房山区2018-2019学年度高三数学(理科)第一学期期末检测试卷--附答案解析

1、大兴区2018-2019学年度第一学期期末检测试卷高三数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。1 .设集合 |A- G<ER|k.T, B JmER|x5-3x<0；,则 ACB 等于（）A. 司 B.C.D. |【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式化简集合B,然后直接利用交集运算得答案.2【详解】解：: x - 3x< 0,，0W xW3,B- 0 , 3,A= （ 2, +8）,An B= （2, 3.故选：C.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基

2、础题.2 .已知。:飞。，则下列不等式成立的是 （）A.-/ B. 6 > 6 C. Igb D. 2 ' > 优a b【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出.【详解】解：: a>b>0,.血刮，lga>lgb, 2 a<2 b.a b只有B正确.故选：B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3 .在复平面内，复数对应的点的坐标为（2 1，则七上I等于（）A. B. |：斗C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意求得z,进一步得到z+1 ,再由复数模的计算公式求解.【详

3、解】解：由题意，z= 2 - i,则|z+1|=|2- i+1|=|3- i"qT3.故选：D.【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.44.执行如图所示的程序框图，若输出的 S的值为1,则输入的值为（）/推心/JT*+1A"点=3A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得S= 0, n= 1满足条件1vi,执行循环体，S, n=2I 2满足条件2vi,执行循环体，S=,

4、 n = 3I 2 2 31 1 1满足条件3vi,执行循环体，S二丁十 丁=4;-in = 4i 2 2 3 3 4满足条件4vi ,执行循环体，S-L4-L I +一. (1.1) + (.L» +(：)+1 x2 2 x 3 3 K4 4二5匕 33 4(-) , n = 54 55由题意，此时应该不满足条件5V i ,退出循环，输出 S的值为口，可得4<i <5,可得i的值为5.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.5 .已知数列 闻,则“存在常数，对任意的,且山羊n,都有七% =匚”是“数列

5、 ) n -m为等差数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由等差数列的定义不妨令 m=n+1,则有：an+i-an=c,可知，数列 an是以c为公差的等差 数列，由等差数列的通项公式an= ai+ (n-1) d, am= ai+ (m-1) d, (d为公差)得：【详解】由已知：“存在常数 c,对任意的m, nCN*,且mwn,都有匕J n* m不妨令m=n+1,则有：an+i-an=c,由等差数列的定义，可知，数列an是以c为公差的等差数列，由"数列an为等差数列”则 an=a+ (n-1) d,

6、am= a+ (m-1) d, (d为公差)所以:ii (n - m)dn-m即存在“存在常数 c,对任意的m, nCN*,且mwn,都有七乜=匕"此时，c=d,综合 得：“存在常数 c,对任意的m, nCN*,且mwn,都有是“数列an为等差数列”的充分必要条件，故选：C.【点睛】 本题考查了数列的定义及等差数列的通项，充分必要条件，属简单题.6 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，再由棱锥体积公式求解.【详解】解：由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥 P- ABC1之则该几何体的体积 V - x -风I

7、 ；3 23故选：A.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.7 .已知口为共面的三个单位向量，且则（"）?（； I ）的取值范围是（A. f B. A1C. i.J ij D.一：.运用向量垂直的条件：数量积为0,及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可计算得到.【详解I解：由IL 则T 0, J I ' J "又;，；为单位向量，则17|=；:，"；=旦则（ ：） ? U r f （ T）二k| j 卜 k i j 】；j k 卜 k=（"；），1 4 1 = |i i ；1cos<

8、; ； 4 j k> 1 志cos< " j . k>K由 TS1，则（|. D ?（" 1）的取值范围是1f£，1+立故选：D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题.8 .A、B两种品牌各三种车型 2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如下表：A品牌车型A1A2A 3环比增长率-7.29%10.47%14.70%B品牌车型B1B2B3环比增长率-8.49%-28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：A1车型销量比B1车型销量

9、多;A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%;B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率.其中正确结论的个数是（）A. B.2；C.卜| D. W【答案】B【解析】【分析】 根据表中数据，对关于 7月份销量的四个结论，分析正误即可.【详解】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：对于，A车型销量增长率比 Bi车型销量增长率高，但销量不一定多，错误；对于,A品牌三种车型中增长率最高为14.70%,所以总销量环比增长率不可能大于14.70%,错误；对于，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%,所以它的总销量环比增

10、长率也可能为正，正确；对于，由题意知 A品牌三种车型总销量环比增长率，也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，正确；综上所述，其中正确的结论序号是.故选：B.【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。9.抛物线（二, 的焦点到准线的距离等于 咯案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程可得pL由焦点到准线的距离为p,从而得到结果.【详解】解：抛物线 x2=y的焦点到准线的距离为 p,由标准方程可得 p-;,.故答案为：:【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦

11、点到准线的距离为p是解题的关键.10.0+3展开式中，常数项的值为x【答案】【分析】先写出通项，在通项公式中令x的指数为0,求出k,从而写出常数项.【详解】解：Tk + L 点-由 ckx18 .独令18- 3k= 0, k= 6,故i/人Lj：的展开式中的常数项为 T下中s7=C96=84 x故答案为：84【点睛】本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查.11 .在&XBC|中，已知 a-b： = c-ab|,则上C|.【答案】4【解析】试题分析：因为所以烧；+川=2ab，所以由余弦定理得： g&cJ 一 七 二四岫二XE ,因为C为三角形内角

12、,所以C=450。lab lab 2考点：本题考查余弦定理的变形应用。点评：利用余弦定理通常用来解决：（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；（2）已知三边，求三个内角。12 .若存在满足比?二羽 的非负实数%y'口，使f成立，则的取值范围是【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数-c=xo-yo的几何意义，即可确定目标函数 z =x-y的取值范围.V +- V C A【详解】解：存在满足的非负实数xo, yo,表示的平面区域，如图所示:53 个顶点是 A （0, 5）, C （0, 1）, B （、，0）,由图易得目标函数在（-5, c取得最大值5,在B （0,

13、5）处，-c= Xo-yo取最小值:2,0）处，c得最小值为:，使X0-yo+c=0成立，则c的取值范围是-*5.故答案为：上工已知条件，找出约束条件和目标函数是关键,【点睛】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的可先将题目中的量分类、 列出表格，理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.13 .直线-kx4k与圆cix . +/=1交于.X, B两点，当'ABC的面积最大时，k的值为分析可得：当d2，即d=旧时， ABC勺面积最大;解可得k n上也1故答案为：土 T.1【点睛】本题考

14、查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题.14 .设函数1二孔I f(2a-x)Tx , a.若,d，则的最大值为；若函数y = fix')-卜有两个零点，则b的取值范围是 .【答案】.1(2).【解析】【分析】，当a=0时，f (x),由此分析函数的单调性，据此分析可得答案；1 - x)( XSO，根据题意，由函数的解析式分析可得图象关于直线x=a对称，若函数y=f (x) - b有两个零点，即函数 y=f (x)与y=b有2个交点，结合函数的图象分析可得答案.【详解】解；，当a=0时,f (x)f( - x). x<0当xW0时，f (x) = 2x,

15、f (x)在(-8, 0上为增函数， 当 x>0 时，xv 0,则 f (x) = f ( x) =2 x= (；) x, 则f (x)在(0, +8)为减函数，贝U f (x) max= f (0) = 20 = 1 ；，根据题意，当xwa时，f (x) = 2x a,当x>a时，则有2a-xva,此时 f (x) =f(2ax) = 2a x,f (x),其图象关于直线x= a对称，(2s x>a若函数y=f (x) - b有两个零点，即函数 y=f (x)与y=b有2个交点，其图象如图:必有0vbv 1,即b的取值范围为(0, 1)；故答案为：，1,(0, 1) .【点

16、睛】本题考查分段函数的性质， 函数的零点问题，注意分析函数的对称性， 属于基础题.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。兀15 .已知函数 f(x) - 4sin( x)sm( + x)-l.(I)求口刈的最小正周期;(n)求口川在区间.:白上的最大值和最小值.| 二【答案】(I)*(n)最大值为2,最小值为0(I)求f(x)的最小正周期,需要把 . 4sinf x - x)jnn(一 + 工)-】化简为 f (x) - 2sin(2x -勺, 36再由公式即可求出函数的最小正周期;【详解】解：(I) 1(# 73 HM氧一秘6(一 + X)= 13 J -3=

17、%呻彳854smx) -1,-E0.再由正弦函数的性质求出最大值与最小值即可66货2、久mxBsx - 2smx -, 5sui2x - 8仁x,31所以Rxj的最小正周期T- -2(n )因为共苜,所以卜二所以当2.J工口，即又时，心0取得最大值为2; 6 13:时，Rx)取得最小值为0解的关键是化简函数的解析式【点睛】本题考查三角函数的最值及三角函数的图象与性质,及熟练掌握三角函数的相关性质16 .自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了 100人，统计结果整理如下：20以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,7070以上使

18、用人数312176420未使用人数003143630(I)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在30.5g且未使用自由购的概率；(II)从被抽取的年龄在50J0使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用x 表示这3人中年龄在50,60)的人数,求随机变量区的分布列及数学期望；(出)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保贝物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋【答案】(I) ”(H)详见解析(出)2200100【解析】【分析】(I)随机抽取的100名顾客中，年龄在30, 50)且未使用自由购的有 3+14 = 17人，由概

19、率公式即可得到所求值；(II)伙所有的可能取值为1,2,3,求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；(出)随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值.【详解】解：(I)在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为(n) X所有的可能取值为1,2,3,所以X的分布列为ki23i5315 3I所以"的数学期望为EX - 1 - -42二. 555(出)在随机抽取的 100名顾客中，使用自由购的共有 3+1：* 17 46 4 44 娟人,所以该超市当天至少

20、应准备环保购物袋的个数估计为44 5000 - 2200.1001【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合.17 .如图，边长为 "的正方形ABCL和高为I的等腰梯形BDEI所在的平面互相垂直，EFII BD, EF - -BD, |AC与UD交于点。，点H|为线段OF上任意一点.(I)求证：01平面0民(n )求卜在与平面AI无所成角的正弦值;(出)是否存在点1使平面BCH与平面ADE垂直，若存在，求出,的值，若不存在，说明理OF由.【答案】（I）详见解析（n）【解析】15（出）存在，且此时1'>1-OF的值为【分析】(I )证明

21、EF / BD, OF / ED,推出 OF / 平面 ADE ;（n）取EF中点M,连结MO,得到 MOXBD,证明MO，平面ABCD ,建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面ADE的法向量利用空间向量的数量积求解直线BF与平面ADE所成角;（出）设品.随），求出平面BCH的法向量，通过平面BCH与平面ADE垂直，贝二, 转化求解即可.【详解】证明：（I）因为正方形|abcd|中，AC与川D交于点0, 所以因为EFII BD所以"II DO且 EF-DO所以EFOD为平行四边形.所以又因为OFC平面ADE, ED匚平面.XDB,所以OF II平面AI光.解：（n）取EF中点M，连结

22、卜10,因为梯形Bdef为等腰梯形，所以 moibd|.又因为平面 ABCD，平面BDUF,卜10仁平面Bdef,平面.BCD平面 B DEF BD,所以VI0,平面ABCD|.又因为，所以OA, OB. Oh：两两垂直.如图，建立空间直角坐标系|o.xyz|,则 :1 _ 1E。F . 1) . F。-，】)， 22忖二(0,-(),说-(11©,血=似；)，drda设平面ADI.的法向量为 =(x、y 7 1，DA R = 0DE n-0x + y -01-y + 2 = 0n-(l, -1,-)设直线Bf与平面ADE所成角为,sinfi = cos = BF,n > |

23、=BF nBFI - |n|J1o4a2243 ii s*1IS所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为 15(出)设而1-乂京,则Oil(1.1 制设平面BCH的法向量为m -(x.yz),1X + -怒14 Zz = 01X4 y - 0k-2|-T.痴人所以a-2平面|BCF与平面RDL垂直，则m，n =k-2由 I ： =- 0,得工一4X所以线段OF上存在点忖使平面BCH与平面ADE垂直,的值为.lor g【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力.18 .已知函数Rx) - 0疝/.(I)若曲线y

24、 在 处的切线方程为K- 2y 4 I 0,求的值；(n)求函数以在区间h川上的极值.【答案】(I) 0 (n)详见解析【解析】【分析】(I)求出ftx产业.疝双的导数，求出切线方程，然后求解 a即可.(n)求出P(x>-= - - = ,通过当2aw1,即1K，时，当2a>2,当1v2a<2,判断导函数的符号，函数的单调性，然后求解函数的极值.【详解】解：(I)因为&7bz1 A所以壮尸一一所以一-乩£因为卜 在x 处的切线方程为x-2y - 0.所以-a -",解得 (n)因为 f(x) - alnx,ui、，, I a v's - 2

25、a所以 i (x) - -t- 一 ,2x x 2x当2a三：，即心：时，“在工刀恒成立，所以卜在I刈单调递增；所以卜在1*4无极值；当力之，即3三1时，&) “在工刀恒成立，所以卜在I刈单调递减，所以卜在I刈无极值；当】口”2,即一<a<l时，)变化如下表:kL 、-0+单调递减极小值单调递增/因此，口凶的减区间为，增区间为(4/4卜所以当卜4：时，氏上)有极小值为%一%3>1),无极大值.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力.U V*19.已知椭圆C:'- - = 1包b . Ui的离心率为左顶点为|A(

26、-二，过椭圆C的右焦点F作互 a b-工相垂直的两条直线】1二分别交直线l.x4于E.N两点，.M交椭圆C于另一点P.(I )求椭圆C的方程；(n)求证：直线孙|恒过定点，并求出定点坐标.【答案】(I)二十匚=(n)直线西恒过定点2H4 3【解析】【分析】(I)先得出a=2,再由离心率计算出 c的值，再由a、b、c的关系求出b的值，即可得出椭圆C的方程；(n)设直线li的方程为y=k (x-1),可得出直线12的方程为将这两条直线分别于直线1的方程联立，可得出点 M、N的坐标，然后写出直线 AM的方程，将直线 AM 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求出点 P的坐标，再写出直线 PN的方程，通

27、过直线PN的方程找出直线 PN所过的定点. 【详解】解：(I)由题意卜， 离心率C- 所以.a 2所以所以椭圆c的方程为匚匚 43(n)由题意，设ry k(x= 1), 11y -1) .令X心 得卜1(4.3。，N(4,-：，又，二。，所以直线1的方程为¥=兴优4 2).k 7由T,消元，得。4k" 4 2小婷 1 4ya- 12即P十 后 14kL I?。，2. 2设式如yj,则.？飞 土"一，所以 ”.6-2 .3 + 1?3 + C6 - 2k2 6k 所以风.，3 +1? 3 + k?又N工-F，所以直线PN的斜率为6k 32 " - /2r?

28、十£(於十郑+103k网 , 、云，6-2k-k(-6-6k") 既 431 k3所以直线pk的方程为y -(-)-京K. 4,k 2k即y = 一永力 直线PN恒过定点小.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.20.设有限数列八:为力一用n(i】E N,定义集合7-3户叫1三入为数列A的伴随集合.(I)已知有限数列P： 1,0,1二和数列QL3,9：7,.分别写出口和的

29、伴随集合；(n)已知有限等比数列 人23.EknWN'),求.X的伴随集合M中各元素之和S;Sh 7(出)已知有限等差数列 也的藐，判断吟，是否能同时属于科的伴随集合M，并说 明理由.【答案】(I)数列p的伴随集合为卜.工3：,数列a的伴随集合为 £4.电 1 1盘30,36)|； (n) s = (n -l)(2n+'-2)不能【解析】【分析】(I)由数列A的伴随集合定义可得 P, Q的伴随集合；(n )先证明对任意iw k或j w 1,则ai+axak+ai (1 w i vj w n, 1w kv lw n),可得求集合 M 中各元素之和时，每个 ai (iwiwn)均出现n-1次，由等比数列的求和公式，计算可得所 求和；50 7(出)假设0.同时属于数列 A的伴随集合M.设数列A的公差为d (dw。)，运用等 3 100差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断.【详解】解：(I)数列p的伴随集合为数列Q的伴随集合为(4,1O,12J8,3O,%)|.(n )先证明对任意i辛k或j丰I,贝/j卜 ¥心 a