2015恒星结构与演化2021

1、第2部分恒星物理恒星在演化的过程中经历着膨胀和收缩，恒星显然并非完全静态的物体。但如果变化的过程及其缓慢，可以认为过程中经历的每一个状态均为平衡态，这就是准静态过程（quasi-static process）。准静态过程是一个可逆过程。24. Virial 定理3. 部分电离气体的热力学2. 非简并理想气体与辐射场的混合系统1. 理想的非简并气体的比热以及绝热指数准静态过程与绝热指数Partially Ionized Gas部分电离气体的热力学Saha公式3. 部分电离气体的热力学在热平衡状态下，不同能级的相对粒子数目由Boltzmann分布规律所决定，即在此令基态的能量为零，其中ei 和 g

2、i 分别对应着第 i 个能级的能量和统计权重， N为为配分函数。体积内粒子的总数目，U显然在低况下基态的贡献是主要的，配分函数为基态的统计权重。4推导细节Skip参考理论天体物理教授讲解部分Saha公式Saha公式 给出不基态离子以及速度为v的自由电子与基态中性原子的能量差为离阶段的原子数目的分布。其中xI 为电离势，按照Boltzmann分布规律有其中dN0+(v) 是对应自由电子的速度在v v + dv间的，处于基态能级上的离子数目。N0 为处于基态能级上原子的数目，g0为原子在基态的统计权重，g 为离子在基态的统计权重为：g+与电子的统计权重ge的乘积，即5因为电子具有两个自旋状态，于是

3、其中坐标空间体积dx1dx2dx3包含一个电子，于是dx1dx2dx3= 1/Ne，其中Ne为电子的数密度。若假定电子具有各性的速度分布，即代入于是有6对速度可得*前面的Boltzmann分布规律给出代入*式可得 Saha公式，对电子 ?Nuclear statistical equilibrium (NSE).其中 N 和 N + 分别为中性原子和一次电离原子的总的数密度， U 和 U + 为相应的配分函数。7将N Nj， N+ Nj+1，U Uj， U+ Uj+1，可以给出近邻两个电离原子所满足的Saha公式将Saha公式具体运用到纯氢原子气体，U = 2, U= 1。并考虑电中性条件，

4、Ne = N +，且总的(氢)粒子数密度为NT= N + N +。并引入电离度参数 y = N + / NT 。+Saha方程能被改写为上式 n 为总的(氢)粒子数密度（NT ），显然有完全电离气体电中性气体对于纯氢气体，总的粒子数密度（不含电子） n = r / mu ，于是有y = y (r, T )8n = rmu m示 例50 %此图给出了取相同的电离度(y = 0.5)时的T - r曲线。显然在极低密度时， 要求的电离温度约为104K，且随着密度的增加，温度变化不是很明显。9 xH / 1090 %50 %10 %10Saha公式的实用性：1. 极低密度时，局部热动平衡的条件是否仍然

5、能够成立？2. 高密度度时，粒子之间存在相互作用需要考虑，如电离的贡献。将Saha公式具体运用到纯氢原子气体，Ne = N+，且总的(氢)粒子数密度为NT = N + N +。并引入电离度参数 y= N + / NT 。 6 10-10Saha方程为recombination将T = 3000 K，代入，y - 0.003此时无自由电子，原子均为电中性，背景光子与物质退耦，对背景辐射宇宙透明。但对可见光和紫外辐射呢？宇宙早期，辐射与物质耦合在一起，处于统计平衡。可探讨中子数与质子数（nn/np）的比值。（完成）(mn - mp)c2 = exp-Nn NDm c2 1.3 MeVkTp冻结yb

6、 k T 3 ng = 0.2436 B c 示 例12recombination示 例Nuclear statistical equilibrium (NSE).大质量恒星裂解。坍缩阶段，热光子可导致的光致g +56Fe 134 He + 4nQ = 13m+ 4m - mc2= 124.4 MeV反应阈能HenFe若温度更高g +4He 2 p + 2nQ = (2mmHe )c= 28.3 MeV2反应阈能+ p n +n ee-若电子能量高可由Saha公式以探讨坍缩过程中核素丰度的变化3a 反应中8Be 数密度的计算。4 He+4He8Be示 例Na, H 和He的电离能分别为 5.1

7、4, 13.6 and 24.6 eV，带入Saha公式有T 6000 K, 太阳大气Na 几乎完全电离（虽然Na丰度低，恒星大气中的大部分自由电子都是由于H-(0.75 eV)可作类似讨论钠对电离度产生巨大的影响恒星大气示 例15部分电离气体的热力学Saha公式3. 部分电离气体的热力学部分电离气体与单原子理想气体或完全电离气体的热力学性质不一样，：1. 自由粒子的数目不再是。2. 如果需要增加自由粒子的数目，要消耗电离能。在电离敏感温度附近，Saha公式表明对温度任何一个细微的变化，会导致电离度显著的改变。可想象对于氢原子，在温度T 104 K附近， 相比原子理想气体或完全电离气体而言，将

8、会具有更大的比热cV和cP。16部分电离气体的热力学N，H，H+分别表示体积内自由粒子(含电子)，中性氢原子，电离氢原子的数目。此时，能近似为质量系统的内电离能Q = dU + P dV其中V = 1 / r，为比体积。由热力学第一定律，可写为热粒子数不再是考虑电中性条件Ne = H+，并结合总的自由粒子（含电子）数密度有因电子的质量比质子的质量小很多，可忽略其对质量密度的贡献，于是可以给出比体积与氢原子粒子数之间的关系（N T = r NA ，而V = 1 / r ）17U (T ,V ) = 3 Nk TV + xH +V2BH以纯氢气体为例，令示 例请思考完成氢氦或其它金属混合气体的情况

9、！于是有NT热可以进一步整理为右边第一项对应着为粒子数恒定时的热，第二项表示考虑电离效应后的修正项。显然 (H / T)V 为负， 第二值。氢原子Saha公式由此可以求出偏微分(H / T)请同学在课堂上当场推导（技巧）V18+ H = - 1 3 + xH H H T T 2kT H + + 2HV可得热类似可得定压比热推导其中C(0)= 3Nk V / 2为非电离气体的热，引入电离vB度参数 y = H+ / (H+H+) 。在给定温度下可画出比热随电离度参数的曲线。19将状态方程PV = T = Nk Tm代入内能表达式微分表达式即可。51 5c2H + HC= C(0) + H pv3

10、3 2kT (H + H + )2 2 3c2H + HC = C(0) 1+ H vv3 2kT (H + 2H + )(2H + H + ) CPCV令整个电离过程的温度为104 K。由图可见热的30倍最大比热几乎是中性氢原子而当y = 1，即完全电离时CV(0)= 2CV20作业 10):在给定温度104 K时, 请做出部分电离气体的绝热指数，G1, G2, G3随电离参数y 变化的图形。（尽量完成，过程稍烦，但思路简单）对部分电离的氢原子， 这三种绝热指数将明 显地小于4/3。说明：部分电离气体在动力学上是不稳定的 。(稳定性分析具体参见Virial定理）参考：Clayton书p.12

11、5页。21若更低温存在有氢怎样思考处理？是否需考虑辐射场？Stellar Evolution Physics vol.1 p174计算结果列表导22氢氦混合气体如何处理？参见Kippenhahn书 p112Physics Formation and Evolution of Rotating Stars p145-153试着计算 Variations of the specific heats CP and CV as a function of T in the outer solar layers.The units of CP and CV are R / 0 Fractions of

12、ionized hydrogen H+ and of ionized helium He+ and He+ as a function of the temperature in the outer solarlayers of a solar m. T = 106 K at Mr /M = 0.995, R / R = 0.846。 The adiabatic exponents i as functions of temperature in the outer solar layers. In the neutral medium below 8000 K and in the full

13、y ionized mediumabove T = 3105 K, the various i converge toward 5/323恒星在演化的过程中经历着膨胀和收缩，恒星显然并非完全静态的物体。但如果变化的过程及其缓慢，可以认为过程中经历的每一个状态均为平衡态，这就是准静态过程（quasi-static process）。准静态过程是一个可逆过程。244. Virial 定理3. 部分电离气体的热力学2. 非简并理想气体与辐射场的混合系统1. 理想的非简并气体的比热以及绝热指数准静态过程与绝热指数恒星在演化的过程中经历着膨胀和收缩，恒星显然并非完全静态的物体。但如果变化的过程及其缓慢，

14、可以认为过程中经历的每一个状态均为平衡态，这就是准静态过程（quasi-static process）。准静态过程是一个可逆过程。254. Virial 定理3. 部分电离气体的热力学2. 非简并理想气体与辐射场的混合系统1. 理想的非简并气体的比热以及绝热指数准静态过程与绝热指数26部分电离气体Saha公式理想气体+辐射恒星演化时标理想气体对流以及辐射的判据系统动力学的稳定性Virial定理热力学第一定律熵绝热指数气体的状态方程利用系统的比热准静态过程与绝热指数的小节See Prof. Pengs material27多方球模型完成实际电离气体准静态过程与绝热指数物态方程恒星内部物质的热力学

15、状态2829理想气体忽略了粒子之间的相互作用（仅考虑了粒子的动能或Fermi能对压强的贡献），而粒子之间存在相互作用主要为带 电粒子间的库仑相互作用。主要影响：（1）：在理想气体的压强上应附加库仑压强PC；（2）使原子能级发生变化：影响电离度，影响核反应能量，以及核反应率（电荷效应）等等。（3）等离子体的对流、湍动会对电离气体中能量输运过程产生影响。30实际电离气体课后完成Imperfect gases Physics Formation and Evolution of Rotating Stars p15631更早些时候的课程32Global View on the Equation of

16、 StateThermal neutronization.Pair e+e formation.cs Formation and Evolution of Rotating Stars p173neutron drip pointPerfect gas.Relativistic degeneracy.Radiation pressure.Degenerate gas.第2部分恒星物理恒星内部物质的热力学状态最简单的一种恒星模型 Seven highly non-linear and coupled equations are required to be solved todetermine

17、stellar structure. If we assume simple relation between pressure and density throughout the star. Eqns of hydrostatic equilibrium and mass conservation can be solved independently of the other .35多方球模型实际电离气体准静态过程与绝热指数物态方程dr =1dm4pr 2rdP = - Gm dm4pr 4 dl = edmdT =3kRl dm64p2r 4sT 3大四理论天体物理课程36The no

18、rmalized density as a function of scale length for a wide range of polytropic indices38假定恒星内部的物质的状态方程满足多方关系其中K 为，n 为多方指数(polytropic index)。由此来研究恒星结构的模型被称做多方球模型。问：为何要取多方()形式？其它形式是否9恒星多方球模型(Polytropic Star Ms)1878年 ln P G1= ln r SG2= ln P G -1 ln T S2 ln T G3 -1 = ln r SStars in radiative equilibriums

19、tars in adiabatic convective equilibrium例： 非简并理想气体与辐射场的混合系统假定恒星内部的物质的状态方程满足多方关系其中K 为，n 为多方指数(polytropic index)。由此来研究恒星结构的模型被称做多方球模型。完全简并气体的状态方程可以用多方关系来描述1.P rP r5/3n = 3/2n = 3非相对论性简并气体K 为恒量4/3相对论性简并气体2.monatomic ideal gas特定情况下的理想气体的状态方程等温(isothermal )过程 P = RT0 r / m n = K 与温度有关对于绝热(adiabatic)过程 P

20、r5/3 n = 3/2完全对流传能3.理想气体压强与辐射压比值恒定.n = 341恒星多方球模型(Polytropic Star Ms)1878年构造Lane-Emden方程无量纲化方法物理问题数学化Lane- Emden方程的求解Lane- Emden方程的应用状态方程内 容恒星结构方程为-r dF+dr将这两个方程相结合(约掉 m(r)有即2F = 4p Gr*symmetryi.e. Gravitational Poisson equation in spherical43构造Lane-Emden方程多方状态方程进行无量纲化令 r l q n，其中l 为(取密度的量纲)，而 q = q

21、 ( r )无量纲量r l q n压强可写为如星体内能统一用上面多方关系描述（One Zone），代入（ * ）式再将 r 用无量纲半径 x 表示，令 r rnx，其 中描述:满足流体静力学平衡条件和多方关系状态方程的恒星内部结构方程可得微分方程Lane-Emden方程, 需要两个边界条件。 中心边界条件r = 0处，密度有限r = rc ，且 不受力dP/dr = 0，显然取 l = rc有 外边界条件r = R 处，P = r = 0，令x = x1，为第一个使得q 为零的位置（待求量），即半径 R = rn x1 显然是待求量，对Lane-Emden方程的数值求解是由中心进行。46Lan

22、e-Emden方程边界条件：构造Lane-Emden方程无量纲化方法 q( x ) Lane- Emden方程的求解微分方程求解数学 求解微分方程Lane- Emden方程的应用内 容1. n = 0，均匀密度(r = rc)的 球体外边界位置在 x12. n = 1，=6 处。外边界位置在 x13. n = 5，= p 处。外边界趋于无穷x1 ，但天体仍为有限质量。Do you have any good methods to get the n = 5 solution?48 四个解Lane-Emden方程Lane-Emden方程的求解49没有的解没有的解？51052 如何求解？ Skip= t + constJacob Robert Emden(March 4, 1862 October 8, 1940) was a Swiss astrophysicist and meteorologist.This result was independently discovered by Schuster