欧拉旋转角的更多应用

1、欧拉旋转角的更多应用欧拉旋转角的更多应用关键词:欧拉角;旋转矩阵;方向控制;方向测量;天线辐射方向图;天线定位一.引言1995年4月,HenryBurger在专栏里的一篇题为“欧拉旋转角在产生天线辐射方向图中的应用”分享了他关于欧拉旋转角的想法。欧拉角旋转的使用是一个有利的技术,我们已经多次使用了。正如1995年4月的专栏介绍里许诺的那样,我们已经将这个想法扩展了然后阐述。b5E2RGbCAP我们曾经在一个共形阵列中使用旋转矩阵寻找辐射方向图匹配的单元,这个共形阵列中不仅需要旋转方向,还要旋转极化方向。第二个有用之处是在空间中用旋转矩阵分析旋转物体。如果你在做计算机绘图,你将需要能够旋转物体。

2、许多计算机绘图文本中有些使用旋转矩阵的物体旋转的有用的分析。旋转矩阵的第三个有关的用法是去理解天线定位器。你可以通过旋转矩阵来描述定位器的旋转,并且计算旋转的影响,这不仅包括天线的方向同时也包括极化方向。p1EanqFDPw二.使用欧拉旋转矩阵进行坐标旋转天线分析因为两个原因需要坐标变换。天线的的规范和测量需要沿着Z轴瞄准线指向,但是经常分析时需要使用其他指向的基阵。例如,偏馈抛物面使用一种指向反射中心的反馈天线,然而反射轴是在Z轴上。曲面物体的各个面上的天线阵列每个单元指向不同。一个阵列因子乘以单元方向图衰减的想法和分析必须在每个单元中坐标的方向图进行方向旋转。第二种坐标旋转的有用的应用是旋

3、转空中的物体和电流。你可以在一个坐标系中算出几何结构,这种计算比较容易,而且然后旋转天线和电流到真实的指向。这种方法对于这些步骤使用3X3旋转矩阵。DXDiTa9E3d第一种感兴趣的情况是天线单元在空间中指向任意,这里定位可以用一个旋转矩阵来描述。我们们把想要的辐射方向图方向旋转到旋转天线的坐标系以找出用什么测量角来满足单元所需要。这种指向旋转到旋转天线坐标系通过下面给出RTCrpUDGiT旋转坐标系rotatedrotatedrotatedZYX=旋转矩阵?ZYX(1)我们们把矩形坐标变换到球形坐标以找出辐射方向角。旋转极化方向将在下面讨论。5PCzVD7HxA第二种分析中感兴趣的情况是旋转

4、物体并且找到新的坐标。两种情况都用相同的矩阵。我们们要么用旋转矩阵乘以向量从左开始以找到旋转物体坐标系里的坐标,要么从右开始乘来旋转物体。位置的旋转使用方程式jLBHrnAILgoldoldoldZYX旋转矩阵=?rotatedrotatedrotatedZYX(2)旋转矩阵可以在单元向量旋转时的方向中找到。它在下面给出旋转矩阵=?axis-zotatedaxis-yotatedaxis-xotatedRRR(3) xHAQX74J0X旋转很难形象化,所以这个报告给出两个方法。它对于使用小坐标系手动形成旋转并且校验天线指向很有用。这种方法使用3X3矩阵来完成旋转，通过和位置或者方向向量的乘法来

5、完成。关于X轴的旋转给出?AAAAcossin-0sincos0001(4) 关于Y轴的旋转?BBBBcos0sin010sin-0cos(5)关于Z轴的旋转?1000cossin-0sincosCCCC(6)AXRTA程序可以找关于主轴的3个旋转矩阵的任意一个。LDAYtRyKfEFORTRA货程序AXRTA旋转矩阵SUBROUTINEAXRTA(EA,IA,AS)CCRotationMatrixforRectangularCoordinatesCCEARotationAngle(radians)CIAAxisofrotation:1X-axis,2Y-axis,3Z-axisCAS(3,3

6、)RotationMatrixCZzz6ZB2LtkDIMENSIONAS(3,3)CA=COS(EA)SA=SIN(EA)DOlI=l,3DO2J=I,3AS(J,I)=-SA2AS(I,J)=SAdvzfvkwMI11 AS(I,I)=CAD031=1,3AS(I,IA)=O.3AS(IA,I)=O.AS(IA,IA)=l.RETURNENrqDyn14ZNXI三种旋转能够将一个物体重新定向到任意方向。我们门通过把这些相乘得到最终旋转矩阵。通过三种旋转矩阵的结果来确定一个方位的旋转:EmxvxOtOco?=rotatedrotated321oldoldoldZYXRRRZYXrotated

7、(7)合理的方法是在乘以方位向量之前乘以3X3矩阵,R1,R2,R3。当我们们自右用R2乘以R1,它旋转R1的旋转旋转轴。自右乘R3的乘法运算旋转R2旋转轴,并且R1被再次旋转。我们们可以采取从左到右一个接一个的旋转,并且使用关于各个主要轴的旋转矩阵,只要我们们在每个乘法后将行向量转变成列向量。SixE2yXPq5子程序MTMULT等任意适当大小的矩阵相乘。FOTRANfc二维变量中要求固定大小,但是一个向量当它的真实维度是(n)的时候,可能以(n,1)维或者(1,n)维来传递。6ewMyirQFLFORTRANSubroutineMTMULTMatrixmultiplicationforre

8、alvariableskavU42VRUsSUBROUTINEMTMULT(A,B,C,NR,NN,NC)CCMatrixMultiplicationAxB=CCCNRNumberofRowsofAandCCNNNumberofcolumnsofAandNumberofrowsofB,C.NCNumberofcolumnsofBandCLy6v3ALoS89DIMEI'ISIONA(NR,NN),B(NN,NC),C(NR,NC)DO11=1,NRDO1J=1,NCD02K=l,NNM2ub6vSTnP2 C(I,J)=C(I,J)+A(I,K)*B(K,J)1CONTINUERETU

9、NEND0YujCfmUCwC(I,<I)=o.一种定义空间物体的方向的方法是使用球坐标角度,因为他们辐射方向图角度相同。这种情况下,我们们将矩阵从右到左排成一行。当旋转一个轴的坐标系时,其他的轴转变方向。接下来的旋转是关于这些旋转轴的。这三种旋转经常被称作欧拉角。三种球坐标指向旋转是eUts8ZQVRd1)Z轴旋转二62)新Z轴旋转=93 )新Z轴旋转使天线的极化对齐最后的旋转是最困难的,因为前面两个旋转已经改变的天线的方向。EULER子程序结合了AXRTA为主轴的旋转通过矩阵乘法MTUL以计算完整的旋转矩阵。sQsAEJkW5TFORTRANSubroutineEULERRotati

10、onmatrixSUBROUTINEEULER(EA,IA,AS)CCEulerRotationMatrixCCEAArrayofEulerAngles(radians)CPositivegivesCCWrotationCaboutaxisspecifiedbyIACIAArrayofAxisDesignators(1X-axis,2Y-axis,GMsIasNXkAC3Z-axis)CForexample,rotationaboutZaxis,NewYaxis,CNewZaxiswouldrequireIAtobe:3,2,3CAS(3,3)MatrixofrotationDIMENSION

11、EA(31,IA(3),AS(3,3),AW(3,3),BW(3,3)TIrRGchYzgCALLAXRTA(EA(1),IA(l),AS)CALLAXRTA(EA(2),IA(2),BW)CALLMTMULT(BW,AS,AW,3,3,3)CALLAXRTA(EA(3),IA(3),BW)CALLMTMULT(BW,AW,AS,3,3,3)RETURNEND仔细阅读EULEFR?序，它揭示了乘法是以相反的方向进行的。三.旋转天线的旋转矩阵程序的旋转矩阵输出使主要坐标系的辐射方向图的方向的旋转可以被旋转到旋转天线的坐标系。辐射方向图的方向向量后被旋转矩阵自右乘以表示旋转坐标系的向量。矩阵分量变

12、换成球坐标从旋转天线给予了辐射方向图所需要的方向。辐射方向图主程序将在旋转坐标系统返回极化分量。然后,主要坐标系的的极化方向向量被旋转到天线单元的旋转坐标中,并且极化单元向量被投射到这些旋转分量上。这种旋转矩阵后乘方向(矩阵在左,向量在右)或者方向向量不会改变它的方向,而是改变它的表现。PATRO程序将这些想法结合以使天线指向它的正常瞄准线之外可以使用。7EqZcWLZNXFORTRANSubroutinePATROTPatternrotationSUBROUTINEPATROT(ROT,VR,VT,VP,THETA,PHI,VTP,VPP)CCRotatesPatterndirectioni

13、nprimecoordinatesCtorotatedantennacoordinatesCCROT(3,3)RotationmatrixCVR(3)PatterndirectionunitvectorCVT(3)ThetaunitvectorforVRdirectionCVP(3)PhiunitvectorforVRdirectionCCTHETAPatterndirectioninrotatedantennaCcoordinatesCPHIPatterndirectioninrotatedantennaC(radians)CVTP(3)DirectionofThetacomponentin

14、rotatedCcoordinatesCVPP(3)DirectionofPhicomponentinrotatedCcoordinatesCDIMENSIONROT(3,3),VR(3),VT(3),VP(3),VTP(3),$VPP(3),XX(3),SP(3)CALLMTMULT(ROT,VR,XX,3,3,1)CALLRETSP(XX,SP)THETA=SP(2)PHI=SP(3)CALLMTMULT(ROT,VT,VTP,3,3,1)CALLMTMULT(ROT,VP,VPP,3,3,1)RETURNENDRETS布序将矩形坐标变换到球形坐标。SUBROUTINERETSP(X,S)

15、CCRectangulartoSphericalCoordinatesCX-(X,Y,Z)CS-Radius,Theta(radians),Phi(radians)CDIMENSIONS(3),X(3)PI=2.*ACOS(0.)S(1)=SQRT(X(1)*X(1)+X(2)*X(2)+X(3)*X(3)lzq7IGf02ES(2)=0.S(3)=0.IF(S(1).LE.0.)RETURNS(2)=ACOS(X(3)/S(1)IF(S(2).EQ.0.OR.S(2).EQ.PI)RETURNS(3)=ATAN2(X(2),X(1)RETURNEND8,给定旋转天线的方向，用EULE陈找到天

16、线的旋转矩阵。以一个辐射方向图方向()小作为输入，程序FFDIR彼回辐射方向，8和小单元向量。辐射单元向量是辐射方向图的方向。zvpgeqJ1hkSUBROUTINEFFDIRC(THETA,PHI,VR,VT,VP)CCFarFielddirectionvectorsCCTHETA,PHIPatternangles(radians)CVR(3)RadiusunitvectorCVT(3)ThetapolarizationunitvectorCVP(3)PhipolarizationunitvectorCDIMENSIONS(3),VR(3),VT(3),VP(3)S(l)=l.S(2)=TH

17、ETAS(3)=PHICALLARADS(SIVR)CALLATHET(S,VT)CALLAPHI(S,VP)RETURNEND9,子程序ARAD驱回矩形坐标的辐射向量。如果我们们将来自给定球坐标方向()小ARADS勺返回结果矩形分量乘以辐射向量的长度,然后程序就将球坐标转换成矩形坐标。SUBROUTINEARADS(S,AR)CCUnitVectorinRadiusDirection(RectangularCCoordinates)CCS-SphericalCoordinatesCAR-UnitVectorCDIMENSIONS(1),AR(1)AR(1)=SIN(S(2)*COS(S(3)

18、AR(2)=SIN(S(2)*SIN(S(3)AR(3)=COS(S(2)RETURNEND在给定球坐标或者辐射方向角的情况下,子程序ATHE丽APHI返回极化方向8和小的矩形分量。SUBROUTINEATHET(S,AT)CCUnitVectorinThetaDirection(RectangularCCoordinates)CCS-SphericalCoordinatesoflocationCAT-UnitVectorCDIMENSIONS(3),AT(3)AT(1)=COS(S(2)*COS(S(3)AT(Z)=COS(S(Z)*SIN(S(3)AT(3)=-SIN(S(2)RETURN

19、ENDNrpoJac3v1SUBROUTINEAPHI(S,AP)CCUnitVectorinPhiDirection(RectangularCCoordinates)1nowfTG4KICS-SphericalCoordinatestolocationCAP-UnitVectorCfjnflda5zoDIMENSIONS(1),AP(1)AP(1)=-SIN(S(3)AP(2)=COS(S(3)AP(3)=O.RETURNENDtfnNhnE6e5我们们认定在迭代一个共形阵列的单元时这些方向不变以找到辐射方向图。PATROT勺调用返回旋转天线的辐射方向图的方向。通常的辐射被用于找出电场的两个

20、远场分量。另外一个FFDIRC的调用返回旋转坐标系的单元向量的方向。程序PATROTS回旋转坐标系的9定向单元向量VTP和小定向单元向量VPP。例如，第二个FFDIRC()VPRVTRVRR,69计算单元向量。最后的辐射分量是HbmVN777sLVTPVPREVTPVTREE?+=ee688(8)VPPVPREVPPVTREE?+?=ee小86(9)四.空间物体的旋转为了使用矩阵来旋转空间的物体,将旋转矩阵预乘方向向量(向量在左矩阵在右)。矩阵乘法有意义的唯一方式是使用行向量。V7l4jRB8Hs在第二种计算旋转矩阵的方法里,从左到右计算三个单轴旋转矩阵。在这种情况下,轴不改变方向。首先,对X

21、轴进行旋转,Y轴Z轴保持它们正常的方向。第二,对Y轴旋转,例如仍然是沿着参考坐标系的真实Y轴。右旋转矩阵在预乘整个旋转矩阵时不仅仅旋转空间的点还旋转左旋转矩阵。例如,如果我们们用两个旋转矩阵ZY,其中Y是一个关于Y轴的旋转矩阵,然后关于在Z轴的旋转矩阵Z,当矩阵以这种顺序相乘时,旋转了Y轴。83lcPA59W9旋转矩阵的顺序描述球坐标（）68,的物体旋转一样。关于Z轴的旋转是小，而旋转9是关于旋转后的Y轴的。我们们使用旋转矩阵ZY。这种方法或者第一种方法都会产生合适的mZkklkzaaP旋转矩阵，当时当使用EULER时，要记住旋转是从右到左相乘。当使用第二种方法时,以相反的顺序发送旋转矩阵,同

22、时轴指示数字也以相反的顺序进行。AVktR43bpw五.任意轴的旋转有些时候,我们们需要沿着一个并非主要轴的任意轴旋转一个物体。这种情况需要一点额外的工作,但是如果我们们在旋转之前或者之后平移一个物体我们们会找到一个单独的旋转矩阵。假定一个轴的端点用两个位置向量1a和2a表示,我们们把1a作为起点向量,然后通过从1a轴到2a轴的逆时针旋转来测量旋转。然后就能得出向量2a-1a,并且它将被转换成球坐标（）68,。旋转矩阵将把方向向量从Z轴旋转到之前得出的旋转轴。第一个旋转是关于Z轴的小旋转，然后第二个旋转是关于Y轴的9旋转。三个欧拉角是（1）关于Z轴的ORjBnOwcEd小旋转,（2）关于Y轴的

23、9旋转（3）关于Z轴的零，这给出了一个旋转矩阵R矩阵的倒转。旋转矩阵的倒转将物体以相反的方向旋转。矩阵是正交,这意味着它的倒置阵是他的相反矩阵。我们们将旋转轴旋转到Z轴,沿着Z轴旋转,然后旋转回原始的坐标系。然后我们们通过减去向量1a平移一个位置向量,后乘RRRZT给出的旋转矩阵,其中2MiJTy0dTTZR是关于轴的Z轴旋转,然后我们们将平移向量1a加到旋转后的位置向量。不论你使用哪种方法计算旋转矩阵,旋转矩阵和向量的乘法,如果你需要在旋转坐标系中表示的向量就将位置（方向）向量放在矩阵的右边。如果要旋转一个物体,就将向量放在旋转矩阵的左边作为个行向量然后进行乘法运算。gIiSpiue7A六.

24、定位器模型塔我们们用空间轴旋转来描述天线定位器。在定位器模型塔顶部安装一个方位表。这个定位器将在球坐标系中准确移动天线，通过和9对应的方向轴，和小对应的模型塔顶部方位轴。水平极化源天线测量9极化，而垂直极化源天线测量小极化。水平平面包括X轴和Z轴。垂直的是Y轴。定位器沿着固定的Y轴（方向轴）旋转天线,并且旋转一个变换方向的Z轴（头轴）。因为Z轴旋转是通过Y轴旋转的,所以旋转矩阵是以YZ顺序:uEh0U1Yfmh?cosA0sinA-010sinA 0 cos 100cos sinHcosA 0sin -coscosAHHAH（10）IAg9qLsgBX轴的正旋转沿着轴的顺时针。因此，角A（方位

25、角）和H（AUT或者头轴角）是负旋转而且在上面的表达式中反映出来。当矩阵相乘时,我们们得到表达式WwghWvVhPE?=?axiszotatedaxisyotatedaxisxotatedcosA0sinA-sinHsinAcossinHcosAsincossin-coscosRRRHAHHAH(11)asfpsfpi4k轴的旋转单元球面坐标（）68 ,Z 轴的投影由沿Z 轴的单位向旋转后的球面Z 轴方向0 (|)0 (I)cos sin sin sin cos矩阵的每一行是单元球体上的某一个轴的位置。定位器旋转天线,这被作为一个单位半径球体表达我们们需要知道指向Z是什么方向,还有源天线的方向。每个旋转轴沿量和向量的点积给出:ooeyYZTjj1?=?=8cosAsinHsinAcosHsinA(12)BkeGuInkxI第二个向量显示了头轴或者AUT轴的旋转对应一个小旋转，并且方位表旋转在球坐标系中对应9旋转。七.方向角超过仰角定位器一种常见的重型定位器是抬升方向角定位器,其中源方向通常沿着水平面。当仰角面是0度时,天线的视轴（Z轴）从垂直Y轴方位表90度安装。仰角轴是一个水平X