L, lN ).进一步得到hl G)h ,= (J (x ) - ck = 1, 2,L, N .TT&(8)kkkn×N维的受控动态系统(4)的稳定性问题转化

7、为N个n维线性系统(8)的稳定性问题13复杂网络一个引理线性定常系统的特征值判据系统x& = Ax 渐近稳定的充要条件: 系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即Re(li ( A) < 0,i = 1, 2,L, n.14复杂网络c ³ r,稳定性条件(9)l (B)1r > 0，保证 J (x ) - rG是Hurwitz稳定矩阵。其中，常数X.F. Wang, G. Chen. Pinning control of scale-free dynamical networks. Physica A, 2002, 310: 521-531.15复杂网络无标度网

8、络和随机网络的牵制比较纵坐标: 间接被节点百分比结论: 对于无标度网络，基于节点度的特定牵制策略要比随机牵制策略更有效；对于随机网络，两种复杂网络策略区别不大16鲁棒性和脆弱性17复杂网络去除节点对网络连通性的影响如果在移走少量节点后网络中的绝大部分节点仍是连通的，那么就称该网络的连通性对节点故障具有鲁棒性18随机故障对随机网络连通性的影响结论: 随机去除网络中的大量节点，随机网络被分成多个孤立的子网19复杂网络随机故障对无标度网络连通性的影响结论: 随机去除网络中的大量节点，无标度网络仍可保持基本的连通性20复杂网络蓄意对无标度网络连通性的影响结论: 蓄意去除少量度最高的节点就可破坏无标度网

9、络的连通性“擒贼先擒王”21复杂网络鲁棒性和脆弱性无标度网络对随机故障具有高度的鲁棒性，对蓄意具有高度的脆弱性无标度网络中那些极少数的度很大的节点的稳定与否决定了整个网络的稳定性可以理解为无标度网络在被镇定和性和脆弱性(Robust yet Fragile)”时所特有的“鲁棒22复杂网络设计一个或多个网络，举例验证稳定性条件(9)要求:(1)网络结构可选为第四章介绍的模型(也可设计连接规则构造新的网络模型，给出具体算法创新)，给出网络具体的 结构参数，如L、C、度分布等，画出网络结构图(N40)；(2) 比较耦合强度c、牵制密度 l 和牵制强度 d 等参数对网络稳定性的影响；(3) 比较不同的

10、方法对网络稳定性的影响。文件:学号姓名.doc (学号和姓名之间无其它符号)图: eps格式保存后到word文档中(附程序)发到邮箱: xiangly2015.12.28前纸质版上交 海韵科研2#218室(教务处存档)23“唉，要写作业呀？好头疼哟！”，还是您来写吧！复杂网络例子考虑单个节点是Lorenz 系统，动力学方程为é p1 (x2 - x1 )é x&1ùùê x& ú = ê pú .xê2 úê13 úúû- p2 x32p

11、= 10, p = 8 , p = 28参数为时，它是一个混沌吸，1233具有以下3个不稳定平衡点:= 0, 0, 0T ,x±= ±62, ±6x02, 27T.25502045154010355300255201015151020525020151050x1510152020151050x15101520x2x3混沌系统的特点钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶； 战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；一滴曹溪水, 涨起西江十八滩。-苏轼战事折，灭。-27问题1: 如何求解平衡点？x& =f (x , t) = 0 的状态 x ，称为平衡状态。对于所有t，满足平衡

12、状态的各分量相对时间不再变化。若已知状态方程，令x& = 0 所求得的解 x ，便是平衡状态。线性定常系统 x& = Ax ，其平衡状态满足Ax = 0，只要A异，系统只有唯一的零解，即存在一个平衡状态。对于非线性系统， x& = f (x , t) = 0 的解可能有多个，状态方程决定。28复杂网络例子Lorenz 系统x& = f (x)é p1 (x2 - x1 )é x&1ùùê x&ú =úpxê2 ú1 3 úêë&

13、#250;û- p2 x32解:x3 = 0ìÞ ïîì p1 (x2 - x1 ) = 0ï p x - x= 0= 6= 6= 27x3 = 27 2, 27T .29262,2312= 0= -6î2,x±= 0, 0, 0T ,= ±62, ±63个不稳定平衡点:x0问题2: 如何求解Jacobian 矩阵?x& = f (x),f (x)设系统状态方程为为非线性函数，在平衡x状态附近存在各阶偏导数，可展开为下列级数x& =x ) + g(x).f (x)x=

14、x¶f式中，g(x) 为级数展开式中及其以上各项之和，¶xT为向量函数的 Jacobiané ¶f1矩阵，即¶f1¶f1ùúêxêún¶f= ê MMú .MM¶xTê¶fú¶f¶fên êë n ú n úûxn30例子Lorenz 系统x& = f (x)- x1 )xé x&1ù3 ) ù

15、;é p1 (x2ùúúúûf1ê fê x& úx )úê p xê2 úúêêë331úû-)x&解:é ¶f1ù¶f1¶f1úx3 ú- pép0ùêú11¶f) = ¶xTx= xë2 ûê ¶fú21&#

16、182;f¶fê3 3 3 úx3û31- p1ép1-1x10-x1ùúJ (x ) = ê p - x33p = 10, p= 8 , p = 28êêëú1233- p2 úûx2x= xx = x0 = 0, 0, 0T ,é-10当ì-22.82770 ù10-1 0ïJ (x ) = J (x0 ) = ê 280 ú.l(J (x ) = l(J (x ) =-02.6667

17、7;êúï 11.8277êú-08îë+3 û当 x = x+T , 10-12é -10êù0-13.8546ì-62 ú .ï+l(J (x ) = l(J (x ) =0.0940 +10.1945i+J (x ) =1J (x )íêëúï0.0940 -10.úi- 8î623ûx = x-é -10êT , 10-12当ù0-13.8

18、546ì-62 ú .ïl(J (x ) = l(J (x ) =0.0940 +10.1945iJ (x ) =-=1-J (x )íêëúï0.0940 -10.úi- 8î623ûG = diag(1,1,1).考虑受控网络为éùúúúú ,úúúúûN- xi1 ) - cålij x j1+ ui1ê p1 (xi 2êj =1é

19、; x&ùêi1úNêê x&i 2 ú =- x- ci = 1, 2,L, Np3 xi1l xuij =úx&iûêN- c+ ui3xi3lijj = ìï-cd (xij- x j ),i = 1, 2,L, l; j = 1, 2, 3其它uí0,ijïî33全局耦合网络1010x = x0= 0, 0, 0T9988770510t0510tN=5, l=1, c=16, d=1034x (i=1,.,5)ix (i=1

20、,.,5)i全局耦合网络1010x = x0= 0, 0, 0T886644220020200.511.52t2.533.540.511.52t2.533.54N=5, l=1, c=22, d=1035x (i=1,.,5)ix (i=1,.,5)i星形耦合网络1010x = x0= 0, 0, 0T8866442200202020040060080010002004006008001000ttN=10, l=1, c=23, d=10中心节点36x (i=1,.,10)ix (i=1,.,10)i星形耦合网络1010x = x0= 0, 0, 0T88664422002020510t152

21、0510t1520N=10, l=1, c=24, d=10中心节点37x (i=1,.,10)ix (i=1,.,10)iBA无标度网络x = x+= 62, 27T2, 640403535303025252020151510105500000.511.5t22.530.511.5t22.53N=50, l=1, c=10, d=100度最大节点38x (i=1,.,50)ix (i=1,.,50)iBA无标度网络x = x+= 62, 27T2, 6353530302525202015151010550000.511.5t22.5300.511.5t22.5N=50, l=10, c=10

22、, d=10度最小的10个节点39x (i=1,.,50)ix (i=1,.,50)i例子 考虑单个节点是 Chen 系统，动力学方程为é p1 (x2 - x1 )é x&1ùùê x& ú = ê( p - pú .+ p xxê2 úê32 úúû31 3- p2 x3,3 p=2351 = ,p2 = 3参数为p时2，8 它是一个混沌吸，具有以下3个不稳定平衡点:= 0, 0, 0T ,x±= ±37, ±3x07, 21T .40G = diag(1,1,1).考虑受控网络为éùúúúN- xi1 ) - cålij x j1+ ui1ê p1 (xi 2êj =1é x