椭圆-高考文科数学专题练习

1、课时作业知能提升一、填空题1.设P是椭圆器十为=1上的点.若Fi、F2是椭圆的两个焦点,则|PFi|+|PF2| 25 16解析：由题意知 a=5,|PFi|十|PF2|=2a=10.答案：102,已知椭圆C的短轴长为6,离心率为4,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端5点的距离为.12b=6,c 4一解析：由题息可知且a>0, b>0, c>0, a2 Ia = b + c ,解得 a = 5, b=3, c=4.:椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 a+c=9或a c= 54=1.答案：1或93. m>n>0”是“方程mx2+ny2= 1表示焦点在y轴上的椭圆”

2、的 条件.22解析：把椭圆方程化成,+1=1.若m>n>0,则了m>0.所以椭圆白焦点在y轴上.反m n之，若椭圆的焦点在y轴上，则1>m>0即有m>n>0.故为充要条件.答案：充要4.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为1,且它的长轴长等于圆 C: x2 + y22x 15=0的半径，则椭圆的标准方程是 .解析：由 x2 + y2 2x 15= 0,知 r=4=2a? a=2.又 e= C=± c= 1,则 b2=a2 c2=3.a 222-x y答案：7+q=1435 .若椭圆上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为2： 1,则此椭圆离心

3、率的取值范围是.解析：设P到两个焦点的距离分别为2k, k,根据椭圆定义可知：3k= 2a,又结 合椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c,即k<2c,2a0 6c,即 e方 ,. 3答案：1, 1) 3 226 .已知Fi, F2分别是椭圆/卜1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，则 1PFPFPF2的取值范围是.解析：显然当PFi=PF2时，|牛开"2|= 0.由椭圆定义得PF2 = 4j2PFi,从而 |PFi-PF2| |2PFi-4V2l 14V2 , 而、历 匚”行" 犷472PFi= PFi = |pF2 .而 2V2-2<P

4、Fi<2A/2+25所以 2啦+2普V24232，故 |普一2 <2+2啦.综上所述，PFPFPF2% 0,2/2 + 2. 答案：0,242 + 2,， ，i7 .已知椭圆的中心在原点，焦点在 y轴上，若其离心率为万，焦距为8,则该椭圆的方程是.解析：由题意知，2 c= 8, c= 4,C 4 1 a a 2'a= 8,从而 b2=a2 c2=48,22方程是y +猿=i. 64 4822答案：64+48=i心x2 y2以一 一口上必人公一一 一山8,已知P是椭圆工+；=1上的动点，Fi, F2是椭圆的两个焦点，则PFi PF2的取值范围为:解析：解法一 (利用三角代换)

5、设椭圆上任意一点为P(xo, yo),所以xo = 2$cos 0,22. e(其中°为参数)，椭圆的左、右焦点分别为«2叵。),F2（2J2, 0）,所以 PF1 = （-2*y2 x。， yo）, PF2 （2j2 xo, yo）.所以PF1 PF2 = x2 + y0 8=12coJ 时4sin2 9-8 = 8coJ 9-4 -4,4.解法二（转换成二次函数）设椭圆上任意一点为P（xo, yo）,椭圆的左、右焦点分别为 Fi（ 2也，0）, F2（2也,0）,所以 PFi = （ 242xo, -yo）,PF2=（2/2xo, - yo）.所以PFi PF2=X0

6、+ y28,该式表示椭圆上任意一点到原点的距离的平方与 8的 差.因为椭圆上任意一点到原点的距离最小值为短半轴b=2,距离最大值为长半轴 a = 273.所以 x2 + y2 4,12,所以PFi PF2=x0 + y28C 4,4.答案： 4,49 .以等腰直角 ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为解析：当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b= c,此时可求得离心率e= Cc.;同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为 m,故有2c=m2a=(1 + /2)m,所以，离心率eC 2c m一a-2a(1+ 亚 m一手或啦1V2-i.解答题1

7、0 .已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2,o),且长轴长与短轴长的比是2 :国求椭圆C的方程；设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m的取值范围.22解析：(1)设椭圆C的方程为合+1:1(a>b>0).，a2= b2+ c2,由题意，得 a ： b=2 ： ,3, c= 2.解得 a2=16, b2=12.222216+y2= 1,故一4&x&4.1 221 .、2=4x -2mx+ m + 12=4(x 4m)所以椭圆c的方程为靠+12=1.(2)设P(x, y)为椭圆上的动点，由于椭

8、圆方程为因为MP=(x m, y),所以 |MP|2=(x m)2+y2 = (x m)2+ 12 (1 x6) + 123m2.因为当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点, 即当x=4时，|IMP|2取得最小值.而x -4,4, 故有4m>4,解得m> 1.又点M在椭圆的长轴上，所以一4<mi<4.故实数m的取值范围是1,4.11.已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形.若直线l与y轴交于点P(0, m),与椭圆C交于不同的两点 A、B,且AP=3PB.(1)求椭圆C的方程;求实数m的取值范围.解析：(1)依题意

9、a=1, b = c,.b2 = 2,;所求椭圆C的方程为2x2 + y2=1.(2)设直线 l: y= kx+ m,消去 y得(k2+2)x2+2kmx+ m21 = 0, A= 4k2m24(k2 + 2)(m21)=4(2m2 k22)>0, .2m2 k22<0,rt 八二1 、,x-rx1 + 3x2 - AP= 3PB,设 A(x1，y。，B(x2, y2),则=0,1 3xi = - 3x2,又, xi + x2 =2kmm2 1k2+2，xix2= . + 2.2kml2x2=k2Ti，消去 x1 得2_1,I3x2=-%消去 x2得 3k2m2= (k，2)(1

10、m2),_ 22 2-2m2；k=4m._ 2c 2 c 2 2m2 “ 2m2 4mT1 <0?(m2-1)(4m2-1)<0,mC (-1, -2)U(2, 1).12.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率3为为3,点A, B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB的距离为655(如图所示).(1)求椭圆C的标准方程;已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足 EPXEQ,求EPQP 的取值范围.解析：(1)由离心率e=c=*，得:=巾-e2 =彳a 2 a2. .a=2b.原点O到直线AB的距离为笠, ab 6 5AA.-2 2= 5 . a + b 5代入，得b2 = 9.；a2=36.则椭圆C的标准方程为轰+ '=1.36 9(2)VEP±EQ,.EPEQ = 0.EP QP= EP (