河北省近五年中考数学压轴题综述

1、学习必备欢迎下载河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从 1996年至2001年的近五年来呈现出一个规 律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。一、单点运动型例1 (1999年河北省中考压轴题)如图1-1 ,正方形OABC勺顶点O在坐标原点，且OA力3425与AB边所在直线的解析式分别为：y=0x和丫=-3乂+了。口 E分别为边O3口 AB的中点，P为OA边上一动点(点P与点。不重合)，连结DE和CP其交点为 Q(1)求证：点Q为COP勺外心；(2)求正方形OABC勺边长；(3)当。Q与AB相外切时，求点P的坐标。解：(1) .

2、= E分别为正方形OAB价OC AB的中点，才4DE/ OA气3 '总.Q也是CP的中点。飞耳卜又; CP是RtzXCOP勺斜边，困L图片2点Q为COP勺外心。4上25由方程组P'W 不x = 4解得2 点A的坐标为(4 , 3)。过点A作AF，ox轴，垂足为点F。.OF=4 AF=3由勾股定理，得OA=±* =5。如图1-2,当COP勺外接圆。Q与AB相切时, .圆心Q在直线DE±,且DEL AB,.E为。Q与AB相切的切点。又; AE和APO别是。Q的切线与割线 .AU=AP AO5v OA=5 AE=5. .( )2=AP 5,5 .AP廿5 = 15

3、当。Q与AB相切时，OP=51 百作PHLox,垂足为H。v PH/ AF, OP _ OH _ PH. F ，P*OF .OH=OP* AFPH= ，9点P的坐标为（3, 1）二、双点互动型例2 （1997年河北省中考压轴题）已知：如图2-1，在直角梯形ABC时,AD/ BC / B=90° , AB=8厘米，AD=24E米，BC=26厘米，AB为。0的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以 1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P、Q分别 从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。求：（1）t分别为何值

4、时，四边形PQC3平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线 PQ与。0相切、相交、相离？归f工解：（1）AD/ BC（ 0） 只要QC=PD四边形PQCM平行四边形。此时，有3t=24-t ,图zt解，得t=6o即当t=6秒时，四边形PQCM平行四边形。同理，只要PQ=CDPAQC 四边形PQC为等腰梯形。过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点（如图2-2）,则由等腰梯形的性质可知:EF=PD QE=FC=21 .2= 3t（24-t）解得t=7；t=7秒时，四边形PQC师等腰梯形。F BAPDEJZ-2图 2-3 设运动t秒时，直线PQ与。0相切于点G（如图2-3）,过P作PHI

5、BC垂足为H。 贝U PH=AB BH=AP即 PH=8 HQ=26-3t-t=26-4t 。由切线长定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t由勾股定理，得pQ=pH+hQ, 即（26-2t） 2=82+（26-4t） 2 化简整理，得3t2-26t+16=0解，得 t 1= 2 , t 2=82即t= ?秒或t=8秒时，直线PQ与。0相切。%2.t=0（秒）时，PQ与。0相交；当t=7=83（秒）时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D 点，但也停止运动，此时 PQ也与。0相交。2.当t=4或t=8时，直线PQ与。0相切；22当0<t< 4或8<t083时，直线P

6、Q与。0相交；2当G <t <8时，直线PQ与。0相离。三、直线平移型例3 （2000年河北省中考压轴题）在如图3-1所示的直角坐标系中，点C在y轴的正半轴 上，四边形OABC；平行四边形，OA=2 /AOC=60 ,以OA为直径。P经过点C,点D在y轴 上，DM始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线，设DM与AB边的交点为MR M在线段AB 上，但与A、B两点不重合），点N是DMt BC的交点设OD=i（1）求点A和B的坐标；（2）设BMN勺外接圆。G的半径为R,请彳用t表示R及点G的坐标；（3）当。G与。P相切时，求直角梯形 OAMDJ面积。图3T图上 2解：（1）连结AG. O

7、A为OP的直径，./ ACO=90又. OA=2 /AOC=60, a OC=1 AC=7点A的坐标为（曲,1）又OAB平行四边形，: AB' OC点B的坐标为（右,2）（2） . DMLy 轴，且 AB/ OC . . DML AB丁. / NMB=90.OG的圆心G为BN的中点。£又/ B=/ AOC=60 ,. BM= BN=R而点B的纵坐标为2,点M的纵坐标二点D的纵坐标工，BM=2t ,. R=2-t过点G作GH/ y轴，交x轴于点H,交DMT点F;过点G作GK/ x轴，交AB于点K（如图 3-2)。 1 1根据垂径定理，得到：FM= MN KM= BM设点G的坐标

8、为(x, y) v NM(2-t)1 94.x=DM、N5-了 (2-t尸 t,1 1 1y=OD+ BM=t+2 (2-t)=1+ 9 t。 g 1.二点G的坐标为(丁 t , 1+入)。(3)连结GP过点P作PEE/ x轴，交GHT点E 由pn ge根据勾股定理得：GP=：e -当。G与。P外切时，PG=R+1=3-t o88解得t= 5,经检验t= $是原方程的根。83此时，OD=t3 , AM=1-MB=, DM=AC= 83.止匕时，OD=t3 , AM=1-MB=, DM=AC=,.直角梯形OAM的面积为：QD+AM lllx 昭益S= 2, DM= 2=1。四、点线共动型例4 (

9、2001年河北省中考压轴题)如图4-1 ,在菱形ABCm,AB=1Q / BAD=60。点M 从点A以每秒1个单位长的速度沿着 AD4向点D移动；设点M移动的时间为t秒(0&t &10)。D C D C图4T图灯2(1)点N为BC边上任意一点。在点M移动过程中，线段MN1否一定可以将菱形分割成面 积相等的两部分？并说明理由；(2)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 在什么时刻，梯形ABNM勺面积最大？并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a >2）个单位长的速度沿着射线 BC方向 （可以超越C点）

10、移动，过点M作MP/ AB,交BC于点P。当zMP阵zABC时，设 MPNf菱形 ABCDM叠部分白面积为S,求出用t表示S的关系式，并求出S=0时a的值。解：（1）MN一定能在某一时刻将菱形ABC盼割成面积相等的两部分。对于中心对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分。而且菱形 是中心对称图形（如图4-2所示）。在点M由A到D的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段MN±菱形的中心。（2）过B作Bn AD 垂足为E（如图4-3）。在 RtzXABE中，BE=10sin60° =5百. AM=t BN=2t,115由S 梯形 ABN=2 （t+2t） X5

11、 凤亍 t。V2t<10, /.t<5二当t=5时，S梯形ABN最大。15,行75一最大面积为：3 X5= 2 。 ABC是腰长为10的等腰三角形。当4AB四 ABC时（如图4-4）MP=10 PN=BC=10 且 MP=PN . NC=PNPC=BC-PC=PBBP=AM=t .PC=10t , NC=t过P作PGL DC垂足为G 立在 RtAPGOt, PG=PCsin60 二 三 （10-t）。 设 MNft DC于 F,. DC/ MP 且 MP=PN ./ NFCW NMP =MNP .FC=NC=i.重叠部分MPCF1梯形，. . S=1 （t+10） X 亍（10-t

12、尸- 彳 12+25出 皂当 S=0,即-4 12+25在=0 时，解得 3=10, t2=-10（舍去）. BN=at,且 BN=PN+PB=10+t at=10+t 。将 t=10 代入 at=10+t ,解得a=2。五、点圆齐动型例5 (1998年河北省中考压轴题)如图5-1所示，一11轮船以20浬/时的速度由西向东航 行，途中接到台风警报，台风中心正以 40浬/时的速度由南向北移动，距台风中心 20如,浬 的圆形区域(包括边界)都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点 A正南方向(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初 遇到台风的时间；

13、若不会，请说明理由；(2)现轮船自A处立即提高航速，向位于东偏北 30°方向，相距60浬的D港驶去。为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少(提高的船速取整数，E=3.6)?解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为 t小时，此时，轮船位于C处，台 风中心移到E处，连结CE(如图5-2)。WJ有 AC=20t, AE=AB-BE=100-40t EC=2酒。在 RtzXAEC中，AC+AE=EC,(20t) 2+(100-40t) 2=(20 M)2。整理，得t2-4t+3=0 . =(-4) 2-4x1X3=4> 0,途中会遇到台风。解，得 t1 = 1, t

14、2=3o 最初遇到台风的时间为1小时。(2)设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点。过D作DF,AB,垂足为F,连 结DM在 RtzXADF中，AD=6Q / FAD=60 , . DF=3/，FA=3Q又(30 白)2+(130-40t) 2=(20 加)2,整理，得 4t2-26t+39=013-12 +而解之，得 t1=&, t2=4。13-台风抵达D港的时间为-小时。1”而 的二.轮船从A处用 4 小时到D港的速度为60+4=25.5。因此，为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6浬/时。连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景，并非纯属巧合。大概主要原

15、因 是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维能力的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动 中求静的辨证统一思想，又成为体现数学中辩证法的很好素材。由此可见，无论从此类题目 的命题形式、还是考查意图上，把它放在最后一道压轴题的位置，都是恰如其分的。,BC=16, DC = 12, AD = 21o 动点 P 从动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒(05河北).如图12,在直角梯形 ABCD中，AD/BC, /C = 90° 点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动， 1个单位长的速度向点 B运动，点P, Q分别从点D, C同时出 发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运

16、动的时间 为t (秒)。(1)设 BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；(2)当t为何值时，以B, P, Q三点为顶点的三角形是等腰三 角形？(3)当线段PQ与线段AB相交于点 O,且2AO=OB时，求 / BQP的正切值；(4)是否存在时刻t,使得PQXBD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。(06河北).如图13,在RtABC中，/ C=90° , AC=12, BC= 16,动点P从点A出发沿 AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点 Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P, Q分别从点A, C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止

17、运动.在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是 PDQ.设运动时间为t (秒).(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;(2) t为何值时，四边形 PQBA是梯形？(3)是否存在时刻t,使得PD/AB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由;(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t,使得PDXAB?若存在，请估计t的值在3<t<4);括号中的哪个时间段内(0WtW1； 1vtw2; 2vtw3;若不存在，请简要说明理由.(07 河北).如图 16,在等腰梯形 ABCM, AD/ BC AB=D(=50,At=75 ,BG135.点P从点B出发沿折线

18、段 BAADDC以每秒5个单位长的速度向点 C匀速运动；点 Q从点C出发 沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动， 过点Q向上作射线QKL BC交折线段CDDAABT点E.点 P、Q同时开始运动，当点 P与点C重合时停止运动，点 Q也随之停止.设点 P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1)当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时 BQ的长；(2)当点P运动到AD上时，t为何值能使 PQ/ DC ?(3)设射线QK扫过才形ABCD勺面积为S,分别求出点E运动到CD DA上时，S与t的函数关系式；(不 必写出t的取值范围)(4) PQE!归否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若

19、不能，请说明理由.(08 河北).如图 15,在 RtzXABC 中，/C =90，, AB = 50, AC = 30, D, E, F 分别是 AC, AB, BC 的中点.点P从点D出发沿折线 DE -EF -FC -CD以每秒7个单位长的速度匀速运动； 点Q从点B出 发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动， 过点Q作射线QK 1 AB ,交折线BC -CA于点G .点P, Q同时出发，当点 P绕行一周回到点 D时停止运动，点Q也随之停止.设点 P, Q运动的时间是t秒 (t >0).(1) D, F两点间的距离是;(2)射线QK能否把四边形 CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出 t的值.若不能，说明理由；(3)当点P运动到折线EF - FC上，且点P又恰好落在射线 QK上时，求t的值；(4)连结PG ,当PG / AB时，请直接写出t的值.(09河北)如图16,在RtABC中，/ C=90°, AC = 3, AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长 的速度向点A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单 位长的速度向点 B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP