两条直线的位置关系及其判定

1、.两条直线的位置关系及其断定教学目的1纯熟掌握两条直线平行与垂直的充要条件，可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系.2理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角.3可以根据两条直线的方程求出它们的交点坐标.4掌握点到直线间隔 公式的推导和应用.5进一步掌握求直线方程的方法.6进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法.7通过点到直线间隔 公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维才能，理解数形结合的思想方法.教学建议一、教材分析1.知识构造2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的间隔 .难点是两条直线垂直条件的

2、推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线间隔 公式的推导.本节内容与后边内容联络非常严密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的间隔 公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要.1平行与垂直平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件即断定定理和性质定理转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况.垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可表达为：或 一个为0，另一个不存在.2夹角应正确区

3、分直线 到 的角、直线 到 的角、直线 和 的夹角这三个概念.到 的角是带方向的角，它是指 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角，它与 到 的角是不同的，假如设前者是 ，后者是 ，那么 + = . 与 所夹的不大于 的角成为 和 的夹角，夹角不带方向.当 到 的角为锐角 时，那么 和 的夹角也是 ;当 到 的角为钝角 时，那么 和 的夹角也是 .在求直线 到 的角 时，应注意分析图形的几何性质，找出 与 ， 的倾斜角 ， 关系，得出 或 ，然后由 ， 联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出.再由 与 的夹角与 到 的角之间的关系，而得出夹角计算公式这种把“形转化为

4、“数的方法，是解析几何的根本方法，要认真揣摩.对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据详细情况选用.3交点求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解.在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解.但在实际断定时，利用直线的斜率和截距更方便.假设 ， ，那么：与 相交 ;且 ;与 重合 且 .4点到直线的间隔 点到直线的间隔 公式是研究点与直线位置关系的重要工具.教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的间隔 公式.在推导过程中，把与两条

5、坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程.利用点到直线的间隔 公式可推出两平行线 ， 间的间隔 公式： .点到直线间隔 公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们考虑，下面介绍一种较简便的方法.如右图，设 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，那么有即 得，即 ，.当时，上述公式也成立.5当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、间隔 的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质;直接求解.二、教法建议1.本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联络非常严密，教学时应加强启发和引导.如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在

6、研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联络：同位角倾斜角斜率直线方程.又如，在求 到 的角 时，根据图形中角的关系，建立 与倾斜角 和 的联络有且只有 或 l两种情况，进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式.2.本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深化.所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线间隔 公式的推导.3.本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上.本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能纯熟地掌握公式，增强学生动

7、手计算的才能.本节还要加强根据条件求直线方程的教学.4.不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法即教材中例6的方法，同时会根据所给条件选用.5.两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系.6.在学习点到直线间隔 公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养才能.7.本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题.教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的才能.教学设计方案

8、课题：点到直线的间隔 教学目的：1理解点到直线间隔 公式的推导过程.2会求点到直线的间隔 .3在探究点到直线间隔 公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探究的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：一、引入点到直线的间隔 是指过点 作 的垂线， 与垂足 之间的长度【问题1】点 -1，2和直线 ： ，求 点到直线 的间隔 .由学生分析、解答分析：先求出过 点和 垂直的直线： ，再求出 和 的交点 ∴ 假如把问题1一般化就有如下问题：【问题2】： 和直线 ： 不在直线 上，且 ， ，试求 点到直线 的间隔 .二、点到直线间隔 分析1：要求 的长度可以

9、象问题1的解法一样，利用两点的间隔 公式可以求 的长度. 点坐标，∴只要求出 点坐标就可以了.又 点是直线 和直线 的交点又直线 的方程∴只要求出直线 的方程就可以了.即： ← 点坐标←直线 与直线 的交点←直线 的方程←直线 的斜率←直线 的斜率这一解法在课前由学生自学完成，课上进展评价总结问：这种解法好不好，为什么?根据学生讨论，老师适时启发、引导，得出分析2：假如 垂直坐标轴，那么交点和间隔 都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段 和 ，如图1所示，显

10、然相对而言 ，和 好求一些，事实上，设 到直线的间隔 为 ， 坐标为 ， 坐标为 ，那么易求：，所以： ，所以：根据三角形面积公式： 所以： 至此问题2已经解决公式 的完善.容易验证由学生完成：当 ，即 轴时，公式成立;当 ，即 轴时，公式成立;当点在 上时，公式成立.公式 构造特点师生一起总结：1分子是 点坐标代入直线方程;2分母是直线未知数 、 系数平方和的算术根.类似于勾股定理求斜边的长三、检测与稳固练习11 到直线 的间隔 是_.2 到直线 的间隔 是_.3用公式解 到直线 的间隔 是_.4 到直线 的间隔 是_.订正答案：15;20;3 ;4 .练习21.求平行直线 和 的间隔 .解

11、：在直线 上任取一点，如 ，那么两平行线的间隔 就是点 到直线 的间隔 .因此， = = 【问题3】两条平行直线的间隔 是否有公式可以推出呢?求两条平行直线 与 0的间隔 .解：在直线上 任取一点，如 那么两平行线的间隔 就是点 到直线 的间隔 ，如图2.因此， = = 注意：用公式时，注意一次项系数是否一致.四、小结作业1、点到直线的间隔 公式及其推导;师生一起总结点到直线间隔 公式的推导过程： 2、利用公式求点到直线的间隔 .与当今“老师一称最接近的“老师概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。于是看，宋元时期小学老师被

12、称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师，而一般学堂里的先生那么称为“老师或“教习。可见，“老师一说是比较晚的事了。如今体会，“老师的含义比之“老师一说，具有资历和学识程度上较低一些的差异。辛亥革命后，老师与其他官员一样依法令任命，故又称“老师为“教员。3、探究两平行直线的间隔 唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古

13、代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子学、太学等所设之“助教一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监国子学一科的“助教，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士“讲师，还是“教授“助教，其今日老师应具有的根本概念都具有了。4、探究“点到直线的间隔 及一条直线求另一条直线间隔 .要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些