第3章 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式

1、.3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；理解贝努利不等式的应用条件.根底·初探教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k1成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵敏地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1贝努利不等式设x>1，且x0，n为大于1的自然数，那么1xn1nx.2.定理2选学设为有理数，x>1，1假如0&l

2、t;<1，那么1x1x；2假如<0或者>1，那么1x1x.当且仅当x0时等号成立.事实上，当是实数时，也是成立的.设nN，那么2n与n的大小关系是A.2n>nB.2n<nC.2nnD.不确定【解析】2n11n，根据贝努利不等式有11n1n×11n，上式右边舍去1，得11n>n，即2n>n.【答案】A质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法证明不等式Sn1n>1，nN，求证：S2n>1n2，nN.【精彩点拨】求Sn 再证明比较

3、困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和n>1，首先验证n2，然后证明归纳递推.【自主解答】1当n2时，S221>1，即n2时命题成立.2假设nkk2，kN时命题成立，即S2k1>1.当nk1时，S2k11>111.故当nk1时，命题也成立.由12知，对nN，n2，S2n>1都成立.此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k12k112k.再练一题1.假设在本例中，条件变为“设fn1nN，由f11>，f3>1，f7>，f15>

4、;2， .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜测：f2n1>.下面用数学归纳法证明：当n1时，f211f11>，不等式成立.假设当nkk1，kN时不等式成立，即f2k1>，那么f2k11f2k1>f2k1f2k1>.当nk1时不等式也成立.据知对任何nN原不等式均成立.利用数学归纳法比较大小设Pn1xn，Qn1nxx2，nN，x1，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明. 【导学号：38000059】【精彩点拨】此题考察数学归纳法的应用，解答此题需要先对n取特殊值，猜测Pn与Qn的大小

5、关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】1当n1,2时，PnQn.2当n3时，以下再对x进展分类.假设x0，显然有PnQn.假设x0，那么PnQn.假设x1,0，那么P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x34x0，所以P4Q4.假设PkQkk3，那么Pk11xPk1xQkQkxQk1kxxkx21k1xx2x3Qk1x3Qk1，即当nk1时，不等式成立.所以当n3，且x1,0时，PnQn.1.利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.此题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Q

6、n的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n，而无视其他变量参数的作用.再练一题2.数列an，bn与函数fx，gx，xR，满足条件：b1b，anfbngbn1nN，假设函数yfx为R上的增函数，gxf1x，b1，f11，证明：对任意xN，an1an.【证明】因为gxf1x，所以angbn1f1bn1，即bn1fan.下面用数学归纳法证明an1annN.1当n1时，由fx为增函数，且f11，得a1fb1f11，b2fa1f11，a2fb2f1a1，即a2a1，结论成立.2假设nk时结论成立，即ak1ak.由fx为增函数，得fak1fak，即bk2bk1.进而得fbk2fbk1，即ak

7、2ak1.这就是说当nk1时，结论也成立.根据1和2可知，对任意的nN，an1an.利用贝努利不等式证明不等式设n为正整数，记ann+1，n1,2,3，.求证：an1<an.【精彩点拨】用求商比较法证明an1<an，其中要用贝努利不等式.【自主解答】由an的意义知对一切n1,2,3，都成立.只需证明>1，n1,2,3，.由于×1×××，因此，根据贝努利不等式，有>×>××1.an>an1对于一切正整数n都成立.此题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式

8、成立.再练一题3.设a为有理数，x>1.假如0<a<1，证明：1xa1ax，当且仅当x0时等号成立.【证明】0<a<1，令a，1m<n，其中m，n为正整数，那么由平均值不等式，得1xa1x1x1ax，当且仅当1x1，即x0时，等号成立.探究共研型放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用探究1用数学归纳法证明不等式时，如何利用放缩法？【提示】放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目的.而且要恰到好处，目的往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用不等式、利用函数的性质进展放缩等.比方：舍去或加上一些项：

9、；将分子或分母放大缩小：，kR，k1等.证明：2n2>n2nN.【精彩点拨】【自主解答】1当n1时，左边2124；右边1，左边>右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边>右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边>右边.因此当n1,2,3时，不等式成立.2假设当nkk3且kN时，不等式成立，即2k2>k2kN.当nk1时，2k122·2k222k22>2k22k22k1k22k3k22k1k1k3k22k1k12.因为k3，那么k30，k1>0所以2k12>k12，故当nk1时，原不等式也成立.根据12知，原不等式对

10、于任何nN都成立.1.本例中，针对目的k22k1，由于k的取值范围k1太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤把验证n1扩大到验证n1,2,3的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，到达目的.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放与“缩等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目构造，二是要靠经历积累.再练一题4.设x1，且x0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明1xn1nx.【证明】1当n2时，由x0，知1x212xx212x，因此n2时命题成立.2假设nkk2为正整数时命题成立，即1xk1k

11、x，那么当nk1时，1xk11xk1x1kx1x1xkxkx21k1x.即nk1时，命题也成立.由12及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探究、猜测、证明探究2利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是什么？【提示】利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是先通过观察、判断，猜测出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探究型问题时.假设不等式>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论. 【导学号：38000060】【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进展证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较

12、方便.【自主解答】当n1时，>，那么>，a<26.又aN，取a25.下面用数学归纳法证明>.1n1时，已证.2假设当nk时k1，kN，>，当nk1时，>.>，>0，>也成立.由12可知，对一切nN，都有>，a的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.此题中从nk到nk1时，左边添加项是，这一点必须清楚.再练一题5.设an1nN，是否存在n的整式gn，使得等式a1a2a3an1gnan1对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论.【解】假设gn存在，那么当n2时，由a1g2a21，即1g2，g22；

13、当n3时，由a1a2g3a31，即1g3，g33，当n4时，由a1a2a3g4a41，即1g4，g44，由此猜测gnnn2，nN.下面用数学归纳法证明：当n2，nN时，等式a1a2a3an1nan1成立.1当n2时，a11，g2a212×1，结论成立.2假设当nkk2，kN时结论成立，即a1a2a3ak1kak1成立，那么当nk1时，a1a2ak1akkak1akk1akkk1akk11k1k1ak11，说明当nk1时，结论也成立，由12可知，对一切大于1的正整数n，存在gnn使等式a1a2a3an1gnan1成立.构建·体系1.用数学归纳法证不等式：1成立，起始值至少取A.7B.8C.9D.10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，n7，n取8，选B.【答案】B2.用数学归纳法证明2nn2n5，nN成立时第二步归纳假设的正确写法是A.假设nk时命题成立B.假设nkkN时命题成立C.假设nkk5时命题成立D.假设nkk>5时命题成立【解析】由题意知n5，nN，故应假设nkk5时命题成立.【答案】C3.用数学归纳法证明不等式>n2，nN的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边 【导学号：38000061】A.增加了一项B.增加了两项，C.增加了两项，但减少了一项D.以上各种情况均不对【解析】nk时，左边，nk1时