第三讲数列通项公式的常见求法VIP

1、第三讲 数列通项公式的常见求法一、观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑，一是对数列的项进行分拆以后，寻找分拆项之间的规律；二是如果数列中出现正负项相间的话，则需用或来调节；三是和等差与等比数列相联系，利用特殊数列求解。例1、求下列数列的一个通项公式。1，0，1，03，33，333，333311，103，1005，10007解：此数列可拆为三部分，第一部分为通项是，第二部分分子部分为，通项是，第三部分分母部分为通项是，再由来调节正负号即可，故；此数列是由两个基本数列和求得，故；在此数列中， 从而可得 此数列是由两个基本数列与对应项求和而得，故通项公式为二

2、、公式法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。形如，已知；解法为：，为常数，由等差数列的通项公式（为数列的公差） 得到形如（为常数且），已知；解法为：，是以为首项，为公比的等比数列例2、求下列数列的通项公式已知数列中求通项公式。解： 则是以为首项，3为公差的等差数列。 为所求的通项公式。已知中且求此数列的通项公式。 解：由得 是以为首项，2为公比的等比数列，故即为所求通项公式。例3、已知数列中，求通项公式。解：当时有， 则是以为首项，1为公差的等差数列。又，故为所求的通项公式。【练习】已知数列是等差数列，且，公差为5，求【答案】三、前n项和法:

3、若知数列的前n项和，则，； 需要注意的是，对于时的情况一定要检验，若当时，也满足的表达式，则两式可合并。例4、已知数列的前项和，则数列的通项公式是 。解：当时，当时，故例5、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。解：当时有， 则是以为首项，2为公差的等差数列。，又，故为所求的通项公式。例6、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。解： ， ，得：， ，即数列是以为首项、以为公比的等比数列，故 ，从而又，故为所求的通项公式。【练习】1、已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式2、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。3、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。【答案】1、；

4、2、；3、四、 递推公式法：1、若递推公式为型，其中且，数列是正项数列；解此种类型数列，必须对等式两边同时取对数得，从而化为，可知数列是首项为、公比为的等比数列。例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为例8.已知数列中, ,求数列的通项公式. 6. 例9、已知数列满足， ，求解：在等式两边取常用对数得 ， 即所以数列是以为首项，以2 为公比的等比数列，故【练习】已知数列满足 ，求【答案】；2、若递推公式型，则只须将原递推公式化为，再以迭乘法求解即可。例10、已知数列满足，求解：由得，所以， 由迭乘法可得【练习】1、已知：，（）求数列的通项。2、已知是首项为1的正项数

5、列，且，求数列的通项公式【答案】1、；2、；3、若递推公式为型，则只须将原递推公式化为，再以迭加法求解即可。例11、已知数列满足，求解：由题得所以有，由迭加法可得【练习】已知数列满足 ，求【答案】；4、若递推公式为（其中、为常数，）型，则需把原递推公式化为，其中，可得数列是以为首项、以为公比的等比数列。例12、已知数列满足，求解：原等式可化为所以有即数列是以2为首项、以3为公比的等比数列故 从而【练习】在数列中，若，则该数列的通项= 。【答案】； 5、若递推公式为（其中为常数，为关于n的一次函数）型，即时，则引入辅助数列且，则原递推公式可化为，从而知道是以为首项，为公比的等比数列。例13、已知

6、数列满足，求通项公式解：设，则，所以，即。设解之得，所以且，由于是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：6、若递推公式为（其中、为常数，）型，此类型题需把原递推公式两边同除以得，从而可引入辅助数列且，则原递推公式可化为，从而化上一类型求解。例14、已知数列满足，求解：在原不等式两边同除以得：不妨引入辅助数列且 则故即数列是以1为首项、以为公比的等比数列，故有 则7、若递推公式为（其中、为常数且）型，此类型题需把原递推公式化为，其中A、B满足，从而把数列化为前一种类型求解。例15、已知数列满足，求解：由 可设所以有解得或则有故数列是以1为首项，以为公比的等比数列所以 由迭加法可得：又由

7、得8、若递推公式为（其中为常数）型。例16、已知求 解：设令，解得， ， ，得， ，为所求。9、若递推公式为（其中为常数）型。考虑函数倒数关系有 ， 令 ， 则可归为型。例17、数列中，求的通项。解： ，设， ，10、若递推公式为，（其中为常数）型。例18、已知是首项为1，公差为的等差数列，且满足，（1）求，（2）若， ，如此构成数列，求。解：（1） ， 得：， ，（2）是数列的个项的和， 的第一项为，第项为，。【练习】已知数列满足，且 求数列的通项公式【答案】；五、方程消元法：例18、已知函数，数列满足，求数列的通项公式解：数列满足，且，解得，.【练习】已知正项数列中，已知 ，求数列的通项公式【答案】；六、 用数列的周期性求通项：例19、已知数列满足，求数列的通项公式解：，从而数列是以3为周期的周期数列。又，其中。【练习】已知数列满足，则= （ ）A0B CD【答案】B；七、 归纳、猜想、证明三步法