学业分层测评 第2章 2.4 一些常见曲线的参数方程

1、.学业分层测评八1.给出以下说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较费事，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，假如建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点.其中正确的说法有A.B.C.D.【解析】对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.【答案】C2.圆的渐开线的

2、参数方程是t为参数，那么此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数t时对应的曲线上的点的坐标为_.【解析】圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直径为16.求当t时对应的坐标只需把t代入曲线的参数方程，得x4，y4，由此可得对应的坐标为4，4.【答案】164，43.参数方程为0t2的摆线的对称轴方程是_.【导学号：62790015】【解析】t时，y有最大值16，此时x8，由摆线的特点知对称轴方程为x8.【答案】x84.求圆的渐开线上与t对应的点的直角坐标.【解】当t时有即对应的直角坐标为4，4.5.求摆线0t2与直线y1的交点的直角坐标.【解】由题意知：11cos

3、 t，解得t1，t2，对应交点的坐标为，交点为1,1，1,1.6.当t，时，求出渐开线上对应的点A、B，并求出A、B的间隔 .【解】将t代入，得xcos·sin0，ysin·cos1，A，1，将t，代入得xcos ·sin 1，ysin cos ，B1，|AB| .7.一个圆的摆线方程是t为参数，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.【解】首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16，该圆对应的渐开线的参数方程是：t为参数.8.如图2­4­1所示，设基圆半径为r，渐开线的起点为A，取圆心O为极点，射线OA为极轴.M，为渐开线上任一

4、点，过M作基圆的切线MB，B是切点.设BOM，试用做参数，写出渐开线在极坐标中的参数方程.图2­4­1【解】MB是切线，OBBM，.又BM，且BMrtan ，rtan .极坐标方程为9.设有两个半径一样的圆，其中一个圆固定不动，另一个圆绕定圆无滑动地滚动，在动圆的圆周上有一定点M，求滚动过程中点M的轨迹方程.【解】设圆半径为a，取定圆的圆心为坐标原点，开场时两圆相切于A点，射线OA为x轴的正半轴，建立坐标系如右图所示.当滚动角度以弧度为单位后，两圆切于B点，动圆圆心为C，定点M的位置如下图.记射线CM与x轴正向形成的任意角为图中为负值.由于无滑动，得，因为两圆半径相等，所以AOB，从而得2.向量的坐标表达式为acos ，asin acos 2，asin 2，又2acos ，2asin ，得2acos acos 2，2asin asin 2.即用倍角公式，变形为x2acos a2cos 21，xa2acos 2ac