解三角形大题及答案

1、1. (2013 大纲)设MBC的内角 A,6,C 的对边分别为4,b,c,(4 + Z? + c)(。一/? + C)= 4C.(I)求 6J3-1(II)若 sin A sin C =，求 C.42 . ( 2013四川)在AABC中，角A,6,C的对边分别为a,b,c ,且A _ B32cos2 - cos B- sin(A - B)siii B + cos(A + C)=(I)求cos A的值；(口)若。=4应,6 = 5,求向量区4在就方向上的投影.3 . ( 2013山东)设 ABC的内角A,民C所对的边分别为a,b,c ,且a + c = 6,b = 2,cosB =-. 9(I

2、)求 a, C 的值；(n )求 Sin( A - 8)的值.4 . ( 2013湖北)在AABC中，角A , 6 , C对应的边分别是。，c .已知 cos2A-3cos(B + C)= 1.(I)求角A的大小；(II)若AABC的面积S = 56/=5,求sin BsinC的值.5. (2013新课标)5 A8C在内角A,5,C的对边分别为。也c,已知a = bcosC+csinB.(I)求 8;(口)若 =2,求4 A6c面积的最大值.6. (2013新课标 1)如图，在 ABC中/ ABC=9(T,AB=aG ,BC=LP为 ABC内一点/ BPC=90。1若 PB%,求 PA;(2)

3、若N APB=150。,求 tanZ PBA7. (2013 江西)ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,己知 cosC+(conA-©sinA)cosB=0. 求角B的大小;(2)若a+c=l,求b的取值范围33. (2013 大纲)设ZV16C 的内角 A,5,C 的对边分别为4,Z?,C,(4 + Z? + C)(4-Z? + C)= 4C.(I)求 8(II)若 sin A sin C =立U，求 C. 4【答案】11:( |)因为+ b + C储iii余弦定理得cos。.-荻y因此 B«120*.(|)A( l 知 A+C-60,所以co式 A

4、-C) cosAcosC a：n AsinC =cosAcoC sinAsinC+ 2sinAs】nC =cos(A + C)+ 2®inAsinC1 + 2X3=5故 因此2 , 八一C二 30或 A-C- 30*. (；0 15或(：-454. （2013年高考四川卷（理）在AA5C中，角4及C的对边分别为。也c ,且A _ 532cos2 - cos B- sin(A - B)siii B + cos(A + C)=(I)求cos A的值；(口)若。=4应/ = 5,求向量84在就方向上的投影.【答案】解:(1)由 2cos2cos8 sin(A 8)sin6 + cos(A

5、+ C)= 2,得 53cos(A-B) + lcosB-sin(A-B)sinB-cosB =，、，、3即 cos(A-8 )cos B-sin(A-B)sin B = -,则 cos(A-5+5)= -33-3PcosA = -34(11)由(：05人=一§,0人乃,得51114 = 5,由正弦定理，有=，所以,sin B =如”=巫 sin A sin Ba 2由题知。,则A > 3,故6 =二.4根据余弦定理，有（4或=52 + c2 -2x5cx -解得c = l或c = -7(舍去).故向量画在86方向上的投影为忸Ncos8 = 4 35.（2013年普通高等学校招

6、生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设4 45c的内角A,5,C所对的边分别为。,Ac,且a + c = 6, = 2,cos6 = 1. 9（1）求，。的值;（口）求$血04-5）的值.【答案】解:(I)由余弦定理=标 + - 2ac cos 8,得 =( +- 2ac(l+cos B)7cos B =一又 a + c = 6, = 2,9,所以收=9,解得。=3,c = 3siii B =也一 cos2 B = (n)ffiA A5c中，9a a sin B 20 sin A =由正弦定理得cos A = >/l-siii2 A =-因为 =c，所以4为锐角，所以3sin（ A -

7、B） = siii A cos B - cos A sin B = 12因此27.36. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）已知函数( 7T/(x) = 4cos GTx-sin arx + I 4)（仍>0）的最小正周期为乃.（I）求。的值；（II）讨论f（x）在区间0,2上的单调性.(I )=> 2&cosm(sinm + cos尔)=&(sin2m+ cos2m+ 1) = 2sin(2m + 马 + & 4=> => 口= 1.所以/（x） = 2sin（2x + 2） + V,G = 12G4（II）

8、当xe0,2时,（2x + 2）w2,;f+2,令2x + 2 = 2解得x = 2； 24444 28所以尸/（x）在0，上单调递增；由2,刍上单调递减88 237. （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知函数/(x) = sin(5+0)(幻0,0e町的周期为不，图像的一个对称中心为(2,0),将函数 4f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移1个单位长度后得到函数g(x)的图像.求函数/(#与g(x)的解析式；(2)是否存在X。6 (二,马,使得/(兀)山(i)Ja)g*o)按照某种顺序成等差数列若存在, 6

9、4请确定凡的个数;若不存在，说明理由求实数。与正整数，使得尸(X)= "X)+ 4g(X)在(0,乃)内恰有2013个零点.【答案】解：(I )由函数/(x) = sin(3x+0)的周期为巴。> 0,得6y =2又曲线),=/(J)的一个对称中心为(C, 0),夕£(0,可4故 /(2) = sin(2x2 + 0) = O,得 0 = 2,所以 /(x) = cos2x442将函数/")图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y = cosx的图象,再将y = cosx的图象向右平移-个单位长度后得到函数g(x) = sinx2(II)当

10、(工,2)时,<sinx <-,0 <cos2x < 6 4222所以 sm x > cos 2x > sm a: cos 2x问题转化为方程2 cos 2x = sin x+sin xcos 2x在(工,工)内是否有解6 4设G(x) = sinx+siiixcos2x-2cos2x,xe)6 4则 G'(x) = cos x+cos x cos 2x + 2 siii 2x(2 - siii x)因为xw(2,C),所以G'(x)0,G(x)在(工,工)内单调递增 6 46 4又g(令7。刀吁)=¥。且函数G(x)的图象连续不断

11、，故可知函数G(x)在(2,二)内存在唯一零点小, 6 4即存在唯一的X。G 满足题意 6 4(川)依题意,尸) = a sin x + cos 2x，令 F(x) = a sin x + cos 2x = 0当 sinx = 0,即 x = k7r(k g Z)时,cos2x = 1,从而 x = k7r(k g Z)不是方程 F(x) = 0 的解，所以方程/(X)= 0等价于关于X的方程。=一竺幺,X W k7t(k G Z) sinx现研究x £ (0,7i) U (小2乃时方程解的情况cos 2 v令 (x) =, x £ (0,4)u (7,2 4)sinx则问

12、题转化为研究直线y =。与曲线y = h(x)在x w (0,%)U(乃,2乃)的交点情况、 cosA(2snr x+1)人,、八不 兀73乃h (x)=；-令 (x) = 0,得犬=一或x =sin- x22当x变化时J?(x)和hx)变化情况如卜.表.V。今717£，町(江手3万 T耳2乃)h'Q)+00+h。)/-1/当x>0且x趋近于0时/(x)趋向于S当x<4且x趋近于4时J?(x)趋向于s当且x趋近于4时/(X)趋向于+8当x<2%且x趋近于2万时,3)趋向于+8故当。> 1时，直线y =。与曲线y = h(x)在(0, n)内有无交点，在

13、(肛21)内有2个交点； 当。<1时，直线y =。与曲线y = (x)在(0,7T)内有2个交点，在(冗,2兀)内无交点； 当一1 v v 1时，直线 ) =。与曲线>'=h(x)在。)内有2个交点，在(乃,2万)内有2个交点 由函数/?(#的周期性，可知当a W ± 1时，直线 ) =。与曲线y = h(x)在(0, n7T)内总有偶数个 交点，从而不存在正整数，使得直线y =。与曲线 ) =力(x)在(0,)内恰有2013个交点;当 a = +l时，直线y = 4与曲线y = h(x)在(0,乃川(乃,21)内有3个交点，由周期 性,2013 = 3x671,

14、所以 “ = 671x2 = 1342综上，当a = ±l,n = 1342时，函数/(x) = /(.r) + ag(x)在(0,H7T)内恰有2013个零点38. （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题） 本小题满分 14 分,已知。=（cosa,snia）,B = （cos/7,sin/7）,0 <p <a <7t.若a-b= JW 求证:aVb ；(2)设 2 = (0,1),若 3 + B ="，求 a, /7 的值.【答案】解:|3 及 /. a-b=2 即e一族)2 =a2-2ab + b2 =

15、2,又 # 2>1 f- * a =|r/|2=cos2 6Z + siii2 a = , b =| b |2= cos2 p + sui2 /7 = 1 .二 2 - lab = 2 /.Tfcosa + cos/? = 0sin a +sin/? = 1ab = 0a ± /?(2) a + b = (coso + cos/7,sina + sin/?) = (0,1)Jcosa = -cos/? sin a = l-sni/7两边分别平方再相加得：1 = 2 2sin/7/. sui = - /. sui6Z = - -： ft <a<7t225 A 1a =

16、 -n.p=-7t6639. （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知函数/(x) = >/2cosf,xeR.(I)求/ J的值;< 6,(H)若cosd = 3,夕红，2乃，求6+ £). 5 2 J 3 J【答案】（I）/=虚6 7coscosUMcos| 20 + -=应3 12；24 172?J-25cos| 20+ = cos20-sin20I 4)7( q 万因为cosd = -，夕w,2兀，所以sind = - 5I 2)24.7所以 sm 26 = 2 sin cos 0 =, cos 28 = cos2 夕一 sin?

17、 0 =25257= cos2e-sin28 =-2540. (2013年高考湖南卷(理)已知函数/(x) = sin(x-马+ cos(x-马.g(x) = 2siif2. 632(I)若a是第一象限角，且/(a)= 等.求g(a)的值;(II)求使f(x)> g(x)成立的X的取值集合.(1)/(刈=sinx_lcosx+lcosx +siii x = VI sin x = f (a) = VI siiitz =3 ，八九4 rl / 、_ . ，a ,1=sina = .a e (0,) = cosa =一,且月(a) = 2sin' = l-cosa =-52,525(I

18、I)/(X)> g(x) = Vsinx > 1-cosx nsinx+icosx=SH1(A +=x+ 今 t Qk乃+看,2k7T+= x £ 2时,2左九+与,k e Z41. (2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(己校对纯WORD版含附加题) 本小题满分16分.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿 直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到8,然后从3沿直线步行到C.现有甲.乙两 位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行,速度为50?/min.在甲出发2nlm后，乙从A乘缆车 到B,在B处停留liiiiii后，再从匀速

19、步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130?/min, 123山路 AC 长为 1260,经测量,cosA = *,cosC = (.求索道46的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内123【答案】解:7 cosA = w，cosC = §K.54 A、 C e (0, ).'. siiiA = 一,sinC =shiB = siii,r-(A + C) =2135siii (A + C) = siiiAcosC + cos4siiiC = -654 RACAC乙距离为 d,则根据=

20、得 AB = sinC = 1040m siiiC siiiBsuiB设乙出发 t 分钟后d2 = (130厅 +(100+ 50/尸2 x 130/ x (100+ 50/) x /.小=200(37产一70f +50)V即04r<81303535/ =二时，即乙出发二 分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短. 3737由正弦定理=处得6。= 上 sin A = 詈 =500(m) sinA suiB sniB 63 1365乙从B出发时，甲已经走了 50(2+8+l)=550(m),还需走710 m 才能到达C设乙的步行速度为V而皿厕肆竭<31250 6254314为使两位游客在C处

21、互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在 范围内法二:解:如图作BD±CA于点D, 设 8D=20k,则 DC=25MO=48k,A8=52k,由 AC=63k=1260m,知:4B=52k=1040m.(2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点，如图所示.则:4M=130x < N=50(x+2),由余弦定理得:MN2=AM2+an2-2 AM-ANcosA=740Q x2-14000 x+10000, 其中008,当x=| (min)时,M/V最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.(min).(3)由(1)知:8C=500m,甲至lj C用时:瑞 56若乙等甲3

22、分钟,则乙到C用时:M -3=- (min),在BC上用时:M (min). JJJ此时乙的速度最大，且为:500+弓=岩 m/min.故乙步行的速度应控制在甯，等范围内. I D Xi若甲等乙3分钟，则乙到C用时:看+3=岩 (min),在BC上用时:当(min). JJJ86 1250此时乙的速度最小，且为:500+手=7“ m/min. c42. (2013年高考湖北卷(理)在A46C中，角A,8,C对应的边分别是。，b,c.已知 cos2A-3cos(B + C) = 1.(I)求角A的大小；(II)若 KABC 的面积 S = 5/=5,求sinBsinC 的值.【答案】解乂I)由己

23、知条件得:cos2A +女osA = l/. 2cos2 A + 女os A-2 = 0,解得cosA =工,角 A = 60°2(ll)S = -bcsmA = 573 =>c = 4,由余弦定理得= 21,(2R=- = 282sin- Asin B sin C =4史 743. (2013年普通高等学校招生统一考试新课标H卷数学(理)(纯WORD版含答案) ABC在内角A, 6, C的对边分别为。也c,已知。= 6cosC + csin5.(I)求 6;(H)若人=2,求4 A5c面积的最大值.【答案】(I)由已知及正弦定理得sin A :sinBcaC B 乂/ = *

24、(8+C)，故sinJ-sin(B>C)=$in/?cosC 4-cossinC.由和Cd(0.幻彻$inB = co$B.乂8w(0.X).所以8 = ：. 五(ID ZUBC 的面枳 S.QacsinB二:8 由已知及余弦定可得4«tfJ+c:-2accos.乂 u: +c2 2 2ac 故nWp* 2-V2当且仅当a时，号号成匕因此AdBC面积的M人的为无44. （2013年高考新课标1 （理）如图，在 ABC中/ ABC=90>AB=木，BC=1,P为 ABC内一 点/ BPC=90°【答案】(I)由已知得/ PBC= 60° Z PBA=30%在 PBA中，由余弦定理得PA = 3 H2 x -3 x cos 300 = -pa= ；4242(II)设n PBA=a，由已知得,PB=sina,在 PBA中，由正弦定理得,一=一吧/一， sin 150° sin(300 - a)化简得,a/3 cos a = 4 sin a,tan<z = tanZP5A = 4445. （2013年上海市春季高考数学试卷（含答案）本题共有2个小题，第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy中，点4在y轴正半轴上，点Pn在x轴上,其横坐标