现代数学与中学数学考试卷

1、研究生课程进修班试卷封面姓 名： 李娜 单 位： 郑州19中专 业： 数学 考试科目： 现代数学与中学数学 考试分数： 2012年 2 月 12 日东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表课程名称 现代数学与中学数学 姓 名 李娜 单 位 郑州19中 专 业 数学 2012年2月12日 题 号分 数签 名12345678910总 分评阅教师签字： 年 月 日现代数学与中学数学考试卷一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例（1） 错误，例如：取 则有 此时，不成立（2） 正确二、（10分） 若函数在点可导，计算（1） （2） 三、（10分） 求一函数，其曲线过坐标原点且曲

2、线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 解：由题意知，所以又因,所以C=0，故 四、（10分）证明：若，则 证明：令，在区间递减，所以即从而有五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的锥体的体积。解：任取过点（0,0,z）做垂直与z轴的平面，截面为椭圆，其方程为，椭圆面积为，故六、（10分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。解：甲比乙投中次数多的情况有两种：（1）甲投中2次，乙投中0次或1次。（2）甲投中1次，乙投中0次。所以，甲比乙投中次数多的概率是七、（10分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分

3、成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则，这里就是这种物质致癌的概率。试导出的最大似然估计值的计算公式。解：设为离散型随机变量，其概率分布的形式为，则样本的概率分布为，在固定时，上式表示取值的概率；当固定时，它是的函数，我们把它并记为，称.与有相同的最大值点。而在许多情况下，求的最大值点比较简单，于是，我们就将求的最大值点改为求的最大值点.对关于求导数，并命其等于零，得到方程组, (9.2)称为似然方程组。解这个方程组，得到的驻点，如果驻点是唯一的，又能验证它是一个极大值点，则它必是，也就是的最大值点，即为所求的最大似然估计八、（10分）

4、甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？解：（1）甲同学说他的这些球中黑球所占比例p=3%，那么200个球中只有6个黑球，那么乙同学取10个球其中有2个黑球，乙同学会推测黑球所占比例为20，与甲同学说的比例相差甚远，所以乙同学不会相信甲同学的说法。（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，那么他会推测黑球所占的比例非常小，与甲同学说的这些球中黑球所占比例p=3%，相差不多，所以乙同学会相信甲同学的话。九、（10分） 用选主元素的Gauss消元法求解请指明消元、回代过程。解：由（1c）-(1a)得：由得：从而，由（2e）-(2f)得：，再带入（2e）得到x2的值，然后把x2,x3的值带入（1a）求出x1的值十、（10分） 使用二分法求解于1,2内的根，二分3次即可。解：令则 ,所以方程的根在区间（1，1.5）内，再取其中点1.2