浅析系统函数对离散LTI系统特的分析

1、浅析系统函数对离散LTI系统特性的分析空一行傅绪超，物理与电子信息学院空一行摘 要：在离散系统中，变换域的主要分析方法就是 z变化分析法。利用z变换可以分析信号与系统的各种特性， 包括系统的因果性和稳定性，利用系统的零 极点分布分析系统的频率特性，最小相位系统以及全通系统。但是用人工计算的 方法实现高阶离散LTI系统的特性分析是十分困难的，计算量非常大，难以实现。本文主要利用MATLAB分析信号与系统的几种特性及其如何实现仿真等。关键词：系统函数；Z变化；MATLAB；空一行Analyses system function characteristics of discrete-time LT

2、Isystems analysis空一行Fu Xuchao, Physics and Electronic Information College空一行Abstract: In a discrete system, the main analysis method of transform domain is Z change analysis. Z transformation can be used to analyze various characteristics of signals and systems, including causality and stability of

3、the system, using the frequency characteristic of the system analysis of the zero pole distribution system, the minimum phase system and all-pass system. But the use of manual calculation method to achieve high order discrete characteristic analysis of LTI system is very difficult, very large amount

4、 of calculation and difficult to achieve. In this paper, using MATLAB simulation software analysis several characteristics and how to realize the simulation of signal and system, etc.Key words: System functions ； Z transformation ； MATLAB;。引言信号与系统的分析在通信与信息系统、信号处理、自动控制和检测技术等领域都有着十分重要的作用。信号与系统的分析一般先抽象

5、为数学模型， 然后讨 论系统本身的初始状态和稳定程度.随着科学技术的发展，对通信系统的要求越但是系统函数却不会受到来越高， 越来越精密，通信信号的形式也越来越复杂。这些以因素变化的影响，它反应的是系统特定的特性。本文介绍了系统函数对信号和系统的分析应用，系统函数通常用于单输入，单输出的模拟电路的分析，其通过系统的输入量和输出量之间的关系来描述系统固有的特性，这就是系统函数的基本思想。当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清楚它的内部结构时，对系统的输入、输出量进行动态观测以建立系统的数学模型。本文主要利用Z变换和 MATLAB 仿真软件分析信号与系统的各种特性，包括系统的因果性和稳定性， 利

6、用系统函数的零极点分布分析系统的频率特性，最小相位系统以及全通系统的特点等。为了分析系统函数对离散LTI 系统的特性分析，由于高阶离散LTI 分析人工的计算量太大，必须借助计算机软件MATLAB 来实现仿真和分析。而且离散时间信号的高精度、可靠性好、便于集成等优点在很多领域得以运用，通过系统函数和计算机软件仿真分析系统特性成了掌握离散LTI 信号系统的重要基本的内容。本文主要讨论和求解系统函数对离散LTI 信号响应的几种方法以及用MATLAB软件的实现。MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、 可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据

7、可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。1系统函数和离散系统1.1 系统函数的定义离散信号与系统中，变换域的分析方法有Z变化法和傅里叶变化法。利用Z变换可以分析信号与系统的复频域特性，而和傅里叶变化法可以分析系统的频域特性。我们知道，用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时y(n)=x(n)*h(n)两边取Z变换:H(z)=Y(z)/X(z

8、),定义为系统函数。它是单位脉冲响应 的Z变换。单位圆上的系统函数z=ejw就是系统的频率响应。所以可以用单位脉 冲响应的Z变换来描述线性时不变离散系统。因h(n)与H(z)是Z的变换对，H(z)称为离散系统的系统函数.系统函数H(z) 还可以用差分方程来定义，离散系统的数学模型一般为1：y(n) a1y n -1aN y(n - N) =box(n) bix(n -1) . bM x(n - M )对上式两边进行Z变换，在零状态情况下，有1：Y(z) 1 a1zJ . - aNz" =X(z)(b0 b1z， . bMiz' )(1-1)Y(z)bobz， . bMz-MX

9、(z)比较上面两式可得2H(z)=Y(z)1JNX(z) 1 azaNzM【(1-空)=K、11 (1 - Pjz ) j 1(1-2)上式说明离散系统的系统函数H(z)等于零状态响应的输出信号的系统函数Y(z)与激励信号的系统函数函数 X(z)之比值.其分子与分母都是z的多项式，故可以分解成因式.式中K为常数，4是H(z)的零点，而Pj是H(z)的极点。他们取 决于差分方程的系数。与拉氏变换类似，H(z)的极点决定了 h(n)的性质，而零点只影响h(n)的幅值和相位。1.2 系统函数的零极点定义：极点(Pole)是传输函数分母为 0时z的取值；零点(Zero)是传输函数分子为0时z的取值。传

10、输函数H(z)的一般表示为分子多项式除以分母多(1-3)项式的有理函数3H(z)二辿二 bob1z：bM<X(z)aoaz， . aNz-N负指数使得求零极点很困难，因此把H(z)表示成分子分母的指数都为正，从 数学角度看，这样并没有改变传输函数。但这并不意味着计算零极点一定要表示(1-4)成正指数，只是这样使得求根过程更加直接。分子分母因式分解，得M口 (1-zz)H(z)二 K刀"(1-Pjz") j 1此处K为系统的增益，z是系统的零点，Pj是系统的极点。因此，H(z)函数 可在Z域中用零极点图的形式来描述。这个事实在设计简单的滤波器时很重要， 只要正确地配置零

11、极点就可达到目的。零极点中，极点对数字滤波器的特性影响最大，零点可以用来调整极点所引起的滤波器特性，调整的大小取决于它与极点 的相对位置。分别对负指数的有理函数H(z)的分子分母多项式使用MATLAB的 roots函数，就可求得其零极点。(前面讨论roots的逆向函数poly,用它可通过 其根求得多项式的系数。)也可利用DSP Toolsbox中的zplane(b,a)函数，由给 定的分子行向量b和分母行向量a绘制出系统的零极点图，同前面一样，用符 号" o表'示零点X”表示极点，图中还给出用作参考的单位圆。1.3 离散系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多

12、种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。如果离散系统中乘法器的系 数不随时间变化，这种系统便称为时不变离散系统。线性时不变系统：既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为h(n),即4h(n尸T 6(n)(1-5)任一输入序列x(n)的相应y(n)=Tx(n)=T 6(n-k)；由于系统是线性的，所以上式可以写成y(n尸T、(n-k)又由于系统是时不变的，即有 T 6(n-k)=h(n_k) ,从而得(1-6)(1-7)y(n尸h(n-k)=x(n) * h(n)，图1.1离散LTI系统的线性2系统函

13、数对离散系统稳定性和因果性的分析2.1稳定性系统的稳定性是系统实现其功能的前提。因此，对系统进行稳定性判断就显 得十分必要，根据连续时间和离散时间LTI系统的h(t刑h(n )来判定LTI系统是 否稳定的条件分别为5:O00°h(t)|dt笛和£内卜】|笛1)-=)0它和连续离散时间傅里叶变换的狄礼赫利条件 1是等价的，故对连续时间和 离散时间LTI系统，根据其频率响应H侬利H(C )来判定稳定系统的条件是具有 有界的幅频响应，即3：|H(® )|<=o,-°o <o Eg或 | H(C )|<°° ,-°

14、° <Q <°°(2-2)按此条件，若频率响应中成分包含了冲激成分，例如，积分器和累加器的 频率响应，系统就不稳定。另外，微分器的频率响应H侬)=jG也不满足上式，故它也不稳定；而离散时间差分器的幅频响应为| H (C )|= 2sin(C /2)，它满足上式，所以是稳定的LTI系统。根据拉普拉斯变换与傅里叶变换和Z变换之间的关系，在复频域上，LTI系统是否稳定的依据分别为：若一个连续时间和离散时间LTI系统的系统函数H(s)和H(z)的收敛域分别包含S平面的虚轴好(包括无穷远点)和Z平面的单位圆，则该LTI系统是稳定的，否则就是不稳定。2.2 因果性

15、在时域中，因果的连续时间和离散时间 LTI系统，其单位冲激响应满足： h(t)=0,t <0和 hn=0,n <0(2-3)根据拉普拉斯变换和Z变换的性质，连续时间和离散时间因果 LTI系统函 数收敛域分别是：S平面上某条平行于虚轴的直线右侧的半个有限S平面(可能不包括无穷远点)，和 Z平面上某个圆周外部的圆外区域，包括无穷远点，即 表示为2：Rh =(Re§ 2),可能包括无穷远点和Rh =(r。<| z悍9),r0之0。对于因果时间函数和因果序列，它们傅里叶变换的实部和虚部分别满足各自 的希尔伯特变换关系。故在频域切和。上，因果性没有简单和直观的反映，但鉴 于傅

16、里叶变换和双边拉普拉斯变换或 Z变换之间的关系，总可以有 LTI系统的 频率响应转换到复频域中，按照系统函数收敛域特性，判别 LTI系统是否因果。综合稳定性和因果性两方面的判据，连续时间和离散时间LTI系统既是因果 又是稳定的系统条件为：系统的所有极点必须位于虚轴左边半个有限 S平面上和 Z平面的单位圆内部。换句话说，在虚轴及其右侧半个S平面上(包括无穷远点) 和Z平面单位圆及其外部直至无穷远点处，没有系统函数的一个极点。2.3 通过系统函数零极点分析系统的因果稳定性由前面的分析，可得若系统因果稳定，则 H(z炳极点都在单位圆的内部。 换言之，一个因果稳定系统的系统函数 H(z)必须在从单位圆

17、到空的整个z域内 收敛，即3：1 |z|<°0(2-4)也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。设系统由下面的差分方程描述：y n 尸 y n _1y n -2x n -1 y(n)-1.1)求系统的系统函数H(z剂零极点；2)限定系统是稳定的，写出H(z胎收敛域，并求出其单位脉冲响应 h(n)解：丫6)=丫(口-1)+丫(口-2"乂8-1)将上式进行z变换，得到Y z)=Y zz,Y zz X z zJ由H(z上一zn求得零点4=01 - z - z z - z - 1极点：令 z2 -z-1=0,求出极点 z1 = 1"5,z2 =1 r 522由于限

18、定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域4,即lz卜"卜：立2|F z = H zznnzz 乙 z - z2n 0, c内只有极点z1 ,只需求乙点的留数,h n = Re s F z ,z1n<0, c内只有两个极点，乙和z=0,因为z=0是一个n阶极点，改成求国外极点留数，园外极点只有一个z2,那么:f 厂、nh(n )=-ResF(z )z2 =一二 -<5 1 2 )最后得到h- 15NnTnu - n -1由此可知此系统是不稳定的以下为利用MATLAB计算H(z柏勺零极点，并分析系统的稳定性。已知离散123因果系统的系统函数为:用MATLAB绘制其z_

19、 2z_ z_H I.z =1-231 -0.5z,-0.005z 0.3z-3零极点图。解：已知H(z),若要获得系统的零极点，可直接应用zplane函数，下面给出MATLAB 程序：b=0 1 2 1;a=1 -0.5 -0.005 0.3;figure(1)zplane(b,a);%画零极点分布和单位圆hold on h=impz(b,a); %求单位序列响应h(n) figure(2) stem(h);%画单位序列响应图186 o O4 2 0 2 4 6 - - -8 S-1,TTaH UEa«poa E_图2.1系统的零极点分布图由图2.1可以看出，系统的极点全部分布在单

20、位圆内，故而该系统是因果稳定的。3利用系统函数零极点图分析系统的频率响应3.1理论分析线性时不变离散系统用差分方程表示，考虑N阶差分方程5:ak y n - i 八 bx n - i(3-1)k =0r =0不考虑瞬态响应(初始状态)，两边取 z变换，：NMZ akZ“Y(z)=£ b.zX(z),于是 H(z)= k =0r =0YzX z“bzr =0-Nk =0上式也可以因式分解的形式来表示MI 1 1 - czH z =A口 (1 -dkz ) kT(3-2)式中G、di是H(z而z平面上的零点和极点除了 A为比例常数，整个系统函数可由它的全部零极点来唯一确定用零极点来表示系

21、统的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的集合方法。一个N阶的系统函数可用它的零极点表示为6:MM1、I 1 (1 -crz )11 (z-Cr)H (z )= A平- A) 卡(3-3)”(1 -dkz4)i【(z-dk)k =1k W若H(z庖含的ROC包含单位圆，则系统的频率响应为4:MII (ej ，-Cr)HQbAOM (3-4)i【(ej ,-dk) k=1在z平面上，eje°-Ci可用一根由零点Cr指向单位圆上e烟点的向量Cr来表示，而e®-dkq用极点dk指向单位圆上ej®的向量dk表示。M11 ej -CrH ej-= Ae，(M -)11

22、ej -dk k 1M ii cr_ Ae-(M -N) T_ AeN TII dk k 1二 Ae.(M aM T口 |cr |ej：Tr 1N,"T j kll |dk|e k I(3-5)令H ej ' =|H ej |ej ：'MIT Icr |ej?r(3-6)H ej'-i- Ae (M_N)-rN17j '.-kI 1 1dk |ek 1e心-dk =d； =|d；|ejR极点指向单位圆的矢量;ej6_cr=c；胃国立零点指向单位圆的矢量;当切从0T 2n(小逆时针方向旋转一周)时，H(ej*的幅值和相位也随之变化一个周期，从可得结论7:

23、m口 |cr |H(ej°)HA| N(3-7)口 |dk |k 1上式(3-7)称为系统的幅频特性，是周期函数、偶函数。MN中)=£ % £ Bk (M N)b(3-8)r -0k -0式(3-8)称为系统的相频特性，是周期函数，奇函数。上式表明，频响的模函数由从各零极点指向e侬点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则是由这些向量的幅角来确定的，当频率 仍由0t 2n时，这些向量的终点沿单位圆逆时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频率响应。故而利用系统函数零极点图，用矢量作图法可以分析系统的频率响应。3.2零极点分布布对振幅特性和相位特性的影响1）零极点对振幅

24、特性的影响根据上述式（3-7）可知，当单位圆上的 d a点在极点dk附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点dk 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐。当dk 处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现0°,这相当于在该频率处出现无耗（Qr°）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。对于零点位置，频响将正好相反.eja点越接近某零点Cr ,频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零；零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定

25、性约束。2）零极点对相位特性的影响根据上述式（ 3-8） ， 其相位特性的几何意义为：单位圆上任一B 点处系统的幅角等于零点到该点的矢量幅角和减去极点到该点的矢量幅角和，再减去原点到该点的矢量福角的（M-N）倍。当从=吸换到=2加寸，分析零极点分布对式（3-8）中相位变化的影响。若零极点在单位园内，则单个零极点导致的矢量相位变化量为2彳若零极点在单位国外，则单个零极点导致的矢量相位变化量为00假设零点总个数M=mi+mo,其中mi表示为在单位圆内的零点，m0表示在单位圆外的零点；极点总个数N=pi+po,中Pi表示为在单位圆内的极点，P0表示在单位圆外的极点。则相位的总的变换量为：口巾=2Mm

26、i R）2n（M -N）;若系统稳定，贝 Z = R ；止匕时4=2nmj 2nM =2nm0;可见，对于因果稳定系统，若零极点都在单位圆内，此时 4=0,对于这样 的系统称为最小相位系统。4系统函数对最小相位系统的分析4.1 最小相位系统的定义根据式（3-8）可知，相位的几何意义为：单位圆上任一 B点处系统的幅角等于零点到该点的矢量幅角和减去极点到该点的矢量幅角和，再减去原点到该点的矢量福角的（M-N）倍。对于一个系统，若当数字频率从30至IJ32冗 变化时，若相位的变化量为0,则该系统称为最小相位系统。4.2 最小相位系统的性质最小相位系统的具有以下的几条性质 网：1）实的因果稳定最小相位

27、系统的逆系统也是一个实的最小相位系统。2）连续时间和离散时间最小相位系统的对数幅频响应与相频响应之间，分别满足连续希尔伯特变换和连续周期希尔伯特变换。3）任何非最小相移函数都可以表示为一个同阶最小相移函数和一个全通函数的 乘积.换言之，任何非最小相移系统等效为一个同阶最小相移系统和一个全通 系统的级联。4）与同阶的非最小相移系统相比，最小相移系统具有相移系统最小的系统延时。顺便指出，尽管上述最小相移函数是针对实的因果稳定有理系统函数讨论的，但对于连续时间和离散时间也是成立的。如果一个连续时间和离散时间因果稳定信号的有理像函数满足最小相移条件，也可以称为最小相移函数，其反变换则称为最小相移信号和

28、序列。与连续时间最小相移系统相比，离散时间最小相移系统还有一个重要的不同点，即不仅在实因果稳定IIR系统中由最小相移系统，在实因果稳定FIR系统中，也存在着最小相移系统，称为最小相移FIR系统。这种最小相移函数可以写为910:MHmin（Z） = H0n （14Z）,|Zi 卜1（4-1）i 1它的零点都在单位圆里面，z=0为M阶极点，也在单位圆的内部，而在单位圆上及其外部无任何零点和极点.它显然是最小相移函数。5 系统对全通系统的分析5.1 全通系统的定义全通系统定义为具有频率响应幅值等于1 的系统,即 :|H（ejw）|=1（ 5-1）这表明一个全通系统输入信号的离散时间Fourier 变

29、换的幅值通过离散时间全通系统后其变换的幅值是一样的,改变的仅是相位而已。5.2 全通系统的特点一个全通系统有如下特点：1）在模拟系统中，全通函数的极点位于S 做平面，零点位于右平面，且零点与极点对于轴互为镜像，如图 5.1 所示 。2）在离散系统中，全通滤波器的极点和零点的分布有以下特点：S 平面与Z 平面的映射关系：S 平面所有的极点都在左边，零点都在右边；Z 平面所有的极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，如图 5.2所示 .Pi ZiO"P2kHap(Z)= ZN z -N k =0akZN'、akZk=0-N一 二Z-kD(z4)D(z)(5-2)Z2图5.1模拟全通系

30、统的零极点分布图D(z')和D(z)系数皆为实数二 零极点共腕成对出现。Hap(Z)= Z"器?=零极点成倒数出现。D(z)一个N阶全通滤波器的分子、分母都有 N阶，系数顺序相反。则它的系统函数可以很快的写出如下所示:NNx -_N -kk二 akZaziH (Z)= k0 = z 小 k-= z- D(z )apr / j * D(z)(5-3)、akzx akz' 'k 0k=0_N_N：!1_N 2z . az' a2z,aN二ZNZN1Zn_222J LaNz. aNz- a_N 2z a?zaz 1判别全通系统的方法:(a)从H(z) = N

31、(z)/D(z)、N(z)和D(z)都有N阶,系数顺序是相同的。(b)从零极点看：零点与极点的模互为倒数，幅角相等。6结束语在现在的通信系统里，处处伴随着信号的转化和处理。随着科学技术的发展， 离散LTI系统的理论研究已经取得很多成果，迈上了一个新的台阶。经过对 LTI 离散系统理论知识的概述，通过运用MATLAB仿真软件，构建了典型的一些LTI 离散系统。用MATLAB辅助分析离散时间系统，具有编程简单、计算准确、绘 图方便、结果直观等特点，只要掌握了系统分析的概念原理和方法，繁杂的分析 计算及图形显示均可用 MATLAB实现。利用MATLAB的计算功能，不仅使大量 的手工计算得以简化，也使得系统分析更为简便和高效，利用MATLAB的绘图功 能,有利于分析结果的直观理解，也有利于深入掌握所学的内容。参考文献：1于德介，成琼，程军圣.基于复解析小波变化德瞬时频率分析方法J.振动与冲击，2004,23(1):108-111.2胡广书.数字信号处理一理论、算法与实现M.清华大学出版社，1996.3L.科恩.时一频分析：理论与应用M.西安交通大学出版社，1998.4Wonchul NHo.When is instantaneous frequency the average frequency at