中考数学压轴题专项汇编专题平行四边形的存在性

1、专题23平行四边形的存在性破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：(1) “三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A, B, C三点为顶点的平行四边形构造方法有：_x0001_ 作平行线：如图，连结 AR BC AC分别过点 A B, C作其对边的平行线, 三条直线的交点为 D, E, F.则四边形 ABCD ACBE ABFC匀为平行四边形.倍长中线：如图，延长边 AC AB BC上的中线，使延长部分与中线相等，得点D,E, F,连结DE EF, FD.则四边

2、形 ABCDACBE ABFC匀为平行四边形.(2) “两个定点、两个动点”的平行四边形存 .在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形.解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论.通常这类问题的解题策略有：(1)几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答.如图，若AB/ CD且AB= CD分别过点B, C作一组平行线 BE CF,分别过点 A D作一组平 行线AE DF则 AEBA DFC从而得到线段间的关系式解决问题.A(2)代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类

3、讨论 列方程，然后解方程并检验.如图.已知平行四边形ABO.连结AC BD交于点O.设顶点坐标为 A(xa,yQ.B (xb,yB),C (xc, yc), D (xd, yD) .利用中点坐标公式求未知点的坐标:Xa+ Xc _ Xb+ Xd 22yA + ycyB + Vd有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好.例题讲解例1如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = x2 + m奸n经过点A(3, 0), B (0, -3),P是直线AB上的一个动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点 M(1)分别求出直线 AB和这条抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点 P,使得以点P, M

4、 B, O为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)将点A, B的坐标代入抛物线的表达式，得 y = x2 2x+3.设直线AB的表达式 为丫=卜* +将点A, B的坐标代入，得 y = x3.(2)存在.因为PM/ OB所以当P阵OB寸，四边形即为平行四边形.根据题意设点P的坐标为(p, p 3),则点M的坐标为(p, p2-2p-3).所以(p- 3)- (p2- 2p- 3) = 3.解得p= 3±V21 ,故满足条件的点 P的横坐标为p= 3±"21 . 22例2 边长为2的正方形OABCE平面直角坐标系中白

5、位置如图所示，D是OA边的中点，连结CD点E在第一象限，且 DEL DC DE= DC以直线 AB为对称轴的抛物线过 C, E两点. (1)求抛物线的表达式；(2) M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M N,使得以点 M N, D,E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明 理由.10 / 8解 (1)如图1,过点E作EGLx轴于点G易证4OD冬GED(AAS,所以 GE = OD = 1OA= 1 . 2所以点E的坐标为(3, 1).而直线AB为抛物线的对称轴，直线 AB的表达式为x = 2,所以可设抛物线的表达式为 y=a (x2)

6、2+k,将C, E两点的坐标代入表达式，得2 , -k -K +a + 4 a1-3 2-3所以抛物线的表达式为 y 1x22 - 1x2 4x233 33(2)存在.1 2 4由题息可设点 M的坐标为(2, m|), N的坐标为 n, n - n 233以点M N, D, E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：当DE为平行四边形的边时,(i )如图 2,若 DE MN MD/ NE由平移的性质可得2 1n 3m 0 1 n2 4 n 2 133解得m 1.n 4.此时点M的坐标为(2, 1), N的坐标为(4, 2).(ii )如图 3,若 DE/ MN ME/ ND.n 1 2 3.由平

7、移的性质可得 1 2 4 n n 2 0 m 1.33解得m 3.n 0.此时点M的坐标为（2, 3）, N的坐标为（0, 2）.当DE为平行四边形的对角线时，如图 4.由平行四边形对角线互相平分性质可得1 3 2 n.1 2 40 1 m n n 2.33解得m132.此时点M的坐标为1 一一 22,1 , N的坐标为 2,-.33例3如图，抛物线2x bx c的顶点为D(1, 4),与y轴父于点C (0, 3),与x轴交于A, B两点（点（1）求抛物线的表达式；A在点B的左侧）.（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 I:F,使以

8、A, C, E, F为顶点的四F的坐标；若不存在，请说明理由.解 （1）将点C, D的坐标代入抛物线的表达式,得 y x2 2x 3.（2）存在.令 x2 2x 3 0,解得 x1 1,x23.所以点A的坐标为（一3, 0）, B的坐标为（1,由点F在抛物线上可设点 F的坐标为 m,m2 2m 3 .方法一：如图1、图2,当AC为平行四边形的边是,图1过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P.易证 PE阵 O（A.所以P曰A0= 3,从而点F的坐标为（2, 5）或（一4, 5）.如图3,当AC为平行四r边形的对角线时，过点F作FP± y轴于点P.令抛物线的对称轴交 x轴于点Q,易可

9、 PC自 Q以所以PF= AQ= 2,从而点F的坐标为（2, 3）,此,时点F与点C纵坐标相同，所以 点E在x轴上.方法二：如图图33,当AC EF为平行四边形的对角线时,xE m 3 0, 可得2yE m 2m 303 .又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m 2,则点F的坐标为（2, -3）.如图1,当AE CF为平行四边形的对角线时,可得XeVem+3, m2 2m 5.又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m= - 4,则点F的坐标为（2, -3）.如图2,当AF, CE为平行四边形的对角线时，x 3 m,可得 E 2 yE m 2m.又因为点E在抛物线的对称轴上，所以 m 2.则点F的坐标

10、为（2, 5）.综上可得，满足平行四边形的点 F的坐标为（2, 3） （4, 5） （2, 5） 进阶训练1 .如图，四边形 ABC虚直角才!形，AD/ BC ZrB= 90° , AD= 24cm, BO 28cm,点P从点A出发，沿AD以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，沿 CB以3cm/s的速度向 点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动.问：从运动开始，经过多 长时间，四边形 PQCD；为平行四边形？2 .如图，抛物线 y = ax2 +bx+ c 过 A (3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) 三点，抛物 线的顶点位P.(1)

11、 r求抛物线的表达式；(2)直线y=2x+ 3上是否存在点 M使得以A, P, C, M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，在矩形 OABg，OA= 5, AB= 4,点D为边AB上一点，将 BCD替直线C所叠， 使点B恰好落在OAa上的点E处，分别以OC OA所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐 标系.若点N在过O D. C三点的抛物线的对称轴上，点 M在抛物线上，问是否存在这样的 点M与点N,使彳#以M N, C, E为顶点的四边形是平行四边形 ？若存在.请求出 M点坐标; 若不存在，请说明理由.答案：存在满足条件的点M其坐标为(2,

12、16), (6, 16)或(2, 16).33提布:易证 DA历EOC从而点D的坐标为(-3-5),得到过点 O D, C的抛物线的 2解析式为y=&x2+3x-再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程， 33从而找到符合条件的点 M (参考例3的方法二)4 .如图，抛物线与 x轴交于点A (5, 0), B (3, 0),与y轴交于点C (0, 5).有一宽度 为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿 x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点 P, Q.交直线 AC于点M N.在矩形的平移过程中，当以点P, Q M N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标.答案：点 M的坐标为（2, 3）, （-2-76,3-<6）或（-2+76,3+6提示.由点A, B, C的坐标可得抛物线的表达式为y= -X2-X+5,直线AC的表达式为33 .一 ._de。de ey=x+5,设点 M的坐标