学业分层测评6 圆锥曲线的极坐标方程及应用

1、.学业分层测评六建议用时：45分钟学业达标1过椭圆1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，假设FA2FB，求直线l的斜率【解】椭圆1中，a5，b3，c4，所以e，p.取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，那么椭圆的极坐标方程为.设A1，、B2，由题设得122.于是2，解得cos ，所以tan ，即直线l的斜率为.2椭圆方程为，过左焦点引弦AB，AB8，求AOB的面积【解】如图，设A1，、B2，所以12.因为AB8，所以8，所以cos2，sin .由椭圆方程知e，那么c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.3如图424，过抛物线y22pxp0

2、的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MNAB，并交对称轴于N.图424求证：MN2AFBF.【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，那么抛物线的极坐标方程为.设A1，、B2，那么AFBF.不妨设0，那么MF12.所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.4如图425，圆F：x2y24x0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是圆的圆心F，过圆心且倾斜角为的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点图4251当直线的斜率为2时，求ABCD；2当为何值时，ABCD有最小值？并求这个最小值【解】圆F：x2y24x0的圆心坐标为2,0，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的

3、间隔 为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系那么圆F的坐标方程为2，抛物线G的极坐标方程为.设A1，、D2，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD41244444.1由题意，得tan 2，所以sin2.所以ABCD46.2ABCD4，当sin21，即时ABF2的面积取到最小值4.5抛物线，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求FAB的面积的最小值【解】设A1，、B，那么1，2.FAB的面积为S12.设tsin cos ，那么sin cos .所以1cos sin sin cos 1tt12.又tsin cos sin，所以当t，即时，FAB的面积S有最小值.6椭圆C的中心在原点，焦

4、点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且F1PF290.1求椭圆C的离心率；2假设直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程【导学号：98990017】【解】1因为F1PF290，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e.2以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为.设A1，、B2，那么ABAFFB12.因为F1F22c，所以ABF2的边AB上的高h为2c|sin |，ABF2的面积SABh.因为|sin |2，所以当|sin |1，即或时S取到最大值所以当l过左焦点且垂直于极轴时，ABF2的面积取到最大值pc，所

5、以pc12，即b26.故a2c26.又，所以a212，c26.所求椭圆的方程为1.7椭圆1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上挪动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【解】如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，那么：椭圆的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程.由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为，、1，、2，依题意，得，2.由|OQ|OP|OR|2得20将代入，得，那么0这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x23y24x6y，即1x、y不同时为0点Q的轨迹为以1,1为中心，长

6、轴平行于x轴，长、短半轴长分别为，的椭圆去掉坐标原点才能提升8建立极坐标系证明：半圆直径|AB|2rr0，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|2a2a假设半圆上相异两点M，N到l的间隔 |MP|、|NQ|满足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，那么|MA|NA|AB|.【证明】法一以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，那么半圆的极坐标方程为2rcos ，设M1，1，N2，2，那么12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，那么半圆的极坐标方程为2rcos ，设M1，1，N2，2，又由题意知，M1，1，N2，2在抛物