极坐标参数方程15道典型题

1、极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分另“为4sin,cos()22.(1)苏Cl与C2的直角坐标方程，并求出Cl与C2的交点坐标；(2)设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为3xtabi3/(t为参数tR),求a,b的值.yt12(1)由极直互化公式得：_22C1:x(y2)4C2：xy404分联立方程解得交点坐标为(0,4),(2,2)5分(2)由(1)知：P(0,2),Q(1,3)所以直线PQ：xy20,化参数方程为普通方程：ybxab1,22b1对比系数彳导:2,a1

2、,b210分/abc1 222.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴，曲2xtm线C1的极坐标方程为cos23,曲线C2的参数方程为，(t是参数，m是常y2t1数)(1)求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；(2)若C2与C1有两个不同的公共点，求m的取值范围.解：(1)由极直互化公式得C1：2(cos2sin2)3,所以x2y23；2消去参数t得C2的方程：y2x2m(2)由(1)知Ci是双曲线，C2是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y得:一223x4(2m1)x4m4m40,7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则16(2m1)212(4m24m

3、4)0,解得：m1或m210分22x3.3t3 .已知椭圆C:一L1,直线l：(t为参数).4 3y2.3t(I)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(II)设1,0,若椭圆C上的点满足到点的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标.x=2cos9,.,l解：(I)(n)设P到直线C：y=V3sin0(°为为参数)，l:-V3y+9=°R2cos0,*73sin0),则|Ap=(2cos01)2+(/sin0)2=2-cosl的距离d12cos83sin8+9|2cos83sin8+9由 | Ap = d 得 3sin 0 4cos 0=5,又 sin 2 8 + co

4、s230 =", cos54° =-5-10分故(8,钓4.1. 极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为psin0=2,M是。上任意一点，点P在射线OM1±,且满足|Op|OM=4,记点P的轨迹为C2.(I)求曲线。的极坐标方程；(n)求曲线C2上的点到直线pcos(e+一1)=42的距离的最大值.解：(I)设P(p,8),M(p1,8),依题意有p1sin9=2,pp1=4.消去P1,得曲线G的极坐标方程为p=2sin0.5分(n)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2+(y1)2=1,G:x-y=2.C2是以点(0,1)为圆心，以1为半径的圆，

5、圆心到直线C的距离d=3中，故曲线G上的点到直线G距离的最大值为1+乎105.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4,2 sin(-)o现以极点。为原点，极轴为x 4x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为y(1)写出直线i的普通方程和曲线c的直角坐标方程；1t2，一2l (t为参数)。32(2)设直线l和曲线C交于A,B两点，定点P(2,3),求|PA|PB|的值。【解】(1)4d2sin()4sin4cos,所以24sin4cos。所以x2y24x4y0,即(x2)2(y2)28。直线l的普通方程为3xy2J330。5(2)把l的参数方程代入x2y24x4y0得：t2(45

6、71;)t330。设A,B对应参数分别为t1,t2,则11t233,点P(2,3)显然在l上，由直线l参数t的几何意义知|PA|PB|t1t2|33o101户3+t6.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,rr(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为p=2/3sin0.(I)写出GK的直角坐标方程；(n)p为直线l上一动点，当p到圆心C的距离最小时，求p的直角坐标. P 2=273 P sin 9，化为 x2+y2= 2«工，又 C 一.解：(I)由OC的极坐标方程为P=2&sin9.|PC|=J，(半t-百)气产+12“血，因此当t=

7、0时，|PC|取得最小值2dM.此时P(3,0).10分7 .在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p cos( e 一M N分别为C与x轴、y轴的交点.(I)写出C的直角坐标方程，并求出MN的极坐标;(n)设MN勺中点为P,求直线OP的极坐标方程.兀解：(1)将极坐标方程pcos9=1化为:1：32 p cos 9 + 方-p sine =1.则其直角坐标方程为：$+号y=1,M2,0),N。，手)，其极坐标为M(2,0),N33,-2(2)由(1)知MN的中点P1,当直线op的直角坐标方程为 y=3x,口化为极方程为： p sin 9 p co

8、s 9 .化简得tan9 =3岁，即极坐标方程为38 .在直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线G2.4的极坐标方程为p211+内口。8,直线l的极坐标方程为p=V2sin9+cos日(I)写出曲线G与直线l的直角坐标方程；(n)设Q为曲线C上一动点，求Q点到直线l距离的最小值.【解答】(I)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，_2_4曲线G的极坐标方程为p2+En28,直线l的极坐标方程为p=/2sin9+cos9,根据p2=x2+y2,x=pcos0,y=psin0,则G的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为升日产&a

9、mp;(n)设 Q .:'1,则点Q到直线l的距离为IV2sin e +V2C0S a - 4 I上<3当且仅当|2sin <，+)- 4 I73, nB二2k无十二4 (kCZ)时取等口2.Q点到直线l距离的最小值为忑.(k=2cosC19.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(y=2+2sin<I("为参数)M是G上的动点，P点满足。邑2。I,P点的轨迹为曲线C2(I)求G的方程；K(n)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线。=3与。的异于极点的交点为A,与G的异于极点的交点为B,求|AB|.兀(II)根据(I)将求出曲线Cl的极坐标方

10、程，分别求出射线。=3与C的交点A的极径为P1,7T以及射饯。=3与G的交点B的极径为p2,最后根据|AB|=|p2-pi|求出所求.【解答】解：(I)设P(x,y),则由条件知M(b,-2).由于M点在。上，1=2。田口vrK=4cosO-所以I2ip(y=4f4smd从而G的参数方程为1y=4+4或口立(”为参数)(n)曲线Ci的极坐标方程为p=4sin0,曲线C的极坐标方程为p=8sin0.射线0=3与Ci的交点A的极径为Pi=4sin3,射线0=3与C2的交点B的极径为p2=8sin3.所以|AB|=|p2pi|二V3.10.设圆C的极坐标方程为P=2,以极点为直角坐标系的原点，极轴为

11、x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系.过圆C上的一点M(m,s)作垂直于x轴的直线l：x=mx设l与x轴交于点N向量OQ=OM+ON.(I)求动点Q的轨迹方程；(n)设点R(1,0),求反|的最小值.【解答】解：(I)由已知得N是坐标(m,0),设Q(x,y),由而二而i+6Si,得产而j竭尸号，则s=y丁点M在圆p=2上,即在m2+s2=4上,|RQ |=V(4eos© - 1) 2+4sin2 © =12帮考一；返则1至1的最小值为3 .11.已知在平面直角坐标系 xOy中，直线1的。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线co屋。-Etc 口+5 二

12、J12 3兮日. 士)1j参数方程是12n (t是参数)，以原点TTP =2cos (：C的极坐标方程&.222+j.Q是轨迹方程为164；k=4cos日(n)Q点的参数方程为ly=2sin9(I)判断直线1与曲线C的位置关系；(n)设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.【解答】解：（I）由V2tbiV2,消去t得：y=x+4亚.P=2cos9cosP=V2cose-V2sin6p2=V2PcoSe-V2Psin9,即J炎"+亚=0.化为标准方程得:圆心坐标为d=直线l()由+472I二5:>1.与曲线C相离；贝Ux+y=sin0+cos0=,半径为1,圆心到直线

13、x-y+46=0的距离M为曲线C上任意一点，可设x+y的取值范围是一板，亚.12.已知曲线C的参数方程为75cos(.5sin为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（I）求曲线C的极坐标方程;（n）若直线的极坐标方程为(sin0+cos0)=1,求直线被曲线C截得的弦长.23.（1）.曲线C的参数方程为、-5cos.5sin（a为参数）.,.、，一、一22曲线C的普通方程为X2y15xcos将代入并化简得：4cos2sinysin即曲线c的极坐标方程为4cos2sin5分(2)的直角坐标方程为xy10一一2-圆心C到直线的距离为卡上=42弦长为2J5?=24310分.2

14、?x=1+3cost.13. (15年福建理科)在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数万程为？(t为参数).?y=-2+3sint在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为、2rsin(q-p)=m,(m?R).4(I)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(n)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.22试题分析：(I)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x-1)+(y+2)=9,利用xcos,ysin将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(n)利用点到直线距离公式求解.，一一，.，、一22试题解析：(I)消去参数t,得到圆

15、的普通方程为(x-1)+(y+2)=9,由72rsin(q-p)=m，得rsinq-rcosq-m=0,4所以直线l的直角坐标方程为x-y-m=0.(n)依题意，圆心c到直线l的距离等于2,即|1-=2,解得 m=-3 ±2、?2xtcos14. （15年新课标2理科）在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数，t丰0）,ytsin其中0 w a <C3:2 3cos支，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2sin,（1）求C2与G交点的直角坐标；（2）若G与G相交于点A,C与G相交于点B,求|AB|的最大值。H3）帏（I）曲坡a的直地坐标方程为/十,-及二作，曲

16、线6的直地坐标方程为M y一功 = 6. e门。.晟二&怫JC J v. % y=。M=Tf3x sin 可得eC的直角坐标方程；（II ）先设 的坐标，则CJt2 12 ,再利用二次3 -t2，,一_2 （t为参数）2原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，e C的极坐标方程为（I）写出eC的直角坐标方程；（II ） 为直线l上一动点，当 到圆心2、3sinC的距离最小时，求的直角坐标.【答案】（I） x2y33 2 3 ；（II）Jy3所以Q与孰交点的直角坐标为0。）和（学,泰（II）曲线C的楹坐标方程为9="8氏*0八其中口Wav总田牝4的姬里标为占），B的极坐标为2685口”）.所以-2k5co