八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径，三棱锥与长方体的外接球相同)方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 a2 b2 c2,即2R J02b2c2 ,求出R例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A. 16 B . 20 C , 24 D . 32(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为翼,则其外接球的表面积是 (3)在正三棱锥中，分别是棱的中点，且 AM MN，若侧棱，则正三棱锥 S ABC外接球的表面积解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 ，证明如下：如图(

2、3) -1 ,取AB, BC的中点D, E ,连接AE,CD , AE,CD交于H ,连接SH ,则H是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC, SH AB, AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD , AB SC , 同理：BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3)-2, AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面SBC , SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互垂直， (2R)2 (2后)2 (2v13)2 (23)2

3、 36,即 4R2 36, 外接球的表面积是 36(4)在四面体中,SA 平面 ABC ,BAC 120 ,SAAC 2,AB 1,则该四面体的外接球的表面积为(A.11B.7C.10D.4033(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1 .题设：如图5, PA平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD ,则PD必过球心O ；

4、第二步：O1为 ABC的外4所以OO1 平面ABC,算出小圆O1的半径O1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得ab cc、 . 1 2 2r）, OO1 PA ；sin A sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）22R P PA2 （2r）2 ； R2 r2 OO12R .r2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 。的位置，取 ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第

5、二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理： OA2 OiA2 O1O2R2 (h R)2 r2方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A.B.C.D .以上都不对类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)，解出R.1 .题设：如图9-1 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)第一步：易知球心 。必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 二一sin B sin Cc 2R,求出Ro2 .如图9-

6、2 ,平面PACOC2 O1C2 O1O23 .如图9-3 ,平面PAC平面ABC ,且ABR2r2O1O2平面ABC ,且ABBC (即AC为小圆的直径)AC 2 R2 O1O2BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是ABC的外sin A心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤: 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理： OA2 01A2 O1O2R2 (h R)2 r2 ,解出R

7、4.如图9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且PA AC ,则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)22R JpA2)2 ; R2 r2 OO12Rr2 OO12例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1,底面边长为24与，则该球的表面积为 (2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 J2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(3)在三麴隹P ABC中，PA PB PC J3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外 接球的体积为()A.B.C. 4D.(4)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上

8、，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为( )A.B.D.类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)题设：如图10-1 ,图10-2 ,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心 。的位置，O1是 ABC的外比 则OO1 平面ABC；11 .第一步：算出小圆 O1的半径AO1 r , OO1 - AA1 h ( AA1 h也是圆枉的局)；22第三步：勾股定理：oa2 O1A2 O1O2R2 (-)2 r2 R Jr2 (-)2 ,解出 R2-2例4 (1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱

9、柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 9,底面周长为3,则这个球的体积为 8(2)直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 。(3)已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,则多面体E ABCD的外接球的表面积为。(4)在直三棱柱 ABC AB1cl中，AB 4, AC 6, A -,AA1 4则直三棱柱 ABC A1B1cl的外接球 3的表面积为。类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和 ABD的外心H1和

10、H2;第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接OE,OC ；第三步：解 OEH1 ,算出OH1 ,在Rt 0cHi中,2_22勾股定理：0H CH1 0C例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , 锥P ABC外接球的半径为 PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;求外接球半径(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD BC x, AB CD

11、 y, AC BD z,列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z22(2R) ab2补充:VaBCDabc-abc61 .4 abc3第三步：根据墙角模型,2R.a2b2 c2222x y zR J,求出R,8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 （1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个 截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A.B . C . D(3)在三棱锥A BCD中，若AB CD 2, AD BC 3, AC BD 4,则三

12、棱锥A BCD外接球的表面积为。(4)在三棱锥中，则该三棱锥外接球的表面积为 .(5)正四面体的各条棱长都为 ,则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设： APB ACB 90 ,求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O,连接OP,OC ,则 OA OB OC-1OP - AB2。为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出半径)例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, 则四面体ABCD的外接球的体积为(BC3,沿AC将矩形 )ABCD折成一个直二面角B AC D,12(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面

13、积为125. 9AB 2, BC125612533,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A BCD类型八、锥体的内切球问题1 .题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1 一第一步：求DH -BD , PO PH r, PD是侧面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式：-OE- 里，解出rDH PD2 .题设：如图15,四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1 一 一 一第二步：求FH BC, PO PH r, PF是侧

14、面 PCD的高; 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG EO,解出 HF PF3 .题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ,建立等式:Vp ABCVo ABCVo PABVo PACVo PBCVp abc1S ABC31 Spab31r Spac31rSpbc31(S ABC3S PABSpacS pbc ) r第三步:解出3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACSO PBC习题：1 .若三棱锥A. 3ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA 2,SB SC4,则该三棱锥的外接球半径为B. 6C. 36D. 94 .三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC ,底面ABC是边长为33的正三角形，SA 2v 3 ,则该三 棱锥的外接球体积等于.5 .正三棱锥S ABC中，底面ABC是