高一寒假 第3讲 数列的小伙伴们 教师版 目标班

1、.数列的小伙伴们第3讲满分晋级 数列1级与数列的第一次亲密接触数列3级等差数列深化数列2级数列的小伙伴们知识切片 <老师备案>本讲内容分成两部分：31等比数列的根本量；32等比数列的性质初步本讲内容较少，可以与上一讲进展一个时间上的平衡本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些详细的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等比数列的项数再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质希望把概念分开讲解，分别配例题国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽量不用了，由汉诺塔引入3.1等比数列基本量计算等比数列引入汉诺塔在印度，有这么一

2、个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯在印度北部的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔如以下图不管白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法那么挪动这些圆盘：一次只挪动一片，不管在哪根柱子上，小圆盘必在大圆盘上面当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题要把圆盘挪动到另外一根柱子上，至少需要挪动多少次呢？设有个圆盘，要从挪动到，至少需要挪动的次数为易知时，的时候，可以考虑先将上面两个小的移到上，要次，再将最大

3、的那个移到上，要次，最后将上的两个移到上，要次，总共要次对于一般的，我们可以类似考虑如以下图：先将上面个圆盘移到上，要次；然后将最大的那个盘子移到上，要次挪动；最后再将上的那个圆盘移到上，要次这种方法需要的次数为下面简单说明一下，至少要挪动的次数只需要考虑最大的那个圆盘挪动到上的时候，此时，比较小的个圆盘必定是图中的摆放方式，这个圆盘从到要次，然后这个盘子移到又要次，因此总共至少要次才行综上可得到数列的递推公式，那么也可变形为，于是假设一秒钟能挪动一次，那完成目的需要的时间就是秒，大概是亿年，地球是远撑不到那个时候的当然，我们不是要讨论地球什么时候消灭，而是要研究像这样的数列，比方怎么求和，类

4、似于这样的数列就是等比数列考点1：等比数列的概念知识点睛1文字定义：假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2符号定义：数列中，假设为常数，那么称为等比数列<老师备案>对于等比数列定义的详细理解： 由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此也不为0 “从第二项起是因为首项没有“前一项 均为同一常数，即比值相等，由此表达了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒 假如一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数

5、列不是等比数列这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列 假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列假设常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列当常数列各项不为0时，是等比数列经典精讲【例1】 等比数列的认识以下数列是等比数列吗?假如是，求出公比，假如不是说明理由【追问】等比数列是不是一定是单调的？【解析】 不是等比数列，是等比数列的项中有0，此数列从第2项起是一个等比数列，【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探究一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式时，等比数

6、列是常数列，不单调性；时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如；，时数列单调增加，如；，时，数列单调递减，如；，时，数列单调递减，如；，时，数列单调递增，如考点2：等比数列的通项公式知识点睛等比数列，首项为，公比为，第项为，通项公式：第项首项项数减1<老师备案>等比数列通项公式的推导：可以直接迭代，根据等比数列定义有也可以用叠乘法进展推导：根据等比数列的定义，可以得到，把以上个等式左右两边分相乘得即，经典精讲【例2】 等比数列的根本量与通项公式数列的通项公式为，那么首项_，公比_等比数列的第项_，第20项_等比数列的第项为_，项数_等比数列中，那么该数列的通项_；到共项

7、，或是写出通项公式知；根据题意得： 得到，<老师备案>等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，防止错误题目数量较少，用不到五分钟【挑战五分钟】等比数列的项数为_等比数列的项数为_等比数列的项数为_等比数列的项数为_等比数列的项数为_等比数列的项数为_等比数列的项数为_等比数列的项数为_，共项；，共有项；，共项，共有项数列是等比数列，那么公比_由等比数列的通项公式，【点评】假如目测的话，很可能会认为公比是，漏掉考点3 ：等比数列的求和公式知识点睛是常数列等比数

8、列的前项和为，有前项和公式：项数首项时，；时，非常数列<老师备案>等比数列前项和公式的推导：一般用得多的是前面的求和公式法一：由等比数列的定义知，将这个等式的两边分别相加得：，即，整理得，当时，显然此式对也成立；当时，法二：错位相减法会在春季同步的求和中再次遇到将上式两边同乘以得：，两式相减得：，以下讨论同法一<老师备案>注意等比数列的求和公式对的情况需要单独讨论！当时，将前项和公式整理成，即等比数列的前项和公式一定有的形式，给出等比数列的前项和公式可以快速看出公比，且前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例4例：等比数列的前项和，那么，；等比数列的前项和，那么

9、，整理一下得，故；等比数列的前项和，那么，有，且这个结论可以这么理解：；这样的式子无法算出，故常常出问题，见易错门诊；要想不成问题，希望成立，故希望，即得经典精讲【铺垫】2019东城一模文11设是等比数列，假设，那么 ，数列的前项的和 数列是等比数列，前项和记为，那么_ 等比数列的和为_ ；此等比数列的公比为，可直接用公式；也可算出项数为，得【例3】 等比数列的前项和等比数列的和为_设，那么等于 ABCD数列是等比数列，前项和记为，假设，公比，那么使得的项数_等比数列的前项和为，那么_，_等比数列的前项和为，那么的值为 A B C D目的班专用等比数列中，求首项和公比 D；构成以为首项，为公比

10、的等比数列，且共有项，故 3；由等比数列的前项和公式，；，故 C；解法一：当时，即，解法二：，由中项公式得，即，解得或舍，解法三：，由定义形式可知，化简得，解得或；又，得或，【点评】一般来说，对于我们没必要用求和公式去求，这样也省去讨论的费事<老师备案>求时，不管是等差数列还是等比数列，或者其它数列，都要注意单独讨论对第1题，因为，故数列是从第项开场才是等比数列等比数列的求和中，注意与时，公式是大不相同的，需要分别讨论1数列的前项和，求通项【解析】 当时，；当时，故2求其中为常数【解析】 当时，；当时，；当时，<老师备案> 例4介绍较为复杂的等比数列根本量的计算，在同步

11、班中等比数列的根本量只做课前回忆，不再展开，例4的【追问】会在春季同步时作为性质展开，此处可作为一个考虑的问题【例4】 等比数列的根本量综合数列的前项和，那么数列的前项和为 ABCD2019年丰台区高三一模数学理10等比数列的首项为1，假设成等差数列，那么数列的前5项和为_【追问1】数列为等比数列，公比为，那么数列，中哪些是等比数列？是等比数列的，公比为多少？【追问2】数列，都为等比数列，公比分别为，那么数列，是否为等比数列？是等比数列的，公比为多少？假如，数列是否为等比数列？设等差数列的公差不为，假设是与的等比中项，那么等于 ABCD目的班专用设等比数列的公比为，前项和为假设成等差数列，那么

12、的值为_【解析】 D；由知，故，数列是公比为，首项为的等比数列，故它的前项和为设数列的公比为，那么，即，解得，所以，前5项的和为追问1：数列，都为等比数列，公比分别为；不是等比数列，是等差数列，公差为；既不是等比数列，也不是等比数列追问2：数列，是等比数列，公比分别为；数列在时一定不是等比数列；在时，可能不是等比数列，但假如数列中各项都非零的话，一定是等比数列，公比为如：不是等比数列 B；，即由得：，由得：，即，故或负值舍去解法一：由题意知，即，解法二：由题意知；假设，有，因为，故有，这不可能；假设，那么有，由可化简得：，解得或舍去3.2等比数列性质初步<老师备案>和等差数列类似，

13、等比数列的题目只要知道和后，都可以通过这两个根本量的各种运算来求解同样的假如总是生搬根本公式的话，计算量会很大，准确率会降低，因此我们还需要学习一些省时省事的小技巧，即等比数列的一些简单性质当然也不能舍本逐末，等比数列的根本量的根底运算还是最重要的，性质只是辅助根本概念明白透彻了，性质也会更容易理解学习等比数列的性质，可以和等差数列的性质对照引入考点4：等比数列的性质知识点睛1等比中项：三个数，组成等比数列，叫做，的等比中项假如是和的等比中项，那么2等比数列的主要性质：假设是等比数列，那么假设是等比数列，当时，特别地：当时，对应项的积相等项数和相等当时，特别地：当时，项数是等差中项对应项是等比

14、中项假设是等比数列，那么下标成等差数列的子列构成等比数列，为等比数列，公比为<老师备案>这一讲对等比数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习对性质的简单证明如下：当时，特别地：当时，为等比数列，公比为<老师备案>性质1是说明求通项时，可以从任意项开场求，比方，求时，可以常规求出，再由通项公式算；也可以直接用来求解在使用中，常常将性质和同时使用，比方在等比数列中，求可以先利用性质说明成等比数列，然后利用性质说明，也可以直接使用性质由等比数列的性质知一个等比数列隔项取一定是等比数列，这时新的等比数列的公比为，不注意这个有时可能会出错，见易错门诊经典

15、精讲【铺垫】各项均为正数的等比数列中，那么_在各项均为负数的等比数列中，那么_，_，_【解析】 ；，负值舍去；得：，故，从而；又此数列各项均为负数，故；，故；【例5】 等比数列的性质是的等比中项，那么 ；为等比数列，那么 等比数列的各项为正，公比满足，那么的值为 A B2 C D在等比数列中， 假设是方程的两根，那么 2019年海淀区高三一模数学理在等比数列中，那么= AB C D在等比数列中，那么_目的班专用在等比数列的前项中，最小，且，前项和，那么_，_D；根据性质2得B；由得，又，因此，；根据性质2得，由性质3知下标成等差数列的子列也构成等比数列，即构成等比数列公比，目的班专用；由题意可

16、知，解得，即，故【例6】 等比数列的性质应用设等比数列的公比为，前项和为，那么的通项 ，即<老师备案>讲完这题可以接着讲后面的易错题那道题中可能等于零，容易被无视直接消去【备选】在等比数列中，假设数列的公比大于，且，求数列的前项和【解析】 由等比数列的性质得 ，所以是方程的两个根由公比大于1解得，1数列是等比数列，那么_，_，但，故；符号要验证求等比中项2设等比数列的公比，前项和为，那么的通项 【解析】 或，即，而由等比数列的性质有：，即当时，当时，又因，所以所以实战演练 【演练1】 在等比数列中，那么公比为 A2B3 C4D8【解析】 A；【演练2】 设是公比为正数的等比数列，假

17、设，那么数列前7项的和为 A63 B64 C127 D128【解析】 C【演练3】 假设为等差数列的连续三项，那么的值为 A1023B1025 C1062 D2047【解析】 A；由题意知于是【演练4】 等比数列的前项和为，那么公比 设等比数列的公比为，前项和为，那么 ，即，解得或；【演练5】 在等比数列中，假设是方程的两根，那么的值是_【演练6】 在等比数列中， 假设，求； 假设，求公比解得，代入可得解方程得或当时，；当时，故或 由，得，即 ，又由，得，即 得 ，【点评】 在求得，或，后，由于，因此，公比一定大于0 在等比数列中，奇数项和偶数项分别同号无论公比大于0或小于0，因此，在求出 后

18、，的值应为此外，上题还可以直接将两式相除得，从而求出概念要点回顾 1等比数列，首项，公比为，那么通项公式为_2等比数列的公比为，首项，那么前项和公式为_3等比数列，假设，那么_填、分牛的传说古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5话音甫落，老人就咽了气按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头的分，而祖先的遗嘱必须无条件遵从那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助三兄弟急得走投无路，却无计可施结局大家估计也听过：有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不