【高考数学冲刺解题技巧】导数中的参数范围的求法

1、2导数中的参数范围的求法一、与单调性有关的参数问题此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间 单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的 关系，这里需要注意的一个问题：若函数f(x)单调，则f(x)恒为非正或非负，函数 的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划 等号。例1.已知函数f (x) =x3-3X?-9x在区间(a,2a-1)上单调递减，求a的取值范围。解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。 2f (x) =3x -6x -9 =3(x 1)(x -3)令f(

2、x)0,则x - 3或x：-1;令f(x)：0,则-1：x：3，作出趋势图像如下:a -1函数在区间(a,2a-1)上单调递减，需满足2a-仁3=1ca2Na-Ia22例2已知函数f(x)=x a lnx在1,4上是减函数，求实数a的取值范围xa2解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，f (x) =2x2x x22在1,4上是减函数，即f (x)乞0= a乞-2x2在1,4上恒成立x令g(x) = -2x2，因为g(x)在1,4上递减，则g(x)min= g=-一x22所以a岂-63(1)xf(x)2、例 3.3.已知函数f (x)二ax, g(x) = Inx,aR，若函数G(x

3、)ag(x)在区间ax1,：)上为单调函数，求a的取值范围。解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情 况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。3xf (x)2a 2 2x +ax2G(x)ag(x)，G(x)=2x22axx xx若G(x)在区间1,=)上单调递增，则G(x)_O在1,：)上恒成立，即22一22a3-2x在1,丘)上恒成立，令h(x) =-2x，因为h(x)在1,畑)递减，则xxh(x)max二h(1)=0，此时aO若G(x)在区间1,=)上单调递减，则G(X)乞0在1,：)上恒成立，即2222a 2x在1,=)上恒成立，令h(x) 2x，因

4、为h(x)无最小值，则不存xx在这样的a综上，a-0例 4.4.已知函数f (x) = x3 (k -1)x2(k 5)x，其中kR，若函数f (x)在区间(0,3)上不是单调函数，求k的取值范围。解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没 有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有 几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此 外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。 2f (x) =3x 2(

5、k -1)x k 5，函数f (x)在区间(0,3)上不是单调函数，则f(x)在(0,3)内必定存在极值点，此时f(x)不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此f (x)在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。(1)若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下：5 3:1/-4-2134!i 6r e o io-11o(2)If (0) o26此时f (x)只需要满足gn a J(3) 0 f0 A 0二、与极值有关的参数范围问题此时f (x)只需要满足常见的问法是函数有无极值点， 有几个极值点的问题，极值点是函数单调性发生 改变的点，因此有极值点意味着函数不单调，没有极值点则意味着函

6、数单调，有几个 极值点意味着导函数有几个零点，但是导函数有几个零点不等同于函数有几个极值点(导函数为零的点不一定为极值点，极值点一定为导函数为零的点) 例 5.5.已知函数f (x)n(X，设h(x) =xf (x)-x-ax3在(0,2)上有极值，求a的取x值范围。解析：h(x)二ln(x 1)xax3(x *1且x = 0),2h(x)二-3ax2-1二(),h(x)在(0,2)上有极值，则h (x)x+1x + 12在(0, 2)上有零点，即-3ax -3ax-1=0在(0,2)有根C11从13a =一，故a -x2+x618例 6.6.若函数f (x ex(x2ax a 1)没有极值点

7、，求a的取值范围解析：f (x) = exx2(a 2)x 2a 1)，令f (x) = 0，即x2(a 2)x 2a 1 = 0函勺数无极值点，贝V厶=(a，2)24(2a *1)0= 0乞a乞43例7.7.已知函数f (x) = a In x - ax - 3，函数f (x)的图像在x = 4处的切线的斜率为，且g(x)=-x3x2 f (x)在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围。3213m22解析：由已知得a = -2，g(x)x3(2)x2- 2x，g (x x2(m 4)x - 2，函32数在区间(1,3)上不是单调函数，则导函数在区间上存在零点，根据二次函数根的I g：0

8、 19分布列不等式，：一：:m：-3lg( 3)=03二、与双参数有关的参数冋题在参数问题中参数的个数可能不止一个，另外在此类问题中变量的个数也可能不 止一个，也可能会出现双变量的问题。题目中若含有双参数m,n，其中一个一般是给出了区间，而让求另一个未给出的 参数的取值范围，除了这个之外一般还会给出未知量x的区间，一个参数一个未知量是以任意性和存在性方式给出，其实这种题目大多是参数恒成立或存在性问题的延伸， 只不过需要求两次最值，因为多了一个参数，所以在难度上会适当的降低。解题的思路是将所求的参数m单独分离，另一边包括另外一个参数n和变量x,此时可以将参数n或变量x中的一个当成自变量，另外一个

9、当做常量即可，求出最值 后可消去参数n或自变量x，再将问题转化为常规恒成立问题即可，但是如果所求的 参数m不能分离，可分离的是另一个参数n，这样反而简单，直接利用任意性或存在性消去参数n。例 8.8.已知函数f(x)=alnx-ax-3，若函数f(x)的图像在点(2, f(2)处的切线 的倾 斜角为45，对于任意的r 1,2，函数g(xx3x2 f (x) 在区间(t,3)上总不 是单调函数，求m的取值范围。、.3rm2解析：由题意知a =-2，g(x)=x (2)x -2x2g (x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g (x)在(t,3)上存在零点g (x) =3x2 (m 4)x -2

10、，根据二次函数根的分布列不等式37m *-3Jm+4)t c2_3t22成立，则m 4 3tt2_ 2因为3t在t 1,2上单调递减，及(7 - 3t)min- 5，综上所述，m：-932例 9.9.设函数f (x) = a ln x - bx，当b= 0时，若不等式f (x)一m x对所有的32a 0, , x 1,e 都成立，求实数m的取值范围。2解析：当b=0时，f (x) =aln x，f (x)亠m x= a ln x亠m x对所有的3232a 0,-, x，1,e2都成立，即m空alnx-x对所有的a 0,x 1,e2都成立2 22令h(a)二alnx-x，h(a)为一次函数，当x 1,e 时