第6讲含绝对值的方程及不等式

1、奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560第 6 讲 含绝对值的及不等式从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值即一个数与它相反数的绝对值是一样的由于这个性质，所以含有绝对值的与不等式的求解过程又出现了一些新特点本讲主要介绍有绝对值的处理方法与不等式中含一个实数 a 的绝对值记作a，指的是由 a 所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：(2)a-ba+ba+b；(3)a-ba-ba+b由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的

2、正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏下面结合例题予以分析例 1 解x-2+2x+1=7分析 解含有绝对值符号的的关键是去绝对值符号，这可用“零掉绝对值符号再求解解(1)当 x2 时，原化为(x-2)+(2x+1)=7，1初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560-(x-2)+(2x+1)=7应舍去-(x-2)-(2x+1)=7说明 若在 x 的某个范围内求解时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则

3、这样的解不是的解，应舍去例 2 求x-2x+1=3 的不同的解的个数为只含有一个绝对值符号的然后再去掉外层的绝对值符号求解x-(2x+1)=3，即1+x=3，所以x=2 或 x=-42初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560x+(2x+1)=3，即3x+1=3，的个数为 2例 3 若关于 x 的少？x-2-1=a 有三个整数解则 a 的值是多解 若a0，原无解，所以 a0由绝对值的定义可知x-2-1=±a，所以 x-2=1±a(1)若 a1，则x-2=1-a0，无解x-2=1a，x 只能有两个解 x=

4、3+a 和 x=1-a(2)若 0a1，则由x-2=1+a，求得x=1-a 或 x=3+a；由x-2=1-a，求得x=1+a 或 x=3-a原的x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使有三个整数解，a 必x=3，1，只有两为整数，所以 a 只能取 0 或 1当 a=0 时，原个解，与题设不符，所以 a0当 a=1 时，原三个解的的x=4，0，2，有综上可知，a=1例 4 已知x=ax+1 有一负根，且无正根，求 a 的取值范围的负根，则-x=ax+1，即解 设x 为所以应有 a-1反之，a-1 时，原有负根3初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：620539

5、39公主坟：68220560设有正根 x，则 x=ax1，即所以 a1反之，a1 时，原有正根综上可知，若使原有一负根且无正根，必须 a1例 5 设求 x+y分析 从绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须零解 由题设有把代入得解之得 y=-3，所以 x=4故有x+y=4-3=1例 6 解组4初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560分析与解 由得x-y=1 或 x-y=-1，即x=y+1 或 x=y-1与结合有下面两个组解()：把 x=y+1 代入x+2y=3 得y+1+2y=3组()的同理，解()有故原组的例

6、 7 解组解 由得5初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560x+y=x-y+2因为x-y0，所以 x+y0，所以x+y=x+y把代入有x+y=x+2，所以 y=2将之代入有x-2=x，所以x-2=x， 或 x-2=-x 无解，所以只有解得 x=1故为原组的解说明 本题若按通常的解法，区分 x+y0 和 x+y0 两种情形，把方x+y=x+2 和-(x+y)=x+2，对程分成两个不同的也做类似处理的话，将很麻烦上面的解法充分利用了绝对值的性质，从中发现必有 x+y0，因而可以立刻消去中的绝对值符号，从而简化了解题过程例 8

7、 解不等式x-5-2x+31x5，x5-(x-5)-(2x+3)1，-(x-5)-(2x+3)1，(3)当 x5 时，原不等式化为6初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560x-5-(2x+3)1，解之得 x-9，结合 x5，故 x5 是原不等式的解的解例 9 解不等式 13x-52分析与解 此不等式实际上是解 对3x-51：对3x-52：所以与的公共解应为7初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560例 10 解不等式x+3-x-33解 从里往外去绝对

8、值符号，将数轴分为 x-3，-3x3，x3 三段来讨论，不等式化为如下三个不等式组即x-3即x3说明本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意下面两个不等式分别解出和即可，请同学们完成这个解法8初一金牌班教员讲义第六讲含绝对值的及不等式奥数网，学习奥数的乐园！知春路：62053939公主坟：68220560x+2+x-1=a 有解？例 11 当 a 取哪些值时，解法 1 (1)当 x-2 时，x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3(2)当-2x1 时，x+2+x-1=x+2-x+1=3(3)当 x1 时，x+2+x-1=2x+12·1+1=3所以，只有当 a3 时，原有解解法 2 按照绝对值的性质a-ba+b，故x+2+x-1(x+2)-(x-1)=3其中等号当-2x1 时成立，所以当 a3 时，原有解练习 61解下列：(1)x+3-x-1=x+1；(2)1