深圳大学线性代数试卷A

1、深圳大学线性代数试卷A一、选择(每题4 分，共 20 分)221. 设 A、 B 均为 n 阶矩阵，当()时，(A+B)(A-B)=A-B 不成立。(A) A=E(B) A,B 为任意矩阵(C) AB=BA(D) A=B11121n11121naa.akaka.ka2.设行列式D=a21a22a2nka21ka22ka2n ，则=() a1nan2.annka1nka2n.kannk(A) kD n(B) kD k(C) nD(D) kD3.线性方程组Ax=b,其中A为mKn阶矩阵，则()(A)当R(A)=m时，必有解(B) m=n 时，有唯一解(C) R(A) =n 时，必有解(D) R(A

2、) <n 时，有无穷多解4. 下面命题正确的是()(A)如矩阵AB=E则A可逆且A-1=B(B)如矩阵A, B均为n阶可逆矩阵，则A+B必可逆(C)如矩阵A, B均为n 阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆(D)如矩阵A, B均为n阶不可逆矩阵，则AB必 不可逆 5. 设向量组a、 b、 c 线性无关，向量组a、 b、 d 线性相关，则()(A) a 必可由 b， c， d 线性表示(B) b 必不可由a， c， d 线性表示(C) d 必可由a， b， c 线性表示(D) d 必不可由a， b， c 线性表示二、填空(每题4 分，共 20 分)ab0.00111. 设行列式D= 0ab.00

3、22,1,1000.abnnbn00.0anTTTT2. 已知，,1,2,3,3,2,1,1,2,4,则 3+2-5+4= ，,2,0,2124312431*,13.已知A, B均是3阶矩阵，且 ABAB,2=5,则=31 10123, , ,4.当 k=时，人=不可逆。456,32k 一-15.已知三阶矩阵A的特征值为-1,2,3 ,则(2A)的特征值为 三、计算(每题10分，共 30分；附加题10分) 1. 已知，,5,1,6 ，, ，, ，求该向量组的一个极大无关组，并把其他向量用,1,2,1,4,2,6，,3,0,44123该极大无关组线性表示。2 .已知矩阵 A=11,1221, ,

4、 , , , , B=,求夕!阵 X,使 AX=B02240,2,1,10066，3 . 求一个正交的相似变化矩阵，将矩阵A=22,2，, 化为对角矩阵。25,4,2,45，四、证明(每题10 分，共 30 分；附加题10 分) 1. 证明满足A2-1-3A-2E=0的n阶方阵A是可逆矩阵，并求出 A 2.设A为m<n矩阵，B为nXm矩阵，a)若m>n请问AB是否可逆，并证明之210b)若m<n且AB=E证明B的列向量线性无关。*3.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A,证明*a)若=0,则=0。AAn,1*b) = 。 AA.此港趣附地m灯)1，分1I lieu 4 1II J5|

5、= 61 卸工叫 1) L"8nl| Q Q l心)-卑 (b). 13 同 MId).财r j j i &(3j Ufc A *' L ff w IflM fk 4-2 闺2 -I."Q.旧 J0 *11(I. Iib)i-12 0 JL-i* fiJ|。小，也£耳|(cl.!MLL_ ujLil 0 J11 1 Ti Si S" £ih,03 防时J“外量 成:土M. E" f"r©. .4才工量(b)1 .Hjd性熊鼠建八 片.1愀%中黛|4 0rl.%EI叫能目忖土工.仁HMUtt尢?r q

6、 一 oU) |EBd = (ft,.wa&t”fmit与 4 I 3 才卜* f j_a o i tj罐|T(上 d. = -le 4 aBb. 4.詈 4 &ift3-10卜禺 *Q%+1u»kU竹质ft*系仪者1个网-，明而做矩阵d Mi %、*，理：.小尸0rf Hj (1»(*1,4函tcX 5 2j(处小 j分，其"伊)I,妣.L%“防比交炮用刎/rit tia - (1 T 2f. t«l*fa= <SI.怪才杆里儿E.,1 w。奇*-W附充分空物条件整'9.曲保州1口。IL2I 口1-1 1 "忡融

7、力,L三.十鼻"ISO分J2 1|t计F仃我丈d=i i 1 (»4)I L i”11 011 艮邺图工5 j I的电n口有T -Q Iv兼修里甄也LLL印山-岫乱乱尸何=1 -2.X4.S)r的 tlBAttflt VW. W翦JC.闲住下大依性尢大机改粗.戒(K)的in -JMj - 1M * * j *44 一小一找力邛堂，购“h*宿-21*-1的壮2叶)M47m. +fii1 - Ji( 7i(tJd.b1 ,rf. dl2,-L-B U,Uitil 2ft Iio四.近明区(共20分)L /期二外；-*田鹏工垦丁七，次上博例4-102 th里矩降' -13

8、 /转桩一与科述特加值的1时月一仆仆） L* '5 J（2 k U班下-串仆）附的也f找RiM1 -工 d -&L巴打一=之）h . *向餐h UHF的甲廿斡方上科，#，1，轲"。习 -2 "J ccU 金品不可厘的，39）- 2 * A 1C. - I &的.»,1 ft ） X 遇正文的.C3为J41 M修刈幅正定的仔一 I*林*可也 tf.t.2.上不聃£事/以I 1 为皆睥期货M的一及黑会0八打串，手¥点.用*"，国5'冷犷耳次寿程加4岁*山中*轩总的父li(A) K=1使AB=Q则（）a代数余

9、子式，则当I 事儿,“时）齿也.4丽可宣“中建有同珏在可前一出里？仙斤卜一、选择(每题4分，共20分)123, , 6.设矩阵A=, , Ax= 0,若有三阶非零矩阵B,213,13, 一(A),B=-1 ，且？0(B),B=-1 ，且=0(C) ,B=2 ,且？0(D) ,B=2 ,且=07.设A (i,j=1,2,3,4)是四阶行列式D ( D?。中元素()时，有 Aa+ Aa+ ijij121k222kAa+ Aa?0. 323k424k(B) K=2(C) K=35 10(D) K=48. 设 A、 B 为 n 阶可逆矩阵，下列()正确。-1-1(A) (2A)=2ATT(B) (2A

10、)=2A-1-1-1(C) (A+B)=A+BTT-1-1-1T(D) (A)=(A)9.设矩阵A、B均为n阶矩阵，AR则下列不正确的是()(A)若？0,则必有可逆矩阵P,使PB=E A(B)若AE,则B必可逆(C) 若 >0，则>0 AB(D)必有可逆矩阵P与Q使PAQ=B!Ja 10.设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()(A) E-A=E-B ,(B) A与B有相同的特征值和特征向量(C) 对任意常数t， tE-A 与 tE-B 相似(D) A与B都相似于一个对角矩阵二、填空(每题4 分，共 20 分)6. D=12,3 ，, 的代数余子式A= 21,20

11、1,3,1,2，TTT7. 已知，,1,4,3,2,t,1, 线性相关, 则 t= ，,2,3,112328.已知A是四阶方阵，A=6,则3A二003，1-19. 已知 A=, ，则 A= 130,2,250 ，1, , 00,210. A-1,BA=18A+BA ,其中 A=, M B= 1,003,1,00,4,三、计算（每题10 分，共 30 分；附加题10 分）6 10,x， x， x,3,123,x ， ,x ， x,24. 有方程组，讨论取值与方程组解的关系。 ,123,x， x， ,x,2123,5 .求矩阵 X,使 AX=B 其中，A=25123, , , , , , B=o2

12、2131,43343，6 . 求一个正交变换，把二次型f=2x222+3x+3x+4xx 化为标准型。12323四、证明（每题10 分，共30 分；附加题10 分）7 .已知A是n阶方阵，A?0,证明对任意的向量b, Ax= b必有解。8 .已知A为n阶方阵，满足（A-E）22-1=2（A+E）,证明A+E可逆，并求出（A+E）7 106. 已知 n 维向量非零且两两正交，证明线性无关。,.,.,123s123s一、选择题（15 分）1、设A,0且AB,0,是n阶方阵，则（）A, B222（A）（A,B）,A， B （B）（C）（D）B,0A,0 或 B,0BA,02、设线性方程组是的导出组，

13、若有非零解，则AX,OAX,bAX,OAX,b （A）必有无穷多解（B）必有非零解（C）必有唯一解（D）不能确定其解的情况3、设向量组， 线性相关，则, 应满足 ,1,1,2,1,2,1,1,1，123A）（B）（C）（ D）,2,2,2,212.14、 设,（A）是n阶可逆矩阵A属于特征值2的特征向量，则也是矩阵属于特征值（）的特征向量34311 （A）（B）（C）（D） 3424 5、当，（）时,齐次线性方程组,x， 3x,2x,0,123, 必有非零解4x, （ , ， 3） x， ,2x,0,123,2x， 3x，（,4 ） x,0,123（ A） ,1,1,1,1（ B）（ C）（

14、D）二、填空题（15 分）,1*1 、设是三阶方阵，且A,1 ，则3AA， 4AA, 。 A2、设, ， ,（1,2,3,4）,（0,1,2,3）,AX,br（A）,3,是四元线性方程组的三个解向量, 且， , 则 123123AX,b的通解的具体表达式可写成 .312,130，,3 、设 A,501B,421322（）AXBXI, ， , ，且满足，求。 X,412012 ，11，4、设，则与可交换的一般矩阵形式为A,A,10 ，5、已经某经济系统在一个生产周期内产品的生产与分配如下表8 10 部门间消耗 最 终 流量 1 2 3 总产品 产 品 部门 生产部门1 80 50 30 y 200 12 60 40 40 y170 23 70 80 35 y210 3三、计算行列式（12 分）xyyy？ y2,512yxyy ？ y,37,14 1 、 2、 D,yyxy ？ yD,n5,327 ？4,612yyyy？ x四、确定, 的值使方程组：,xxx ， ,21,123, 321xxx ， , 123,123, ，,341xxx,（ 1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解（12 分）五、求,（3,2,3,4）,（4,3,1,3）,（2,1,3,5）,（4,1,15,17），的一个极大无关组，并用此极大无1234 关组表示其余向量。（10分）9 10求解方程组（用基础解系表