极限的计算无穷小等价替换

1、模块基本信息一级模块名称函数与极限二级模块名称计算模块三级模块名称极限的计算无穷小等价替换模块编号1-12先行知识1、无穷小量模块编号1-102、等价无穷小的定义模块编号1-11知识内容教学要求掌握程度1、常用等价无穷小；1、熟记几个常用的等价无穷小；一般掌握2、无穷小替换求极限的方法；2、理解等价替换原理；3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其应用；能力目标培养学生灵活运用知识的能力时间分配30分钟编撰尧克刚校对熊文婷审核危子青修订熊文婷二审危子青一、正文编写思路及特点：思路：在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得顺序讲题例题和习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握-型极限的求解

2、方0法。特点：通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。二、授课部分1、预备知识(1)无穷小的定义：在自变量的某种趋势卜，以零为极限的函数(x)称为无穷小量，简称无穷小.(2)等价无穷小的定义：若,是无穷小量且lim-=1,则称,是等价无穷小量，记作:2、常用等价无穷小：当0时,(1)(2)arcsinxx;x;(4)arctanxx；ln(1x)x；(3)tanx(6)ex12xcosx2(8)(1x)1(9)ax-1xlna注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小ex1引例limx0cosx13、等价无穷小的替换定理定理设,且lim存在，则lim证：limlim()limlimli

3、mlim.一lim一.4、等价无穷小替换求极限的求解案例（一）直接替换求极限:（一级）fex1例1.(1)lim；x0cosx1(2)lxmosin2xxx21解：（1）原式=lim一=;x0x2.一一,、2x（2）当x0时，sin2x2x.故原式lim=2.x0x【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用在加、减法运算中.（二）四则运算变形后进行替换求极限：（二级）/加。tanxsinx例2.求lim3.x0sin32x解：13当x0时，sin2x2x,tanxsinxtanx（1cosx）x,13二x1所以原式=lim3.x?0（2x）316必c-tan5xcosx1例3.求

4、lim.x0sin3x12解：tan5x5x,sin3x3x,1cosxx2212*百tan5x1-cosx5x2_5原式=lim-=lim-2-=一.x?0sin3xsin3xx?03x3x3（选讲）（三）其它情形进行替换求极限：（三级）xx-1例4.求lim.x?1xlnx解：当x1时，t=xlnx?0,xxlnxt则x-1=e-1=e-1:t=xlnx,用等价无穷小替换得limX=lim如=1.x?1xlnxx?1xlnx1sin3x例5.求lim(1tan2x)解：因为当x0时，tan2x:2x,sin2x:3x,11tan2x所以lim(1tan2x)旃lim(1tan2x)由厮x0x0'1tan2x1sin3x2lim(1tan2x)tan2xe3.x0三、能力反馈部分1、(考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况)直接用等价替换：(1 2 lim -4x 0(excosx) arctan3x1)ln(1 2x)sin 5x/八tanx.ln(1x)(1)一x0sinx四则运算变换后进行替换xecosx(3)limx0x其它情况等价替换(选做)213sinxxcos