第2章§1　柯西不等式

1、.§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式重点、易混点2理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程重点难点3能利用柯西不等式求特定函数的最值和进展简单的证明难点根底·初探教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27P28，完成以下问题1定理1对任意实数a，b，c，d，有a2b2c2d2acbd2，当向量a，b与向量c，d共线时，等号成立2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，那么|·|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立判断正确的打“，

2、错误的打“×1不等式a2b2d2c2acbd2是柯西不等式2abcd2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数3在柯西不等式a2b2c2d2acbd2中，a，b，c，d是任意实数【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故1不对，2中，a，b，c，d可分别写成2，2，2，2，所以是正确的，3正确【答案】1×23教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29P30“练习以上部分，完成以下问题1定理2设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，那么有aaabbba1b1a2b2anbn2，当向量a1，a2，an与向量b1，b2，bn共线时，等号成立2推论设a1，a2，

3、a3，b1，b2，b3是两组实数，那么有aaabbba1b1a2b2a3b32.当向量a1，a2，a3与向量b1，b2，b3共线时“成立在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbii1,2,3，n，可以吗？【解】不可以假设bi0而ai0，那么k不存在质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用柯西不等式证明不等式1a2b21，x2y21，求证：|axby|1；2设a，b，c为正数，求证：abc【精彩点拨】此题考察柯西不等式及证明不等式的根底知识，考察推理论证才能及代数式的变式才能解答此题

4、1可逆用柯西不等式，而解答题2需将，增补，使其满足柯西不等式左边构造方可应用【自主解答】1|axby|1.2由柯西不等式得：·ab，即ab.同理：bc，ac.将上面三个同向不等式相加得：2abc，所以abc利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的根本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd)(racrbd)2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a1×a)变形等.再练一题1设a，b，c为正数，求证：abc.【证明】由柯西不等式222.于是abc

5、abc2，即abc.运用柯西不等式求参数范围正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围. 【导学号：94910029】【精彩点拨】“恒成立问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】.故参数的取值范围是.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件纯熟掌握，然后根据题目的特点“创造性应用定理.再练一题2实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的取值范围【解】由柯西不等式得，2b23c26d2bcd2，即2b23c26d2bcd2.由条件可得，5a23a2，解得1a2，所以实数a的取值范围是1,2探究

6、共研型利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式a2b2c2d2acbd2是如何证明的？【提示】要证a2b2c2d2acbd2，只要证a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2，即证b2c2a2d22abcd，只要证bcad20.因为上式显然成立，故a2b2c2d2acbd2.探究2根据柯西不等式，以下结论成立吗？1abcd2a，b，c，d为非负实数；2·|acbd|a，b，c，dR；3·|ac|bd|a，b，c，dR【提示】成立x22y23z2，求3x2yz的最小值【精彩点拨】利用x22y23z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值【自主解

7、答】x22y23z23x2yz2，3x2yz2x22y23z2·12.23x2yz2，3x2yz的最小值为2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目的函数进展配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.再练一题3假设3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点【解】由柯西不等式x2y232423x4y2，得25x2y24，所以x2y2.当且仅当时“成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2获得最小值，最小值为，最小值点为.构建·体系1设x，yR，且2x3y13，那么x2y2的最小值为A. B169C13D0【解析】2x3y22232x2y2，x2y213.【答案】C2a，b，c大于0，且abc1，那么a2b2c2的最小值为A1B4C.D【解析】根据柯西不等式，有a2b2c2121212abc21，a2b2c2.【答案】C3a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，那么t的取值范围是A0,1B1,1C1,0D1,1【解析】设a，b，c，x，y，z|1，|1，由|·|，得|t|1.t的取值范围是1,1【答案】D4x，y0，的最小值为4，那么xy_