高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法（教师版）

1、.数学归纳法_1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想本质及在归纳推理中发现详细问题的递推关系.1、 数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用处，因此成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考察，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察归纳猜测证明的思维形式，就显得特别重要。    一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进展：    1归纳奠基证明当n取第一个值n = n 0时

2、命题成立；2归纳递推假设n=k时命题成立，证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开场的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的根底保证，即通过验证落实传递的起点，这个根底必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，假如没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等

3、式例1、例1数学归纳法证明132333n3= n2n12证明： 当n=1时，左边=13=1，右边=，故等式成立 假设n=k，且k1时等式成立。即132333k 3=k2k+12成立那么当n=k1时，132333k 3k+13= =即当n=k1 时等式也成立综合，对一切，等式都成立 题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明n1，且证明： n=2时，左边=右边，不等式成立. 假设n=k， k2时不等式成立，即成立那么当 n=k1时，=即当n=k1时不等式也成立综合，对一切大于1的自然数n，不等式都成立题型三、用数学归纳法证明几何问题例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不

4、相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n28 n9能被64整除证明： 当n=1时，3228×19=64 显然能被64整除，命题成立 假设n=k k1，时命题成立即32k28k9能被64整除那么当n=k1时，32k128k19=9·32k28 k89=932k28 k964 k64 32k28 k9与64均能被64整除， 32k128 k19能被64整除 即当n=k1时命题也成立综合，对一切，32n28n9能被64整除题型五 归纳、猜测、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结

5、论。分析：可先把条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组：解得下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有：1当时，式成立2假设成立，即：那么当时故当时式成立。综上，可知当时，等式成立。一、选择题1用数学归纳法证明1<nnN*，n>1时，第一步应验证不等式A1<2B12C13D13答案B解析nN*，n1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为，应选B.2用数学归纳法证明1aa2an1nN*，a1，在验证n1时，左边所得的项为A1B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因为当n1时，an1a2，所

6、以此时式子左边1aa2.故应选B.3设fnnN*，那么fn1fn等于A.B.C.D. 答案D解析fn1fn.4某个命题与自然数n有关，假设nkkN*时，该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立如今当n5时，该命题不成立，那么可推得A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立答案C解析原命题正确，那么逆否命题正确故应选C.5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除，在第二步的证明时，正确的证法是A假设nkkN*，证明nk1时命题也成立B假设nkk是正奇数，证明nk1时命题也成立C假设nkk是正奇数，证明nk2时命题也成立D假设n2k1k

7、N，证明nk1时命题也成立答案C解析n为正奇数，当nk时，k下面第一个正奇数应为k2，而非k1.故应选C.6凸n边形有fn条对角线，那么凸n1边形对角线的条数fn1为Afnn1BfnnCfnn1Dfnn2答案C解析增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故fn1fn1n13fnn1.故应选C.7用数学归纳法证明“对一切nN*，都有2n>n22这一命题，证明过程中应验证An1时命题成立Bn1，n2时命题成立Cn3时命题成立Dn1，n2，n3时命题成立答案D解析假设nk时不等式成立，即2k>k22，当nk1时2k12·2k>2k22由2k22k

8、124k22k30k1k30k3，因此需要验证n1,2,3时命题成立故应选D.8fn2n7·3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除fn，那么最大的m的值为A30B26C36D6答案C解析因为f136，f21083×36，f336010×36，所以f1，f2，f3能被36整除，推测最大的m值为36.9数列an的前n项和Snn2ann2，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜测anA.B.C.D.答案B解析由Snn2an知Sn1n12an1Sn1Snn12an1n2anan1n12an1n2anan1ann2当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2a3

9、a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4猜测an，应选B.10对于不等式n1nN，某学生的证明过程如下：1当n1时，11，不等式成立2假设nkkN时，不等式成立，即<k1，那么nk1时，<k11，当nk1时，不等式成立，上述证法A过程全都正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求故应选D.二、填空题11用数学归纳法证明“2n1n2n2nN*时，第一步的验证为_答案当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析当n1时，左右，

10、不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形12数列，通过计算得S1，S2，S3，由此可猜测Sn_.答案解析解法1：通过计算易得答案解法2：Sn1.13对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，那么最小的自然数a_.答案5解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n3时，31035不能被14整除，故a5.14用数学归纳法证明命题：1×42×73×10n3n1nn12.1当n0_时，左边_，右边_；当nk时，等式左边共有_项，第k1项是_2假设nk时命题成立，即_成立3当nk1时，命题的形式是_；此时，左边增加的项为_答案11；1×3

11、×11；1×112；k；k13k1121×42×73×10k3k1kk1231×42×7k13k11k1k112；k13k11解析由数学归纳法的法那么易知三、解答题15求证：122232422n122n2n2n1nN*证明n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即122232422k122k2k2k12.当nk1时，122232422k122k22k122k22k2k12k122k22k2k14k32k25k3k12k11，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立16求证：>n2证明当

12、n2时，左>0右，不等式成立假设当nkk2，kN*时，不等式成立即>成立那么nk1时，>>，当nk1时，不等式成立据可知，不等式对一切nN*且n2时成立17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明1n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立2假设当nkk2时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k

13、1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由12可知，原命题成立18 试比较2n2与n2的大小nN*，并用数学归纳法证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到2n2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜测的结论解答此题的关键是先利用特殊值猜测解析当n1时，2124>n21，当n2时，2226>n24，当n3时，23210>n29，当n4时，24218>n216，由此可以猜测，2n2>n2nN*成立下面用数学归纳法证明：1当n1时，左边2124，右边1，所以左边>右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边&g

14、t;右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边>右边2假设nk时k3且kN*时，不等式成立，即2k2>k2.那么nk1时，2k122·2k222k22>2·k22.又因：2k22k12k22k3k3k10，即2k22k12，故2k12>k12成立根据1和2，原不等式对于任何nN*都成立_根底稳固一、选择题1用数学归纳法证明1<nnN*，n>1时，第一步应验证不等式A1<2B12C13 D13答案B解析nN*，n1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为，应选B.2 用数学归纳法证明1aa2an1nN*，a1，在验证n1时

15、，左边所得的项为A1 B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因为当n1时，an1a2，所以此时式子左边1aa2.故应选B.3设fnnN*，那么fn1fn等于A BC D答案D解析fn1fn.4某个命题与自然数n有关，假设nkkN*时，该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立如今当n5时，该命题不成立，那么可推得A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立答案C解析原命题正确，那么逆否命题正确故应选C.5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除，在第二步的证明时，正确的证法是A假设nkkN*时命题成立，证明nk1时命题也成立B假设n

16、kk是正奇数时命题成立，证明nk1时命题也成立C假设nkk是正奇数时命题成立，证明nk2时命题也成立D假设n2k1kN时命题成立，证明nk1时命题也成立答案C解析n为正奇数，当nk时，k下面第一个正奇数应为k2，而非k1.故应选C.6凸n边形有fn条对角线，那么凸n1边形对角线的条数fn1为Afnn1 BfnnCfnn1 Dfnn2答案C解析增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故fn1fn1n13fnn1.故应选C.二、填空题7 用数学归纳法证明n1n2nn2n·1·32n1nN*时，从“nk到nk1左边需增乘的代数式为A2k1 B22k1C

17、D答案B解析nk时，等式为k1k2kk2k·1·3··2k1，nk1时，等式左边为k11k12k1k1k2k32k·2k1·2k2，右边为2k1·1·3··2k12k1左边需增乘22k1，应选B.8数列，通过计算得S1，S2，S3，由此可猜测Sn_.答案解析解法1：通过计算易得答案解法2：Sn1.9用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_答案1解析当n1时，等式的左边为1，右边，左边右边三、解答题10 数列an满足Sn2nannN*1计算a1、a2、a3，并猜测an的通项公式；2用数学归纳法

18、证明1中的猜测证明1当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S22×2a2，a2；当n3时，a1a2a3S32×3a3，a3.由此猜测annN*2证明：当n1时，a11结论成立，假设nkk1，且kN*时结论成立，即ak，当nk1时，ak1Sk1Sk2k1ak12kak2akak1，2ak12akak1，当nk1时结论成立，于是对于一切的自然数nN*，an成立一、选择题11用数学归纳法证明123n2，那么当nk1时左端应在nk的根底上加上Ak21Bk12CDk21k22k23k12答案D解析nk时，左边123k2，nk1时，左边123k2k21k22k12，应选D

19、.12设凸k边形的内角和为fk，那么凸k1边形的内角和fk1fk_.A2 BC D答案B解析将k1边形A1A2AkAk1的顶点A1与Ak相连，那么原多边形被分割为k边形A1A2Ak与三角形A1AkAk1，其内角和fk1是k边形的内角和fk与A1AkAk1的内角和的和，应选B.13 用数学归纳法证明“n3n13n23nN*能被9整除，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开Ak33 Bk23Ck13 Dk13k23答案A解析因为从nk到nk1的过渡，增加了k13，减少了k3，故利用归纳假设，只需将k33展开，证明余下的项9k227k27能被9整除14 观察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么归纳猜测a7b7A26 B27C28 D29答案D解析观察发现，134,347,4711,71118,111829，a7b729.二、填空题15用数学归纳法证明“2n1n2n2nN*时，第一步的验证为_答案当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析当n1时，左右，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形16对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，那么最小的自然数a_.答案5解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n3时，31035不能被14整除，故a5.三、解答题17在平面内有n条直线，其中每两条直