偏微分方程数值解法答案

1、1. 课本有证明2. 课本有说明3. 课本有说明4. Rit2法，设是u的n维子空间，是的一组基底，中的任一元素可表为，则是的二次函数，令，从而得到满足，通过解线性方程组，求的，代入，从而得到近似解的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，利用确定，求得近似解的过程Galerkin法：为求得形式的近似解，在系数使关于，满足，对任意或（取）的情况下确定，从而得到近似解的过程称Galerkin法为Rit2-Galerkin法方程：5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，

2、将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点得到相邻节点之间的小区间，由节点上的一组值，按线性插值公式 确定试探空间，令把变到轴上的参考但愿0,1令则：，将带入该函数得到：带入可得 令其中从而得到的线性方程组！7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖分基函数的取法其中是以为顶点的矩形单元 为的底和商的长度。8. 何为三角剖分，基函数怎样取？三角剖分：设G是多边形域（否则可用多边形域

3、逼近它），将G分割成有限个三角形之和，使不同三角形无重叠的内部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的内部，这样就把G分割成三角形网，称为G的三角剖分。基函数的取法：通过构造Lagrange型插值公式可以得到基函数的取法。不妨以是一次多项式为例，得到，其中L1是相应于节点1的基函数在上的限制（具体的过程，可参考课本：P57 P58）9.题，参考课后习题P92的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程10，11题不会。 在此将14题推导过程介绍如下：12. 对Possion方程，建立五点差分格式，并估计截断误差。取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2，沿x,y方向分别用二阶中心差商代替，则 （五点差

4、分格式）式中表示节点(i,j)上的网函数。令 利用Taylor展式有截断误差为13. 对possion方程建立，极坐标形式的差分格式poission 方程的极坐标形式为 - 其中 利用中心差商公式 - - 将 两式代入式得 即poission 方程极坐标形式的差分方程。14. 解：将按照Taylor在处展开整理得到其截断误差为在Richardson格式（4.1.10）中以代入，便得Du Fort Frankel格式： - - - 得 （省去了的商阶无穷小）从而得到了微分方程左边的误差同理可得微分方程右边的误差：从而得到 15.用Fourier方法讨论向前差分格式的稳定性。解：向前差分格式。以代

5、入得消去则知增长因子由于在0，中分布稠密，(随)为使满足von Neu-Mann条件，必须且只须网比所以向前差分格式的稳定性条件是16. 用Fourier方法讨论向后差分格式的稳定性。解：对向后差分方程利用Fourier方法分析器稳定性，整理得：。令，将代入得到：消去。则增长因子为。所以向后差分方程是恒稳定的。17. 用Fourier方法讨论六点对称格式的稳定性。解：六点对称方程的格式为。令代入得= 。消去得增长因子为。所以六点对称格式是无条件恒定的。18.证明：利用Fourier方程将两端同时做变换。得)消去exp(ixjh)得增长因子为.即差分格式的充要条件是19.讨论三维热传导方程向前差

6、分格式的稳定性解：三位热传导方程为（向前差分格式）. 取通项代到上式消去公因子得。从而增长因子为为使|=1+O()必须且只须。当时三维热传导方程的向前差分格式稳定。20. 讨论三维热传导方程向前后分格式的稳定性解：三维热传导方程的向后差分格式为：取通项=exp(i(+),=,=,=,带入上式，消去共因子得：。恒成立所以 三维传导方程向后差分格式是无条件稳定的。21三维传导方程的PR格式为： = （1） = (2) = (3)(1)(2)(3)合称PR格式。22.将= = =将=exp带入上式得= 对任何r>01. 所以=绝对收敛。23解： (1) (2) (3) (4)(1)+(2) 得=+（3）+（4）得=+所以 其截断误差为 。24. 证明：用Four