二次函数的图象和性质

1、嫩江县长福学校1二次函数的图象和性质一、课前预习：1.抛物线 y 二 ax2bx 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表:x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 _ (填写序号)抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0 );函数 y = ax2+bx + c 的最大值为 6;1抛物线的对称轴是 x =-；在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大.22.已知二次函数y二ax2bx (a)的图象如图所示，有下列结论：两根式：y = (x - xj(x- x2)图象一I卜开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值b2-4ac 0:abc 0；8a c 0:9a 3b c：0.其中

2、，正确结论的个数是(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4二、知识导图：r定义一般式：y =I二次函数解析式顶点式：ax2bx ca(x2a)2第2题4ac- b24a嫩江县长福学校2性质Ja 开口方向同号:-对称轴在 y 轴左侧a、b 异号、对称轴在 y 轴右侧y 二 ax b c（a = 0）厶二 b2- 4ac：-与 x 轴交点个数c 0 正半轴 与 y 轴交于点 C（0,c）：- ；c= 0 原点 ic0，.开口向上，又 y=x2 x+m=x2 x+ （ -）2 - +m= （x - ）2+412424对称轴是直线 x=-，顶点坐标为（丄，如11） 224顶点在 x 轴上方，二顶点的纵

3、坐标大于 0，即 如0 /. m-（2）441m-时，顶点在 x 轴上方.4（3） 令 x=0，则 y=m.即抛物线 y=x2 x+m 与 y 轴交点的坐标是 A （0， m）.IAB / x 轴 B 点的纵坐标为 m .当 x x+m=m 时，解得 X1=0，x2=1.A （0，m），B （1，m）在 Rt BAO 中，AB=1，OA=| m| .1tSAAOB= OA-AB=4.21一 | m| 1=4 二 m=82故所求二次函数的解析式为 y=x2 x+8 或 y=x2x 8.嫩江县长福学校3当堂练习:1.如图是二次函数y=ax2bx c(- 0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断a

4、+b+cv0;2 a- bv0;b2+8a4 a c2m一2.抛物线-4x-与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0),则此抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是其中正确的是 (填写序号)3 如图，二次函数Vc的图象经过点D 运9j,与 x 轴交于 A、B 两点.0;嫩江县长福学校4嫩江县长福学校5例 2已知抛物线y =-X2(m-4)x 2m 4与X轴交于A(x,0)、B(X2,0),与y轴交于点 C,且x、x?满足条件X,：X2,Xi- 2X2 =0i_(1)求抛物线的解析式；(2)能否找到直线y二kx b与抛物线交于 P、Q 两点,C使y轴恰好平分 CPQ 的面积？若能，求出k、b所满足的条件

5、.解:(1 ).=(m 4)2 4(2 m 4) =m232 . 0,.对一切实数m，抛物线与X轴恒有两个交点，由根与系数的关系得OQ片亠x2=m -4,X1X2- -(2 m - 4).由已知有人2X2=0.一得X2=4m,为=-2x2=2m-8.代入得(2m8)(4m) =-(2m - 4).化简得m2-9m +14 =0.解得m,=2,m2=7.当m =2时,X,=-4,x2=2，满足X1：:：X2.当m2=7时，X=6,% - _3，不满足X必，.抛物线的解析式为目-x2-2X- 8.(2)如图，设存在直线y二kxb与抛物线交于点 P、Q,使y轴平分 CPQ 的面积，设点P 的横坐标为

6、XQ，直线与y轴交于点 E .1.SPCE=S.QCE 2CEXp| =2 CE XQ,由y轴平分 CPQ 的面积得点 P、Q 在y轴的两侧,即Xp - -XQ,.XPXQ0，由y =kx亠by = -X-2X82得X(k 2)X8 =0.又.Xp、XQ是方程x2(k 2)Xb -8 =0的两根，.Xp XQ- -(k - 2) =0,.k - -2.又直线与抛物线有两个交点，.当k -2且b：8时，直线y二kx b与抛物线的交点 P、Q,使y轴能平分厶 CPQ 的面积.故k=-2, b：8.嫩江县长福学校6嫩江县长福学校7小测：1. 已知二次函数 y= kx2+(2k1)x1 与 x 轴交点

7、的横坐标为X!、x2(XKx2),则对于下列结论：当 x = 2 时，y= 1;当xX2时，y 0;方程 kx2+(2k1)x 仁 0 有两个不相等的实数根Xi、X2:为 1 :x2 x 讦,1+4k，其中所有正确的结论是 _k(只需填写序号).2. 已知直线 y =2x b b = 0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B; 一抛物线的解析式为2y=x - b 10 x c.(1)若该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线y=-2x b上，试确定这条抛物线的解析式；(2) 过点 B 作直线 BC 丄 AB 交 x 轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线y=2x b的解析

8、式3. 已知抛物线 y= x2+ mx m + 2.(1) 若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB =5,试求 m 的值；(2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC 的面积等于 27,试求 m 的值.4已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧, 如图二次函数 y= ax2+ bx+ c (a0的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 C.(1) a、c 的符号之间有何关系？(2) 如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；(3)

9、在(2)的条件下，如果 b= 4, AB= 4 3，求 a、c 的值.嫩江县长福学校8A. ac0四、作业布置:1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 7 所示，那么下列判断不正确的是()C. b= -4a D .关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 xi= 1,x2=5A. a0, b0, b2 4ac0;B. a0, b0, b2 4ac0;2 2C. a0, c0; D. a0, c0, b 4ac0;3. 已知抛物线y =ax2+bx +c(aV0)过 A (2, 0)、O (0, 0)、B (-3,yi) C (3,y2、四点，贝Uyi与y2的大小关系是A.yiy2B.C.yVy?D.不能确定4. 已知二次函数 y=ax2+bx+c (a0的图象如图所示，则下列结论： ac 0; a -b +c 0; 当 x 0 时，y 0；方程ax2+bx+c = 0(a 工0有两个大于1 的实数根.其中错误的结论有? ? (A、(B、(C)(D、2一15.如图，二次函数y =x ax b 的图象与 x 轴交于A(-?,0),B(2,0)两点，且与 y 轴交于点 C.(1) 求该抛物线的解析式，并判断AABC的形状；(2)在 x 轴上方的抛物线上有一点 D,且以A C、D、B四点为顶