选修课灰色系统理论及其应用离散预测模型

1、离散灰色预测模型离散灰色预测模型谢乃明谢乃明南京航空航天大学灰色系统研究所南京航空航天大学灰色系统研究所南京南京22010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件第二部分第二部分 灰色预测模型的主要内容灰色预测模型的主要内容GM(1,N)GM(1,N)模型模型多变量多变量离散灰色模型离散灰色模型GM (n, h)GM (n, h)模型模型离散灰色模型离散灰色模型GM(1,1)GM(1,1)模型模型2.12.12.52.52.42.42.32.32.22.232010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2 2.2 单变量离散灰色模型单变量离散灰色模型离散灰色模离散灰色模型的建立型的建立离散灰色模

2、型离散灰色模型与与GM(1, 1)GM(1, 1)模模型关系型关系纯指数增长纯指数增长序列预测分序列预测分析析42010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.1 2.2.1 离散灰色模型的建立离散灰色模型的建立定义定义2.2.12.2.1称为离散灰色模型（Discrete Grey model，DGM）。定理定理2.2.1 2.2.1 若 为参数列，且则灰色微分方程 的最小二乘估计参数列满足(1)(1)12(1)( )xkxk12(,)T (1)(1)(1)(1)(1)(1)1(2)(1)1(3)(2),1( )(1)xxxxYBxnxn(1)(1)12(1)( )xkxk1()TTB

3、BB Y52010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.1 2.2.1 离散灰色模型的建立离散灰色模型的建立定理定理2.2.22.2.2设 如定理2.2.1所述， ，则(1)取 ，则递推函数为或(2)还原值,YBYBBBTT121)(,) 1 () 1 ()0()1(xx1, 2 , 1;11) 1 () 1(211)0(1)1(nkxkxkk1, 2 , 1;1)1) 1 () 1(1212)0(1)1(nkxkxk1, 2 , 1);() 1() 1() 1()1()1()1()1()0(nkkxkxkxkx212111)1(122)1(112)1(1)1() 1() 1 ( ) 1

4、()() 1(kkkxkxkxkx62010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.2 离散灰色模型与离散灰色模型与GM(1,1)模型关系模型关系 从定理2.2.1、定理2.2.2和2.1节的研究，可以知道GM(1,1)模型和DGM模型的构造，将 代入GM(1,1)模型，有 为便于和离散灰色模型比较，可以让上式中 从1取值，上式变为 形式与离散灰色模型完全相同，因此假设有关系式 则有)1()(21)()1()1()1(kxkxkznkabkxaakx, 3 , 2,5 . 01) 1(5 . 015 . 01)()1()1(k1, 2 , 1,5 . 01)(5 . 015 . 01) 1

5、()1()1(nkabkxaakx215 . 01,5 . 015 . 01abaa1212111,12,1)1 (2abba72010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.2 离散灰色模型与离散灰色模型与GM(1,1)模型关系模型关系对应于GM(1,1)模型的解方程，也称时间响应函数为 ( (* *) )对应于离散模型的解方程，称作离散递推函数为 ( (* * *) )下面来研究两者之间的关系。将( (* *) )式右边进行分离，得 ( (* * * *) )将 和 用麦克劳林公式展开1, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(nkabeabxkxak1, 2 , 1;11) 1

6、() 1(211)0(1)1(nkxkxkk1, 2 , 1),1 () 1 () 1()0()1(nkeabexkxakakaeaa5 . 015 . 011)(!) 1(! 3! 2132nnnaaonaaaae)(2) 1(221 )(2) 1(221 (15 . 015 . 01111232221nnnnnnnnaoaaaaaoaaaaaa82010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.2 离散灰色模型与离散灰色模型与GM(1,1)模型关系模型关系 由于 值较小，高次项影响微乎其微，如果只考虑前四项时的情况，则有 令差值 ，则 对应于不同的 值， 取值如下表。 a62132aaa

7、ea421321aaa1ae12463331aaaeaa92010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.2 2.2.2 离散灰色模型与离散灰色模型与GM(1,1)GM(1,1)模型关系模型关系 因此，当 取值较小时， ，用 代替 ，则(*)式变为 形式与(*)式完全相同。因此离散灰色模型与GM(1,1)模型可以认为是同一模型的不同表达方式，在 取值较小时可以相互替代。aae11ae(1)(0)(0)211112111(1)(1)(1)(1),1,2,111kkkkxkxxkna102010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.3 2.2.3 纯指数增长序列分析纯指数增长序列分析 G

8、M(1,1)模型预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，但一直没有取得共同认可的科学合理的解释，刘思峰教授等学者用纯指数增长序列数据做模拟，得出结果是GM(1,1)具有一定的适用范围，即使使用纯指数增长序列数据进行模拟，在做长期预测时仍存在较大的误差。下面用离散灰色模型做纯指数模拟分析。 设初始发展数据序列为 则以后的发展趋势为(0)23,0nXac acacacc(0)( ),1,2,kxkacknn112010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.3 2.2.3 纯指数增长序列分析纯指数增长序列分析将 进行一次累加生成得还原值(0)X(1)2231, (), (),niiXac a

9、 cca cccac22231111()()1(),11nniiiiaca cca cca cccYBacac1()TTcB BB Yac1(1)(0)211111(1)(1)(1)11kkkkkiicxkxac cacacc1(0)(1)(1)11( )( )(1)kkiikiixkxkxkacacac122010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.2.3 2.2.3 纯指数增长序列分析纯指数增长序列分析 和 完全相等，因此具有预测无偏性，而 和 可以任意取值，因此只要原数据序列具有近似指数增长规律，都可以用离散灰色模型来模拟和预测。分析离散灰色模型和GM(1,1)模型预测结果的不同，可

10、以知道，GM(1,1)模型预测发生偏差的原因在于白化型式中的 与DGM模型中的 之间存在微小的差异，在做短期预测或发展系数 较小时，微差对整个预测模型的影响较小，所以预测精度较高，而做长期预测或发展系数 较大时，微差对整个预测模型的影响急剧增大，预测精度降低，有时甚至结果无法接受。)()0(kx)()0(kxacae1aa132010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件第二部分第二部分 灰色预测模型的主要内容灰色预测模型的主要内容GM(1,N)GM(1,N)模型模型多变量多变量离散灰色模型离散灰色模型GM (n, h)GM (n, h)模型模型离散灰色模型离散灰色模型GM(1,1)GM(1,1

11、)模型模型2.12.12.52.52.42.42.32.32.22.2142010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型GM(1,N)GM(1,N)模型模型152010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型 定义定义2.3.12.3.1 设 为系统特征数据序列，而 为相关因素序列， 为 的1AGO序列 ， 为 的 紧邻均值生成序列，则称 为GM(1,N)模型。)(,),2(),1 ()0(1)0(1)0(1)0(1nxxxX(0)(0)(0)(0)2222(0)(0)(0)(0)

12、3333(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )(1),(2),( )(1),(2),( )NNNNXxxxnXxxxnXxxxnNiiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()()1(iX)0(iX(1,2,)iN)1(1Z(1)1X162010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型Niiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()(灰导数发展系数背景值灰作用系数灰作用量172010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型(1)2( )xk(1)3( )x

13、k(1)( )Nxk182010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型 定义定义2.3.2 2.3.2 在GM(1,N)模型中， 称为系统发展系数， 称为驱动项， 称为驱动系数， 称为参数列。 定理定理2.3.12.3.1 设 为系统特征数据序列， 为相关因素数据序列， 为诸 的1AGO序列， 为 的紧邻均值生成序列， 则参数列 的最小二乘估计满足a)()1(kxbiiibTNbbbaa,21)0(1X(0)(2,3,)iXiN)1(iX)0(iX)1(1Z)1(1X(1)(1)(1)12(1)(1)(1)12(1)(1)(1)12(2

14、)(2)(2)(3)(3)(3)( )( )( )NNNzxxzxxBznxnxn(0)1(0)1(0)1(2)(3)( )xxYxnTNbbbaa,21YBBBaTT1)(192010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型 定义定义2.3.32.3.3 设 ，则称为GM(1,N)模型的白化方程，也称影子方程。定理定理2.3.22.3.2 设 如定理2.3.1所述，则TNbbbaa,21(1)(1)(1)(1)(1)12233NNdxaxb xb xb xdt(0)(1)(1)(1)(1)112233( )( )( )( )( )NNx

15、kazkb xkb xkb xk(0)(1)(1)1,(1,2,),iiXXiNZB YYBBBbbbaaTTTN121)(,202010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型(1)白化方程 的解为：(2)时间响应式为：(3)累减还原式为(4)GM(1,N)差分模拟式为：Niiixbaxdtdx2)1()1(1)1(1(1)(1)(1)(1)22(1)(1)(1)122( )( )(0)(0) (0)(0)( )NNatatiiiiiiNNatatiiiiiixteb xt e dtxb xdtextb xb xt e dt(1)(1)

16、(1)(1)112211(1)(0)(1)(1)NNakiiiiiixkxb xkeb xkaa)() 1() 1() 1()1(1)1(1)1(1)1()0(1kxkxkxkxNiiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()(212010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型例例2.3.1 2.3.1 以某市科技、经济、社会总体规划为例，说明GM(1,N)模型；决策变量决策变量: :社会总产值因素变量因素变量: :技术水平总发电量总物耗总劳动力固定资产总值流动资金刑事发案率222010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.

17、3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型某市科技经济社会协调发展规划模型社会总产值技术水平总电量总物耗总劳力固定资产净值流动资金总额发案率232010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型(0)1(0)2(0)3(0)4(0)5()()()()()xxxxx社会总产值 （31013，33656，37300，51531，65231）技术水平 （0.968，0.985，0.945，1.091，1.183）总电量 （10748，12213，13853，15196，17979）总物耗 （17865，19549，21584，293

18、49，36447）总劳动力 （171280，177349，17(0)6(0)7(0)8()()()xxx2271，186323，203427）固定资产总值 （20865，22834，26440，28573，33588）流动资金总额 （15149，16246，20226，31459，34063）刑事案件发生率 （8.24，11.36，11.48，7.49，6.69）242010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型构建GM(1,N)模型为有影响因子序(0)(1)(1)(1)(1)11234(1)(1)(1)(1)5678( ) 1.28( )1.125( ) 1.605( )0.575( ) 0.25( )0.03625( )0.2218( )3.28( )xkzkxkxkxkxkxkxkxk3245768 1.605 1.125 0.575 0.25 0.2218 0.036 3.28xxxxxxx总电量技术水平总物耗总劳力流动资金固定资产发案率252010灰色系统讲习班课件灰色系统讲习班课件第二