探究四点共圆的条件--教学设计（宋德雨）

1、.数学活动探究四点共圆的条件 吉林省延吉市第六中学 宋德雨一、内容和内容解析1内容四点共圆的条件2内容解析四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形平行四边形、矩形、等腰梯形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，表达了特殊到一般的思想同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探

2、究四点共圆的条件，表达了转化的思想和方法另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做的过程和“考虑的过程中积淀，有利于数学活动经历的积累基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究二、目的和目的解析1目的1理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件2通过四点共圆的条件的探究和猜测的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经历2目的解析达成目的1的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆达成目的2的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四

3、边形、矩形、菱形、等腰梯形的四个顶点组成的四边形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极考虑，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的根本过程三、教学问题诊断分析学生在发现问题的阶段可能会受过任意一个三角形的三个顶点作一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上解决这一问题的关键是引导学生从圆的定义或特殊的四边形出发，从特殊到一般来探究问题通过分析平行四边形、矩形、菱形获得四边形的四个顶点共圆与

4、四边形的边长无关的猜测，通过对等腰梯形的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形的内角是否是直角无关，通过对四点不共圆的菱形四个顶点的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形是否存在一组对边平行无关，进而联想圆内接四边形对角互补，获得猜测另外，猜测的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，猜测的证明对学生来说是难点，关键是从过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆入手，把四点共圆问题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明四、教学过程设计1创设情境，发现问题引入 延吉一市民想在自家农场建了个农家乐,为使游客漫步、乘凉方便同时又不失美观，

5、他经过空地内的四棵树，在其内侧铺一条圆形的石子路，同学们知道他是如何做成的吗？他是怎么知道经过这四棵树一定能铺成一条圆形的石子路呢?问题1为理解决这个问题，我们回忆一下都储藏了哪些有关的知识，过一点A可以作圆吗？能做几个？图11；经过两点A，B可以作圆吗？能做几个？图12；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以作圆吗？能几个圆？图13 1 2 3图1老师追问：经过四棵树铺设石子路这一现实生活中遇到的问题，可以转化为一个什么样的数学问题呢？师生活动：老师提出问题，学生考虑，答复以下问题设计意图：从经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点圆、三角形与圆的关系入手，由经过三角形三个顶

6、点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经历出发，获得探究问题的方向同时也浸透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题为后继猜测的证明作适当的知识准备将实际问题转化为一个数学问题,培养学生的应用意识.2合作探究获得猜测问题1.为理解决这一问题，课前，我们给同学们布置了作业，尝试着过给出的四个四边形的顶点做圆，结果如何呢？1 2 3 4 图2 师生活动:在学生说出结果后，老师通过多媒体展示结果.老师追问1:怎么判断这四点共圆或不共圆呢？师生活动:老师提出问题,学生独立考虑后答复.设计意图: 在答复以下问题的过程中,学生可以发现能找到一点圆心到四顶点间隔 相等，那么可

7、断定四点共圆,这是判断n个点是否共圆的重要根据;也可以判断第四点在不在其他三点确定的圆上来确定四点是否共圆。 问题2:看来，有些四边形的四个顶点可以共圆，有些却不行，满足什么条件的四边形的四个顶点会共圆呢？你能借助这几幅图说说你的想法吗？师生活动：学生分成小组，共同探究老师提出的问题过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗，学生代表展示小组讨论的过程与结果老师重点关注学生自主探究的步骤和方法老师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导.这一环节学生思维比较发散，探究角度较多。有些学生会从定义的角度出发,应给予肯定；有些学生会从圆内接四边形的性质定理的角度出发，想到性质定理的逆命题可能断定四点共

8、圆，这是我们研究几何的思路；还有些学生会从特殊图形的角度出发，分析矩形，等腰梯形，平行四边形等特殊图形，老师应引导学生寻找不同图形的共性因素；还有些学生会从四边形的主要特征边、角、对角线入手，在不断的寻找否决再寻找再否决的活动过程中，挑选获得真正的核心条件。有些学生可能会答错，在互相纠错的过程中恰能表达学生的思维过程，同时或许也可引出新的考虑角度。学生从多个角度探究找到了一个猜测：对角互补的四边形，四个顶点在同一个圆上。设计意图：让学生学会利用载体去对问题进展研究，在经历观察、作图、测量、猜测、比照、验证等活动感受从特殊到一般的研究问题方法，一步一步地向探究的目的靠近在探究过程中学生会发现有的

9、四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，引导学生从多个角度去猜测、探究有利于学生在“做数学的过程中考虑、积淀，积累数学活动的经历问题3.通过合作交流，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可这只是我们通过观察、度量、推测出的猜测，要想使之成为定理，作为今后四点共圆判断的根据，还需要证明，那如何证明呢？师生活动：老师展示问题，师生共同写出、求证即：在四边形ABCD中，BD180º求证：过点A，B，C，D可作一个圆学生考虑并尝试答复学生可能联想需要找到一点O，满足OAOBOCOD老师追问2：如何找到这个点？师生活动：要证明的是四边形的对角互补，这和找到点O并证明OAOBOCOD没有联络，

10、让学生发现直接证明很困难，学生自然转换思路说出反证法。老师追问3：反证法的一般步骤是什么？如何用反证法进展证明？师生活动：回忆反证法的证明步骤，同时引导学生将四边形的问题转化成三角形来研究，不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过三点的圆，第四点不能确定是否共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，再考虑余下的点是否在过三点的圆上并能提出假设。老师追问4：假设点D不在过三点A，B，C的圆上，会出现哪些情况？你能对它们进展证明吗？师生活动：师生共同分析点D在圆外的情况，利用圆内接四边形对角互补进展证明证明：如图4，假设过A，B，C，D四点不能作一个圆过A，B，C三点作圆，假设点D在圆外设AD与圆

11、相交于点E，连接CE，那么BAEC180º而BD180º，所以AECD而AEC是CED的外角，AECD，出现矛盾，故假设不成立因此点D在过A，B，C三点的圆上 图4 图5老师追问5：如图5，对于点D点在圆内情况，您能自己完成证明吗？设计意图：在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，让学生明确一个问题的解决方案，在推测之后要进行验证，通过证明，让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论确实定性和证明的必要性，培养学生推理才能问题4 如今你知道农家乐的设计者是如何判断这四棵树是否在同一个圆上了吗？四个点以画出，请同学们动手量一量、算一算，这四个点是否真的在同一个圆上。设计意图：运用

12、已学知识解决问题，不仅考察了学生，同时让学生通过学以致用感受到快乐，老师积极的评价及和谐的讨论气氛让学生体会到自己的社会参与价值和自信心的提升！3.变式探究、拓展思维问题1：经过测量发现这四棵树的位置还具有这样的一种特殊的关系，相等，恰好是90°图6，运用之前的知识我们能否判断这四个点是否在同一个圆上呢？为什么？ 图6师生活动：学生可运用原有知识解决问题，圆心为AB的中点。设计意图：引起学生兴趣，引出后续探究。老师追问1：假如改变这两个三角形的形状，但始终保证有一条公共边，并且这条边所对的两个角相等的话图7，这四个点还会在一个圆上吗？图7师生活动：一些学生会想到，四个点在同一个圆上，

13、个别学生会尝试说出理由。老师追问2：通过今天这节课的学习，你打算如何探究这个问题呢？说说你的想法。师生活动：学生考虑结果与证明方法，课上讨论时间不够。余下的证明可留作今天作业。设计意图：受时间限制，课上只能让学生简单表达思路，为课下继续探究开个头。让学生明确解决问题方法的多样性的同时体会创新方法带给自己的信心与快乐；通过模拟再次运用转化的解决问题方法积累自己的学习。4归纳反思，总结提升老师与学生一起回忆本节课所学的主要内容，并答复以下问题：1本节课你学到了什么知识？学到的知识能解决什么问题？2回忆本节课的学习过程，你是怎么得到上述的知识的？你还有什么收获？设计意图：通过小结使学生总结本节课所学到的知识、技能、研究方法并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握培养学生数学思想、数学方法、数学才能和对数学的积极情感五、目的检测设计可当作业处理1如图，DCE是四边形ABCD的一个外角，假如DCEA，那么同时过点A，B，