平面向量的基本概念

1、平面向量的实际背景及基本概念1. 向量的概念：我们把既有 大小又有方向的量叫向量。2. 数量的概念：只有大小 没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;向量有方向，大小，双重性，不能比较大小3有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4有向线段的三要素： 起点，大小，方向5. 有向线段与向量的区别；（1 ）相同点：都有大小和方向（2）不同点：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段A比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 向量是用有向线段

2、来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6. 向量的表示方法： 用有向线段表示； 用字母a、b （黑体，印刷用）等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB；7. 向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的 模，记作| AB |.8. 零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为 零向量，记为：0。长度为1的向量称为 单位向量。9. 平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.即：0 / a说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a / b / c .10. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a与b相等，

3、记作a = b； (2)零向量与零向量相等；(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.11. 共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)说明：(1)平行向量是可以在同一直线上的。B(2)共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么?(1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(5)(6)两个非零向量相等当且仅当什么?(7)共线向量一定在同一直线上吗?解析：(1)不是，方

4、向可以相反，可有定义得出。若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量?(2)(3)零向量(4)零向量(5)共线向量(平行向量(6)长度相等且方向相同(7)不一定，可以平行。不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。例2.下列命题正确的是(A. a 与 b共线，b 与 c共线，则B.任意两个相等的非零向量的始点与终点長十忏丿L辿也芥川自C.向量a与b不共线，则a与b *；.-斜二代D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根

5、本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b不都是非零向量，即a 与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有 a 与 b共线，不符合已知条件，所以有 a与b都是非零向量，所以应选 C.例3.如右图所示，设 0是正六边形ABCDEF勺中心，f f f分别写出图中与向量 OA, OB,OC相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：TTTTTTTTTT0A = CB = DO OB = DC 二 EO OC = AB = ED 二 FO向量的加

6、法运算及其几何意义1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2. 三角形法则(记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”)3. 三角形法则的来由如图，已知向量a、b .在平面内任取一点 A，作AB = a， BC = b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+ b ，即卩 a+b=AB BC = AC ，规定:a + 0-= 0 + a图1a+ b字母公式:如图1,以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线 OC就是a 与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6. 平行四边形法则与三角形法则的区别：(1)平行四边形法则是将两个向量的起

7、点放在一起做岀平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。(2)三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7. 一般结论当a, b不共线时a+b|<| a|+| b|(即三角形两边之和大于第三边);当a, b共线且方向相同时,| a+b|=| a|+| b|;当a, b共线且方向相反时a+b|=| a|-| b|(或| b|-| a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度 时a+b|=| a|-| b|;当向量a的长度小于向量 b的长度时a

8、+b|=| b|-| a|.一般地,我们有 | a+b| < | a|+| b|.例题讲解例1、已知正方形 ABCD勺边长为1,AB= a, BC =b, - - = c,则| a+b+c| 等于（A. 0解：B. 3C. 2D. 22D CA作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：a+b=c,所以 a+b+c=2c,所以 |a +b+c|=|2c|=2|c|=2 . 2 ,所以选 D.例 2.化简: BC + AB ；（2）DB + CD + BC ；（3）AB+DF + CD + BC + FA .例3.如图所示，已知矩形ABCD中,|AD|=4.3,设AB =a, BC = b,

9、 BD =c，试求向量a+b+ c的模.解:过D作AC的平行线，交BC的延长线于E,/ DE / AC,AD / BE.四边形ADEC为平行四边形./ DE =AC ,CE =AD .于是 a+b+c= AB + BC + BD = DE + BD = BE = AD + AD =2 AD , /. |a+ b+c|=2| AD |=8、3 .1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。 向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 一个向量方向不确定当且仅当模为0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2. （ 1）.

10、判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因I-I- 0=0.b - b =0（2）若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是.（3 ）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？3. 下列说法正确的是（）A. 平行向量是方向相同的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在同一条直线上的向量4. 若非零向量a与b共线，则以下说法下确的是（）A. a与b必须在同一直线上B. a与b平行，且方向必须相同'C. a与b平行，且方向必须相反D. a与b平行T T T1、在四边形ABCD中，若AC =AB AD，则四边形ABCD的形状一定是（）

11、（A）平行四边形（B）菱形 （C）矩形（D）正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向II量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是（）A、a与b为平行向量B、 a与b为模相等的向量111144C、a与b为共线向量D、a与b为相等的向量3、下列命题中正确的是（)A.单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若a，b满足| a|>| b|且a与b同向，贝U a>bD. 对于任意向量a、b,必有| a+b| < | a|+| b|平面向量的加法运算1、用三角形法则和平行四边形法则分别画出a b2、下列命题中正确的是（）A. 单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若a， b满足| a|>| b|且a与b同向，贝U a>bD. 对于任意向量 a、b,必有| a+b| < | a|+| b|3、已知正方形的边长为 1, AB =a, BC=b, AC =c,则| a+b+c|等于（）A.0B.3 C.、- 2D.22i4、 两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和 b，那么下列命题中错误的一个是IIIIA a与b为平行向量b 、a与b为模相等的向量IIIIC a与b为共线向量D 、a与b为相等的向量trT5、 在四