2020年江西省九江市高考数学一模试卷(文科)

1、2020年江西省九江市高考数学一模试卷(文科)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 M=0 , 1, 2, 3, 4 , N=x| 2<x<2,贝U M N=()A . 0 , 1, 2B. 0C. 1D. 0 , 1【答案】D【命题意图】该题考查集合的列举法、描述法，以及交集运算，属于基础题，较为简单.【解析】因为 M=0, 1 , 2, 3, 4, N=x- 2<x<2,所以 M N=0 , 1.故选 D.【点评】集合间的交集运算，取公共部分.2. 设复数Z满足Z (1 + i) =2 ,

2、则Z在复平面内所对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限【答案】D【命题意图】该题考查复数代数形式除法运算，分子分母同乘共轭复数，以及复数与复平面的关系，是基础题较为简单.2 一【解析】Z (1+i) =2 ,即Z 1 i ,因此Z在复平面内所对应的点的坐标为(1,- 1),位于第四1 i象限.故选D.【点评】变形将Z放到一边再根据复数的除法得到标准形式，根据复数与复平面的关系即可得到正确答案.rr 2r r3. 已知向量a(1, 2), b(x2+1, - x),贝U x=1 "是a 丄 b "的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C

3、 .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【命题意图】该题考查向量垂直与数量积的关系、充要条件，需要一定推理能力与计算能力，属于基础题，较为简单.【解析】a bx2 1 2x 0 X 1 ,因此X=T是Ia丄b ”的充要条件.故选 C.【点评】两向量垂直，则数量积为0,列出等式即可求解2x y 04.已知实数x, y满足约束条件X 2y 2 ,则z=x+3y的最大值为（）Xyo14A . 4B . 2C.D . 05【答案】C【命题意图】该题主要考查线性规划，通过Z的几何意义，数形结合求解，属于基础题，较为简单.【解析】如图所示，根据不等式组作出可行域，当直线I: x+3y=0 ,平移后

4、过点A - ,4时，z=x+3y取得最大值14 .5 55故选C.【点评】根据不等式组作出可行域，根据直线z=x+3y平移，求得最优解在代入求得最大值.5.设等差数列an的前n项和为Sn,已知13a3+Si3=52 ,则S9=（）A. 9B . 18C. 27D. 36【答案】B【命题意图】该题考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题，较为简单.【解析】等差数列an中，13a3+S13=13a3+13a7=52 ,贝U a3+a7=4，a a即a5 -7 2 ,遗传你S9=9a5=9 × 2=18故选B .2【点评】根据等差数列的通项公式得13a3+S13=13 a

5、3+13a7=52 ,从而 a5a3a722 ,根据等差数列的前n项和公式得解.6.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当 xQf(x) =x3+3x,则 a3f 2",b fIog 3 -3 27C f ,2的大小关系为（）A. a>b>cB . a>c>bC. b>a>cD.b>c>a【答案】C第2页（共17页）【命题意图】该题考查函数的基本性质，奇偶性、单调性,属于基础题，较为简单.第5页(共17页)【解析】由题意可知,f(X)是R上的偶函数，那么b f log3273又因为0222.233 ,因此 x0, f (x) =X +

6、3x 在0, +)上单增,1则因f叫322f .2,则b>a>c,故选C.【点评】偶函数的性质可知b=f (3),根据对数、指数的性质得 032222 . 23 ,根据单调性即可分析出答案7.现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115,且方差达到最小，则mn的值是(1A . 27B . 32C. 35D. 36【答案】D【命题意图】该题目的考查基本不等式,通过茎叶图的形式，属于基础题,较为简单.1【解析】因平均数为6 4 910故m+ n=12 ,要使方差最小，2 200 660 240115,则(110+m- 115) 2+ ( 110+n- 115)2 (m5)2 (n5)2当

7、且仅当m - 5=n - 5,即 m=n=6时取等号,这时方差最小， mn=36,故选D .【点评】由平均数可知m+n=12 ,使方差最小,转化为(110+m- 115) 2+ (110+ n- 115) 2最小问题，通过基本不等式即可求解.&已知函数f (x) =ASin(x+ ) (A 0,0,的部分图象如图所示，且 f( a+x) +f (a - x) =0,则Ial的最小值为(A .12【答案】A【命题意图】该题考查由图象确定解析式/,O/ih i酋,PJC.5 D.12y=As in(X ),考查识图与运算能力，属于中档题，重点把第5页（共17页）握公式性质.【解析】根据图像

8、求得A=2, T 411 12所以=2,又22k 2 ,所以2k6 (kZ),因为因为f则2a2,所以6,所以f X2sin 2x(a+x) +f (a-x) =0,所以 f (x)关于点(a,0)对称,-k k Z ,故 a6k2所以Ial的最小值为 丄，故选A .12【点评】根据图像求得函数解析式，又因f (a+x) +f (a - x) =0,则 f (X)关于点(a, 0)对称，再利用正弦函数的对称性即可.F ,点M在椭圆C上且位于第一象限，O为坐标原点，若线段2X9已知椭圆 C:921的左焦点为4MF的中点N满足Umr LULTNF NO 0,则直线MF的方程为(A . 3x - y

9、+3 50 B . 2x - y+250 C. X-y .50 D. X-2y 、50【答案】D【命题意图】该题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，以及向量数量积，需要一定的计算，属于中档题.【解析】假设椭圆 C的右焦点为F, M (x, y) (x>0, y>0),ILJlT UUlT因为NF NO 0,则NF丄NO,由题意知N , O分别是MF和FFi的中点，故MF丄MFi, 第4页(共17页)且 F'.5 , Fi .5,0 ,所以 X 、5, y X 、.5, y 0,即 x2+y2=5,2 2X- 乂 1根据 94点M在椭圆C上且位于第一象限,2 2Xy 5求

10、解得M 35 ,土5 ,因此kMF55_5J5,5则直线MF的方程为y5 即X 2y ,50 ,故选D.【点评】设椭圆定义性质及数量积为0 ,圆的方程与椭圆方程的关系，得到M坐标，求解直线的斜率,即可得到直线方程.10.半正多面体（SemiregUlarSolid ）亦称 阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面 的多面体，体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截 去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2 ,则该二十四等边

11、体外接球的表面积为（C. 8 A . 4 【答案】CD. 12 【命题意图】该题考查几何体外接球的表面积，需要转化为熟悉几何体的外接球，需要一定运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于基础题型，较为简单.【解析】根据几何体的对称性可知，该几何体的外接球转化为底面棱长为.2 ,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，因此（2R）22）2（、2）222 ,所以R -,所以该几何体的外接球的表面积S=4R2 4 （2）2 8,故选C.【点评】通过题意求得外接球半径，进而求出球的表面积.11.已知不等式 mx3弓3- 6x2y对于任意x2 , 3, y 3 , 6恒成立,m的取值范围是（A . 9

12、 , +)B . - 5, +)C.4&,4,9【答案】A【命题意图】该题考查函数恒成立，转化为y3 6x2y-对任意x 2 ,X3, y 3 , 6恒成立是关键，需要一定的等价，换元思想，属于难题,需要一定技巧.【解析】mx3 - 6x2y对任意X 2 , 3, y 3 , 6恒成立,准化为my3 6x2yX3X3X3y6 对任意 x 2 , 3, y 3 , X6恒成立,令t y ,贝y 1 3则Xm3- 6t在1 , 3上恒成立,构造函数f (t) =t3- 6t,则 m (t) max.因为所以f（ t）在1,2上单调递减,.2,3上单调递增.因为f (1) = - 5, f

13、( 3) =9 ,所以 fmax=9,所以m9故选A.【点评】题意可知m32y 6x yX3y_3X6 -对任意x 2 , 3 , y 3 , 6恒成立，令t X-,则 13X从而化为m3- 6t在1 ,3上恒成立，令f (t) =t3- 6t ,得 f (t) max ,根据m (t) max则求得m的取值范围.12.我国古代典籍周易用卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成其中记载一种起卦方法称为大衍f' (t) =3t2- 6,由 f( t) >0 得、,2 t 3 , f' (t) <0 得 1 t 2 ,49根筮法”其做法为：从50根蓍草中先取出一根放在案上显

14、著位置，用这根蓍草象征太极.将剩下的随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间将 49根里除中间之外的蓍草合在一起，为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得爻.若一变之后还剩40根蓍草,则二变之后还剩36根蓍草的概率为（）131015A .B .C.D.241919【答案】C【命题意图】该题考查古典概型概率计算，需要一定的转化思想，不要漏情况，属于基础题较为简单.【解析】假设（a, b）表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分为两份后不会出现一边没有，一边第6页（共17页）39 根，则假设 a1 b

15、1 且 a+b=39,则那么基本事件有(1 , 38), (2, 37), (3, 36), (4, 35) ( 5, 34) (6, 33) (7, 32), ( 8, 31) ( 9,30) , (10, 29), (11, 28), (12, 27), ( 13 , 26) , (14 , 25), (15, 24) , (16 , 23), ( 17, 22) , (18 ,21) (19 , 20)共19个基本事件，其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件.10因此概率P ,故选C19【点评】首先列出所有的可能性，再根据古典概型的概率公式求解即可.二、填空题：本大题共 4小

16、题，每小题5分，共20分.13. 曲线y=ex (x2+2)在点(0 , 2)处的切线方程为 【答案】y=2x+2【命题意图】该题考查导数的几何意义，求解切线方程的表达式，属于基础题,较为简单.【解析】因 f ( x) =ex (x2+2x+2),将 0 代入，贝 U f' (0) =2 ,又因f (0) =2 ,因此所求切线方程为 y-2=2x ,即y=2x+2 .故答案为：y=2x+2 .【点评】求出导函数在 0处的值，即切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程.14. 执行如图所示的程序框图后，输出 S的值为.I- V是开始:n =I3S 二 OS = S+2n>1茫输出SZ

17、Z>【答案】126【命题意图】该题考查循环结构，重点在于明晰流程图，属于基础题,较为简单.【解析】由图可知S 2 22 L2 1 2n 2n1 22n 1 2 ,因为S 63所以S=126 .故答案为：126.【点评】通过分析代入求值，最后得到结果2 2X V15.已知双曲线C：221 (a>0, b>0)的左右焦点分别为 F1, F2,直线I过点F2交双曲线右支于 P,a bQ两点，若IPFII=3PF2, PQ=4PF2,则双曲线C的离心率为 【答案】2【命题意图】该题考查双曲线定义以及性质，属于基础题，较为简单.【解析】假设PF2=m,则IPF=3m, PQ=4m,则Q

18、F2=3m,根据双曲线的定义，那么PFi I PF2 2m 2aQF1 5aQF1 QF2 QF1 3m 2a m a满足勾股定理 PFi I2 PQf QF I2 ,所以PQFi是直角三角形，又因为 QPF =90 ° 因此PFi |2PF22F1F22?（ 3a）2+a2=（2c）2，故答案为:【点评】假设|PF2|=m，则|PFi|=3m，|PQ|=4m，则|QF2|=3m，根据双曲线的定义，贝U APQFi是直角三角形，推出（3a） 2+a2= （2c） 2,转化为齐次方程求解离心率问题.16.如图，在平面四边形 ABCD中，AD=1 , BD .5 , ABAC, AC=2

19、AB,贝U CD的最小值为 .【答案】,5【命题意图】该题考查正余弦定理，解三角形的应用以及三角恒等变换，属于中档题.ABBDAByf5【解析】令 ADB =, 在 ABD中，根据定理可知 AB一BD一，即 Q一，即SinSin BAD SinSin BADAB Sin BAD.5Sin ,根据定理得 AB2 6 2 .5cos ,在 AACD 中，CD2=AD2+AC2- 2AD?ACCos DAC =1+4AB2 - 4ABsin BAD 25 8. 5cos牛、5sin25 - 20sin （ + ）,当 Sin （ + ） =1 时，CDmin.5. 故答案为：5 .【点评】令 ADB

20、= ,通过正弦定理余弦定理得 AB2 6 2J5cos ,再在ACD中根据余弦定理以及 辅助角公式求解即可.三、解析题：本大题共 5小题，共70分解析应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知等差数列a的前n项和为Sn,公差d0 a1=2 ,且a1, a2, a4成等比数列.(I)求数列an的通项公式及前n项和Sn;1 1()记bn,求数列bn的前n项和Tn.Sn a? n 1【命题意图】该题考查等比数列中项性质，等差数列的通项公式和求和公式，及数列的裂项相消求和, 需要一定计算能力，属于中档题.【解析】(I )由题意可知a； a1 a4,因为 a1=2 ,所以(2+d) 2=2 (2+3d

21、),解得 d=2 或 d=0 (舍去)，n 2 2n2( )根据(1)可知,1Snn11nn 1bn1 1n n 112n，11111则TrI 1 -L223nn 11 ,1C11112 -n 12nn 12n111 1n 1 '玄2“ 1n 1n '2 2 21 ,1122n112则 an=2+ (n - 1) × 2=2,又因 Sn第13页(共17页)【点评】(I)根据等比数列的中项性质和等差数列通项公式，得方程，求解可得公差，在根据首项求得通项公式以及前n项和;( )禾U用分组求和跟裂项相消，与等比数列求和公式，即可得到Tn18.如图，在三棱柱 ABCA1B1C

22、1中，四边形 ABB1A1为正方形，且AC=AA1=4 , CAB = CAA1=6O °(I)求证：平面 AB1C丄平面ABB1A1;()求点A到平面A1B1C的距离.【命题意图】该题考查了线面面面垂直的判定与性质定理，直线垂直于平面两条相交直线，勾股定理及 其逆定理、三棱锥的体积计算公式，属于中档题.【解析】(I )连接AiB,设AB1A1B=O,连接CO,因为 AC=AC, CAB= CAAi, AB=AAI,所以CAB CAAi ,所以 CB = CAi,因为O为AiB的中点，所以AiB CO ,因为四边形 ABBiAi为正方形，所以 AiB丄ABi,又 CO, ABi 面

23、ABiC, COABi=O,所以 AiB丄面 ABiC,因为AlB 面ABBiAi ,所以面 ABiC丄面ABBiAi;()因 CA=AAi=4, CAAi =60 ° 所以 CAi=4,在直角COAi 中，又 OA 2 /2 ,所以 CO 2,2 ,又 AO 2.2 , AC=4,所以 OA2+OC2=AC2,所以 CO AO,因平面 ABiC丄面 ABBiAi,面 ABiC面 ABBiAi=ABi,所以 Co丄面 ABBiAi,i则 CO 为二棱锥 C - AAiBi 的高，因此 VC AAIBlSVAAB COrAA1Bii6 23i又因为 CA仁AiBi=BiC=4,贝U S

24、VCA 44 sin60 4、3i6、24L64.33【点评】(I)连接AiB, ABiAiB=O ,再连接CO ,得CAB CAAi,CB=CAi,AiB CO,利用四边形ABBiAi为正方形，得 AiB ABi.( )由于 CA=AAi =4, CAAi=60 °则 AiB丄平面 ABiC,则平面 ABiC丄平面ABBiAi.则CAi=4,根据勾股定理及其逆定理可得：COAO,根据等积变形即可求解.i9.已知A, B是抛物线C: y2=4x上两点，线段 AB的垂直平分线与X轴有唯一的交点 P (xo, 0).(I)求证：xo>2;()若直线 AB过抛物线C的焦点F ,且IA

25、BI=i0 ,求PF.【命题意图】该题考查抛物线定义性质，以及转化思想，需要一定计算能力，属于中档题. 第io页(共i7页)【解析】(I )方法一：设 A (x, y) , B (x2, y2) ( X1 2),由 Y12 4X1, y22 4X2 ,则 y12y224 X1X2 ,X1X24* y2 ,所以kAB4 ,所以线段AB的垂直平分线方程为 y y1 y2%y22y1y24X1X22当y=0时,因 X1<2,所以 yl+y20 得 XoX1 X22因为X10X20 X1X2 ,所以 X1 + X2>0 ,所以 X0>2 .方法二：设A (Xi, y), B (X2,

26、 y2) (Xi<2),因 P (X0,0)在线段AB的垂直平分线线上，则IPAFlPBI,所以(XiX0)2 y12 (X2X0)2y22 ,因 A (Xi,yi), B (X2 , y2)在抛物线C上，所以y124Xi,2y24X2 ,代入得(x1 X0)24 X12(X2 X。) 4X2 ,化简得XoXi2,因 xi0 X20 Xi (2 ,所以 Xi+X2>0 ,所以 X0>2 ,( )方法一：因抛物线性质可知ABFX1+2+p=10,所以X什x2=8 ,贝U PF法二：根据题意可知直线联立¥2y,则4x所以ABX1X2因X0>2 ,所以PFX0【点评

27、】(I )法一：设AB的中垂线的斜率，又过X1X2X0 1 X0 1J21AB斜率存在且不为 0,故可设直线AB的方程为y=k (X-1) ( k0),k2X2-( 2k2+4) X+k2=0,所以2k2 44 k21X1X22k2 410 ,所以k2i，1X。X1X22宁121 k25.k2A , B的坐标,代入抛物线方程，通过点差法求出直线AB的斜率，则求出线段P点，得AB的中垂线的方程，当y=0时，得X0的表达式，再根据 A , B的横坐标的方程可得X0>2;法二：P在线段AB的中垂线上，则IFAFIPBI整理，及AB在抛物线上代入抛物线的方程，联立方程组可得 X0用A, B的横坐

28、标表示的代数式,再由 A, B横坐标的范围证明出结论;( )设直线 AB的方程，直线与抛物线联立求出横坐标之和, 第11页(共17页)由抛物线的性质，至U焦点的距离等于得到准线的距离可得弦长，横坐标的和可由题意，写出PF的表达式，再用 AB的横坐标表示，求出 PF的第12页(共17页)2由于 x>0, f X X0 alnx构造函数al nx2 (x>1),则g' Xa 12XX2ax当a - 2时,因为x+a+1>1 - 2+仁0,所以g' (X) >0,值.20.已知函数 f( x) =axl nx+2x+a+1 (a R).(I)若f (x)在1

29、, +)上单调递增，求 a的取值范围；()若对？x( 1, +) , f ( x) +x2>0恒成立，求a的取值范围.【命题意图】该题考查导数恒成立问题，需要分类讨论，构造新函数等方法，需要一定激素啊能力及转化思想，属于中档题.【解析】(I) f' (x) =alnx+a+2 ,根据题意可知对？x 1 , +), f (x) 0亘成立, 当a 0寸，因X 1 , +),所以Inx0所以f' (x) 0亘成立，取到，2 当 a<0 时，x0 e 1,因为 f' (xo) =a<0,所以f' (x) 0在 1 , +)上不能恒成立，舍去，综上，a的

30、取值范围是0, +),2 2(X>1),( ) f (x) +x =axInx+x +2x+a+1所以g (x)在(1, +)上单增，依题意得g (X) >g (1) =a+1+1+22>0 ,满足题意，取到,当 a< - 2 时，当 1<x< - a- 1 时，g' (x) <0,当 x> - a - 1 时，g' (x) >0,a 1 2 aln所以g (x)在(1, - a - 1)上单减，在(-a - 1, +)上单增,所以g X min g a 1 aln a 1依题意得g (x) min=aIn (- a - 1

31、) - a>0,解得-e- 1<a<- 2,综上，a的取值范围是(-e- 1, +).【点评】(I )求导得到导函数，对于 ？x 1 , +), f' (x) 0亘成立，对a分类讨论求解即可;( )等价于g X alnxX 20在x>1上恒成立，根据导数研究其性质，可求范围.X21.某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数X（单位：百人）对年产能y （单位：千万元）的影响,对投入的人力和年产能的数据作了初步处理,得到散点图和统计量表.X yln y1XXi5.825 3.6121.0773280.154（I）根据散点图

32、判断:型？并说明理由?XiX27.87y=a+bInX 与be×（）根据（I）的判断结果及相关的计算数据,yii 1 XiInyInyi Iny150.80-55.74(表 1)126.56哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力X的回归方程类y关于X的回归方程;（川）现该企业共有 2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）附注：对于一组数据（S1,t1),（S2, t2）,，（Sn, tn）,其回归直线t=bs+a的斜率和截距的最小二乘估nS Si 1ni 1 Sti_ 2S,a? F IbS,(说明:baf Xex的导函数为

33、f' Xab ex2 )X呗f干病/fir61 S 9 fl Jl Il /3 M !6人数/百人第23页（共17页）b【解析】（I ）根据图可知y e×若选择y=a+blnx,则b>0,此时当X接近于0时，y必小于0,因此选择b a y ex作为年产能y关于投入的人力X的回归方程类型;bex,得 Iny1Iny与丄符合线性回归.X因此ba Iny b则 Iny 2Inyi2n 11i1 X0.154Iny55.7427.8721.0772 ,-,即X【命题意图】该题考查回归方程的定义以及回归方程的求法，利用导数研究函数的最值，属于中档题a适宜作为年产能y关于投入的人力

34、X的回归方程类型.则y关于X的回归方程（川）当人均产能达到最大时,年产能也达到最大,根据（ ）可知人均产能函数22e XX因此f ' X由0<x<2时,所以X (0,2e×2Xf (X) >0, x>2 时，f'(X)<0,2）时，f （X）单增，x(2, +)时，f (x)单减.M 2当x=2时，人均产能函数 f X达到最大值,X因此，人均产能达到最大时每 2千万资金安排2百人进行生产,对于该企业共有 2000名生产工人，且资金充足，则下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.ba【点评】（I ）根据图示可知y

35、ex适宜作为年产能y关于投入的人力X的回归方程类型;b a11、()因 y ex ,得 Iny b - a ,故Iny与一符合线性回归，满足线性回归方程，求出b与a的值，XX2可得Iny 2 ,从而得到y关于X的回归方程；X(In )通过导数求最值.请考生在第22- 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4坐标系与参数方程X22. (10分)在直角坐标系 XOy中，曲线C1的参数方程为1 cos1 cos2si n1 cos(为参数).以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 = (0( 0,),将曲线Ci向左平移2个单y第27页(共17页)位长度

36、得到曲线C.(I)求曲线 C的普通方程和极坐标方程;()设直线I与曲线C交于A, B两点，求1OA1OB的取值范围.【命题意图】该题考查了极坐标方程,参数方程和直角坐标方程的关系，以及元二次方程的根与系数的关系，属于中档题.【解析】(I )因为1 COS1 cos2cos2 22sin2-22cos 2，y.2Sin -22si n1 cos4sin- cos2 22si n2 22cos-2Sin2所以y2则曲线4cos2 2.2Sin -2的普通方程为y2=4 ( x+2 ).4x ,即曲线Ci的直角坐标方程为 y2=4x.令X= Pco, y= P sin得曲线C的极坐标方程为PSin2 - 4 P coS- 8=0.4cos O-2 ，Sin 0( )方法一：将= 0代入曲线C的极坐标方程得