思维特训(十七)　线段上的动点问题

1、.思维特训十七线段上的动点问题方法点津 ·所谓“动点型问题是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题解决这类问题的关键是动中求静，灵敏运用有关数学知识解决问题解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系线段上的动点问题一般有两种类型：1动点无速度型，主要利用两点间的间隔 、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；2动点有速度型，主要利用路程时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解典题精练 ·类型一动点无速度型1如图17S1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A

2、，B间的间隔 为100 km，A，C间的间隔 为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的间隔 为x km.1用含x的式子表示车站到三个村庄的间隔 之和；2假设车站到三个村庄的间隔 之和为105 km，那么车站应设在何处？3假设要使车站到三个村庄的间隔 之和最小，那么车站应设在何处？图17S12如图17S2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上即A，B，C三点共线，已知AB100米，BC200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位

3、置应该设在哪个小区？图17S23数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式a92|7b|0，P为数轴上一动点，对应的数为x.1求线段AB的长2数轴上是否存在点P，使PA3PB？假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由3在2的条件下，假设M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长类型二动点有速度型4如图17S3，P是线段AB上任意一点，AB12 cm，C，D两点分别从点P，B开场，同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.1假设AP8 cm.求运动1 s后，CD的长；当点D在线段PB上运动时，试说明AC2CD.2假如

4、t2，CD1 cm，试探究AP的长图17S35如图17S4，B是线段AD上一动点，沿AD以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD10 cm，设点B运动的时间为t s.1当t2时，AB_ cm；求线段CD的长2在运动过程中，假设AB的中点为E，那么EC的长是否变化？假设不变，求出EC的长；假设发生变化，请说明理由图17S46如图17S5甲，O是线段AB上一点，C，D两点分别从O，B同时出发，以2 cm/s，4 cm/s的速度在直线AB上运动，点C在O，A之间，点D在O，B之间1设C，D两点同时沿直线AB向左运动t s时，ACOD12，求的值；2在1的条件下，假设C，D两点运动s后都停顿

5、运动，此时恰有ODACBD，求CD的长；3在2的条件下，将线段CD在线段AB上左右滑动如图17S5乙点C在O，A之间，点D在O，B之间，假设M，N分别为AC，BD的中点，试说明线段MN的长度始终不发生变化图17S5详解详析1解：1如图，当点P在线段BC上时，车站到三个村庄的间隔 之和为PAPBPC40x10040xx100xkm；如图，当点P在线段AC上时，车站到三个村庄的间隔 之和为PAPCPB40xx60x100xkm.综上所述，车站到三个村庄的间隔 之和为100xkm.2由1得100x105，解得x5.答：车站设在C村左侧或右侧5 km处3当x0时，x100100，此值最小答：车站设在C

6、村时到三个村庄的间隔 之和最小2解：以A小区为停靠点，那么所有人的路程之和为15×10010×3004500米，以B小区为停靠点，那么所有人的路程之和为30×10010×2005000米，以C小区为停靠点，那么所有人的路程之和为30×30015×20012019米因为4500<5000<12019，所以该停靠点的位置应设在A小区3解：1由a92|7b|0，得a90，7b0.解得a9，b7.所以线段AB的长为ba7916.2当点P在线段AB上时，PAPBAB，即3PBPBAB16，PB4，此时7x4，解得x3；当点P在线段A

7、B的延长线上时，PAPBAB，即3PBPBAB16，PB8，此时x7815.综上所述，x的值为3或15.3当点P在线段AB上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MBAB8，NBPB2.由线段的和差，得MNMBNB826；当点P在线段AB的延长线上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MBAB8，NBPB4.由线段的和差，得MNMBNB8412.综上所述，MN的长为6或12.4解：1由题意可知：CP2×12cm，DB3×13cm，因为AP8 cm，AB12 cm，所以PBABAP4 cm，所以CDCPPBDB2433cm因为AP8 cm，AB12 cm，所以PB4

8、cm，AC82tcm，所以DP43tcm，所以CDCPDP2t43t4tcm，所以AC2CD.2当t2时，CP2×24cm，DB3×26cm当点D在点C的右边时，如图所示：因为CD1 cm，所以CBCDDB7 cm，所以ACABCB5 cm，所以APACCP9 cm；当点D在点C的左边时，如图所示：因为ADABDB6 cm，所以APADCDCP11 cm.综上所述，AP9 cm或11 cm.5解：1因为B是线段AD上一动点，沿AD以2 cm/s的速度运动，所以当t2时，AB2×24cm因为AD10 cm，AB4 cm，所以BD1046cm因为C是线段BD的中点，所以CDBD×63cm2不变因为AB的中点为E，C是线段BD的中点，所以EBAB，BCBD，所以ECEBBCABBDAD×105cm6解：1设ACx cm，那么OD2x cm，又因为OC2t cm，BD4t cm，所以OAx2tcm，OB2x4tcm，所以.2设ACx cm，那么OD2x cm，又OC2×5cm，BD4×10cm，由ODACBD，得2xx×10，解得x5，所以OD2×510cm