经典小学奥数题型几何图形

1、45 / 33小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图& ACD S BCD；反之，如果& acd Sa BCD ,则可知直线AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平

2、行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC 上）,通过构造贝USaabc：Saade （AB AC）： （AD AE）任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： S：S2 $4$或者& S3 S2 S4 AO：OC S & ： S4 s3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.

3、模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： a2:b2 § : S3 : S2: S4 a2: b2: ab: ab ;S的对应份数为a b2.四、相似模型（一）金字塔模型二）沙漏模型° AD AE DEAB AC BCAG；AF2:AG2. S*A ADE :所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们

4、的相似 比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形ABC中，AD , BE, CF相交于同一点O,那么 S ABO : S ACO BD : DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运 用，它

5、的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】 如图，正方形ABCD勺边长为6, ae 1.5, cf 2.长方形EFGH勺面积为.【解析】连接DE DF,则长方形EFGH勺面积是三角形DEF®积的二倍.三角形DEF勺面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sadef6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5，所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘 米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行

6、四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在起）.1在正万形ABCD中，SzxABG - AB AB边上的局，21二Saabg 2 SwabCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）1同理， Sa abg 2 Sefgb .正方形ABCD与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）.【例2】 长方形ABCD的面积为36cm2,G为各边中点,H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少?BH、 HC ,【解析】解法一：寻找可利用的条件

7、，连接如下图:SabcdS EBFS阴影S AHB S CHB即 S EHBS CHDS BHF36BE BFS EHBAHB S CHB S CHD )S DHGS EHBS DHG1AB)(一2BC)BHF S DHGSM影12S EBF36 18 ;所以阴影部分的面积是: 解法二：特殊点法.我 那么图形就可变成右图：8S阴影36 4.5 .18 SEBF 18 4.513.5H的特殊点，把H点与D点重合,DEF的面积,这样阴影部分的面积就是根据鸟头定理，则有:SABCDS AED S BEF S CFD 3636221 136 - - 36 13.5.2 2【巩固】在边长为6厘米的正方形

8、ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P点连接，求阴影部分面积.【解析】(法1)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴 影三角形的面积分别占正方形面积的 1和1 ,所以阴影部分的面积为4662 (- 1) 15平方厘米. 4 6(法2)连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1 ,同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1 ,所以阴6影部分的面积为62 (1 1

9、) 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8,AD 15,四边形EFGO的面积为.【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为120 1 30,所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 3 70 20 ； 44又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 1 -30,所以2 4四边形EFGO的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形 EF

10、GO的面积 三角形AFC面积 三角形 BFD面积 白色部分的面积，而三角形 AFC面积 三角形BFD面积为长 方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50,所以四边形的面积为60 50 10.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点,阴影部分的面积为Is ： s-C CAE ： ° CDE【解析】如图，连接OE .根据蝶形定理，ON : NDS COE ： S CDE21:1 ,所以-1 -SOEN2sOM : MAS BOE ： S BAE二 S BDE ： S BAE21：4,所以 S OEMiS又 S OED

11、1s巨形ABCD42SOED 6,所以阴影部分面积为:【例4】 已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形 HBC ）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN和三 角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有SABCSeS ABN S AMCSAMHN ,即400 S丙又SK影S ADF200 200 SAMHN ,所以 GtSPS乙 SAMHNSW& 臣S丙S ADF

12、143 4004SAMHN .43【例5】 如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6,线段AB将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面 积是.连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 1527； DG 7 15 6 28 ；所以，S BEF1527 S CBF , S BEC1227 S CBF , S AEG21 S ADG , S AED28-S 28于是：-S ADG -S CBF 65 ；三 S ADG S CBF 3828272827可得S ADG 40 .故三角形ADG的面积是40.【例6】 如图在ABC中，D,E

13、分另fj是AB,AC上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , Saade 16平方厘米，求4ABC的面积.【解析】连接 BE,SA ade：Sa abe AD： AB 2:5(2 4):(5 4),Sk ABE : Sa ABC AE: AC 4:7 (4 5):(7 5), 所以 S adeSabc(2 4):(7 5), 设SzxADE 8份，则Sa abc 35份，Saade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米， 35份就是70平方厘米， ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之

14、比.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面积等于1 ,那么三角形ABC的面积是多少？ EC 3AE【解析】, , SvABC3SvABE又 AB 5AD-SVADESVABE5 SvABC15 ,SvABC15SvADE15 .【巩固】如图，三角形 ABO分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4, BE 3, AE 6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接AD . BE 3 , AE 63SVBDEAB 3BE , Svabd 又二 BD DC 4, , SVABC2 SVABD , , , SVABC6SVBDE ,【例7】 如图

15、在 ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且 AB: AD 5:2,(2 3):(5 3)AE: EC 3:2, Saade 12平方厘米，求 ABC的面积.连接 BE , SA ADE : SA ABEAD : AB 2:5SA Abe :Saabc AE:AC 3:(3 2) (3 5): (3 2) 5 ,所以 SA ADE : SA ABC (3 2): 5 (3 2)6:25,设 SA ade 6 份，则 SA abc 25 份，SAade 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的

16、面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例 8 如图，平行四边形 ABCD, BE AB, CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平 行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面 积比.连接AC、BD .根据共角定理,在 ABC 和 ABFE 中， ABC 与 FBE 互补,.Saabc AB BC 1 1 1SAFBE BE BF C 3 .又 S»A ABC1 ,所以 SA FBE3 同理可得S GCF8 ,SADHG15 ,SAAEH8 15+3+2 36 .以 SEFGH SAAEH SA CFG SADHG S BEF SAB

17、CD 8 所以SBCD二.SEFGH 3618【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积.因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10 如图所示，ABC中， ABC 90 , AB 3 , BC 5 ,以AC为一边向 ABC外作正方形ACDE ,中心为O,求

18、OBC的面积.E【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90 ,到达OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90 , 所以 OAB OCB 180 ,而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180 ,那么 B、C、F三点在一条直线上.由于OB OF, BOF AOC 90 ,所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5 3 8,所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC的面积为16 5 10.8【例11如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形AEB 90 , AC、BD 交于 O . 三角形OBE的面积.已知AE、BE的长分别为3cm、F【解析】如图，连接D

19、E ,以A点为中心，将ADE顺时针旋转90至口 ABF的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90 , 而 AEB也是90 , 所以四边 形AFBE是直角梯形，且 AF AE 3,所以梯形AFBE的面积为：12 3 5 3 12( cm ).2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2 AE2 BE2 32 52 34 ,所以S ABD所以S OBE1AB2 2S ABD1ss BDE217( cm2).S ABE S ADE S ABDSafbe17 12 5( cm2),2.5( cm2).【例12】 如下图，六边形 ABCDEF中，AB ED , AF CD, BC

20、EF ,且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于 EF ,对角线FD垂直于 BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重 合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形 BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形 ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形 ABC的面积是1 ,E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC 1:2, AD与BE交于点F.则四边形DFE

21、C的面积等于【解析】方法一：连接CF ,根据燕尾定理，设Sa BDF 1份，则54DCF 2份, 如图所标SZ ABFSA ACFSA ABF所以SDCEF2勺-SA ABC1212BDDCAEEC3 份，S»A AEFS*A EFC3 份,11方法一：连接DE ,由题目条件可得到Sl abd ABC , 33SA ADE1SA ADC12c1BF-SAABC,所以 FE2 33FES乙 ABDSAADESA DEF1111111 SA deb SA BEC SA ABC,2232 3 212'而CDE 2 1 SAABC 1 .所以则四边形DFEC的面积等于2.3 2312

22、【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE,F是DG的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？DECSW5 q5二 4 BCD7"1212【解析】设SA DEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD的面积的1,且A0 2, DO 3,那么CO的长度3【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无 外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件SZABD ：

23、SVBCD 1：3,这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个"不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出 结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解 法一： AO：OC S abd ：S bdc 1:3 , OC 2 3 6 , 二OC:OD 6:3 2:1 ,解法二： 作 AH BD于H, CG BD于 G

24、.ISS DOC , 3. c11一 . 0 S ABD c S BCD , AH CG , S AOD3'3，.1AO -CO , OC 2 3 6 , OC:OD 6:3 2:1 . 3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：三角形BGC的面积；AG:GC ?【解析】根据蝶形定理 ,SVBGC 1 2 3 ,那么 SVBGC6 ；根据蝶形定理，AG:GC 12:36 1:3.【例15如图，平行四边形 ABCD的对角线交于O点，CEF、AOEF > AODF > BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求OCF的面积；求4GCE 的

25、面积.【解析】 根据题意可知， 4BCD的面积为2 4 4 6 16,那么ABCO和CDO的 面积都是16 2 8,所以4OCF的面积为8 4 4；由于ABCO的面积为8, 4BOE的面积为6,所以OCE的面积为8 6 2,根据蝶S GCE : S GCF EG: FG那么S GCE形定理，EG :FG1:2 ,1c1c2S CEF-2一.1233S COE: S COF2:4 1: 2【例16如图，长方形ABCD中， 为2平方厘米，求长方形BE:EC 2:3 , DF :FC 1:2,三角形 DFG 的面积 ABCD的面积.【解析】SVDEF连接AE , FE .因 为 BE:EC 2:3,

26、3111(7二1)S长方形 ABCD77 »方形 ABCD.53210因为 SVAED 二 S长方形 ABCD , AG ： GF 22厘米，所以Svafd12平方厘米.DF:FC 1:2, 所 以5:1 ,所以 SvAGD 5Svgdf 10 平方 101 .因为 SVAFD - SO'形 ABCD , 所以长方形6ABCD的面积是72平方厘米.【例17】M是AD边上的中点.求图中如图，正方形ABCD面积为3平方厘米, 阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道& AMG : & ABG : S*A

27、MCG : & BCG 12 :(1 2) :(1 2) :22 1: 2:2:4 ,设 1AGM 1份，则Sa mcd1 2 3 份，所以正方形的面积为12243 12份，Sw2 2 4份，所以“影：S正方形1:3,所以时影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点， 三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米.AD【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得 2S弟形（1 2）9（平万厘米），S ECD3（平万厘米），那么Swabcd 12（平方厘米）.【例18】 已知ABCD是平行四边形，

28、BC:CE米.则阴影部分的面积是3:2,三角形ODE的面积为6平方厘 平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平行四边形，BC:CE 3:2,所以CE:AD 2:3,根据梯形蝶形定理， SVCOE : S/AOC : SVDOE : SVAOD 2 : 2 3: 2 3:32 4:6:6:9,所 以S/AOC 6 （平方厘米），S/AOD 9 （平方厘米），又 Svabc S/ACD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为6 15 21（平方厘 米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接A

29、E .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S OCD S OAE 2根据蝶形7E理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36 ,故 S OCD 36 , 所以S OCD6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 S OCD S OAE 根据蝶形定理， S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16,故 S OCD 16,所以SOCD4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED中，SA

30、DE - SYABED , 16 8 12（平方厘米）， 22所以S AOE S ADE S AOD 12 8 4（平方厘米），根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米.【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以S EOD SvFOC ,又根据蝶形定理,S EOD S FOCS EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD2 8 16,所以SEOD 4（平方厘米），SECD 4 8 12（平方厘米）

31、.那么长方形ABCD的面 积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC的面积为24 5 2 8 9（平方厘米).【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交 于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB 1:3,则BKD的面积是 多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在 梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的.而AK : KB 1:3,所以ACK 的面积是ABC面积的，1,那么BDK的面积也是 ABC面积的1.1 3 44由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点，而且A

32、M DE,可见 ABM和ACM的面积都等于正方 形DEFG面积的一半，所以 ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48.那么BDK的面积为48 1 12 .4【例21 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是 AB, BC, CD, DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m,那么，(m n)的值等于n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG与DE的交点为M .左图中AEGD为长方形

33、，可知 AMD的面积为长方形AEGD面积的1 ,所 4以三角形AMD的面积为12 1 1 L又左图中四个空白三角形的面积是 2 4 8相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 482如上图所示，在右图中连接 AC、EF .设AF、EC的交点为N.可知EF/ AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1 ,所以三角形BEF的面积为12 1 1 '梯形AEFC的面积为1 1 3.42 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2,根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1 2:1 2:22 1:2: 2:4 ,所以三角形EFN的面积为3 1一 那么四边

34、形BENF的面积为1±1.而右图中四个空8 1 2 2 4248246白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为11463那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为I3:2 ,2 3即m 9, n 2那么m n 3 2 5.【例22如图， 4ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD DF FB , 贝！J & ADE : S3边形 DEGF : S3边形 FGCB .设Sade1份，根据面积比等于相似比的平方,所以S ADE:SA AFG22AD2:AF2SA ADE : S ABC22AD2 : AB2因此S AFG4份，SA ABC9份,进而有Sg边

35、形DEGF3份,S四边形 FGCB5份，所以Saade:S3边形 DEGF:S3边形 FGCB1:3: 5【巩固】如图，DE平行BC,且AD 2,AB 5 , AE 4 ,求 AC 的长.A【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: ACDE: BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10【巩固】如图, 相平行， ABC 中，DE , FG ,BC互AD DF FM MP PB ,贝USa ADE : S3边形 DEGF :S四边形 FGNM :S四边形 MNQP:S四边形 PQCB设3 ADE1份,Sa ade：Sa afg AD2: AF2 1:4,因此S AFG 4份，进而有S3边形D

36、EGF3份，同理有S3边形 FGNM5份,S四边形 MNQP7份， SI边形PQCB 9份.1:3: 5:7:9所以有S»A ADE : S四边形 DEGF : S3边形 FGNM :S四边形 MNQP : S四边形 PQCB【例23】如图，已知正方形ABCD的边长为4, F是BC边的中点，E是DC边上 的点，且 DE:EC 1:3, AF与BE相交于点 G,求S abg【解析】方法一：连接AE ,延长AF , DC两条线交于点M ,构造出两个沙漏,所以有AB:CMBF:FC 1:1 ,因止匕 CM 4,根据题意有CE 3 ,再根据另£ ABGSA ABE11连(44 2)

37、AE, EFGB:GE3211AB: EM 4:7SA AEFSA ABF ： S AEFBG:GE4：7,所以 S>A ABGS»A ABE(4 4112)3211F是AB、 AD的中【例24如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1, E、点， BF交EC于M,求 BMG的面积.FD:BC FH:HC 1:2,AD的中点，得EF /BD ,而EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH:CF GH :EF 2:3, 并得G、H是BD的三等分点，所以BG GH ,所以BG:EF BM:MF 2:3 , 所以 BM - BF , S BFD - S ABD11S二 二 SYABC

38、D2 252又因为BG 3BD,所以SBMG解法二:延长CE交DA于I ,S BFD130如右图,可得,AI :BC AE:EB 1:1,从而可以确定M的点的位置,BM : MF BC: IF 2:3 ,可得S BMG2 1一 S BDFBM 2BF , BG 1BD （鸟头定理）， 532 1 11一 SY ABCD -5 3 430【例25 如图，ABCD为正方形, 形PQRS的面积为多少？AMNB DEFC 1cm 且 MN2cm,请问四边（法1）由 AB/CD ,有理-PCMBEC所以MQ QC 1MC ,所以 PQ21111-MC -MC - MC ,所以 SSPQR 占 SAMCF

39、 的一，23664 4 8 ( cm2),月F 以 Sspqr - 1 (1 1 2) (cm ).63(法2)如图,连结AE,则Sabe而RBABER,所以RBEFEF而 S MBQ S ANS所以MP -MC , 3贝U S MNPEF1 3(21cm2), 因为S ABR S ANS S MBQS 16S MNP 一3-242343 33MNDC2 o 162、8 ( cm ).33MPPC '4( cm2),阴影部分面积等于32 ( cm2).3BD:DCB【例26】如右图，三角形ABC中,4:9 , CE: EA 4:3 ,求 AF : FB .【解析】 根据燕尾定理得SA

40、aobSaoc BD:CD 4:9 12:27Sa aob : Sa boc AE :CE 3:4 12:16(都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数)所以 Saaoc : Saboc 27:16 AF : FB【点评】本题关键是把4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC 3:4, AE:CE 5:6 ,求AF :FB.【解析】 根据燕尾定理得SA aobSaoc BD :CD 3:4 15:20SAaob : Sa boc AE : CE 5:

41、 6 15:18(都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数) 所以 Saaoc : Saboc 20:18 10:9 AF : FB【巩固】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC 2:3, EA:CE 5:4, 求 AF : FB .A【解析】 根据燕尾定理得 SAAOBSAOC BD :CD 2:3 10:15SAAOB : SA BOC AE : CE 5: 4 10:8（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SA AOC : SA BOC 15:8 AF ： FB【点评】本题关键是把4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本

42、质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】 如右图，三角形 ABC中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 ABC的 面积是1 ,则三角形 ABE的面积为 ,三角形AGE的面积为,三角形GHI的面积为.AA【分析】 连接AH、BI、CG .由于CE: AE 3:2 ,所以AE 根据燕尾定理， S ACG : S ABGB：D C2 AC ,故 S ABE - S ABC 2 ；555CD ：BD 2:3, S bcg ：S abg CE ：EA 3:2,所以S ACG : S ABG : S BCG4:6:9 ,则 SACGS BCG19；那么SAGE 铲

43、AGC 5 a 95；同样分析可得SA： 19 ,则EG:EH EG :EB S ACG : S ACB 4:19 , 所以 EG:GH : HB 4:5:10 ,S ACG : S ACH 4 : 9同样分析可得AG:GI : ID所以SBIE10:5: 4 ,5 G5 2S BAE 1010 51S GHI5 c 511o S BIE1919 5 19【巩固】如右图，三角形ABC中,AF : FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 GHI的面积是1 ,求三角形ABC的面积.EE【解析】连接BG Sa agc根据燕Sa agc : Sa bgcAF : FB3:2 6:4Sa a

44、bg : Sa agcBD : DC3: 29:6个于SABGC4（份），SL ABG9（份），贝 U SA ABC19（份）,因此2与SAABC19同理连接AI、CH导巨”9,注9,所以19 6 6 6SA ABC19 SA ABC19SAABC19三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC勺面积是19ABC的面积是阴【巩固】 如图， ABC中BD 2DA , CE 2EB , AF 2FC ,那么影三角形面积的倍.【分析】如图，连接AI . 根据燕尾定理，S BCI : S aci BD : AD所以， S ACI : S BCI : S ABI 1: 2 :4 ,那么,2:1 ,S BCI

45、S bci : S abi CF :AF 1:2,2 e 2cS ABC S ABC 1 2 47同理可知ACG和ABH的面积也都等于 ABC面积的-,所以阴影三角7形的面积等于 ABC面积的1 2 3 1,所以ABC的面积是阴影三角形 77面积的7倍.【巩固】如图在MBC中，区区里1,求:GHI%；的值.DB EC FA 2 ABC 的面积AEAEDBDC【解析】连接BG设S BGC1份，根据燕尾定理SA AGC : SA BGC AF : FB 2:1, S，bg： &agc BD : DC 2:1 ,得 S4agc 2（份）,S ABG4（份），则 SAABC7（份），因此SA

46、AGCq,同理连接AI、CH导SA ABHSa bicSAABC7SAABC方所以SaghiSA ABC【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线.【例28】 如图，三角形 ABC的面积是1, BD DE EC, CF FG GA,三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？设BGW A位于点P, BG与AE交于点QBF与AD交于点M BF与AE交于点N.连接CP CQ CM CNSa AQG根据燕尾定理,S ABP :

47、SACBPSa abp1 （份）,则 Sa ABC同理可得,Saabq7 21同理,Sa bpmASaSabDM35AG ：GC 1:2 ,5（份），所以-,Sa ABN7Sfe边形PQMNSA ABP : SA ACPBD : CDSa abp一53，所以5 353570S3边形 MNED3570-5-,翅边形NFCE423 21 422142【巩固】如图，ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少?【解析】连接CK、CI、CJ .根据燕尾定理，S ACK : S ABK CD : BD 1:2,所以s ACK : S ABK :

48、 S CBK类似分析可得Sagi1:2:4 ,那么 Sack2S ABK : S CBK111 2 4 7AG : CG 1:2,S AGK1ACK 21又 S ABJ : S CBJAF : CF那么，ScgkJ114 21152:1 , S abj : S acj BD :CD 2:1 ,可得84S ACJ根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为84,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为SCGKJ2 SAGISABE 84 2125 3柴所以四边形JKIH的面积为1 70 790【例29】右图， ABC中，G是AC的中点,F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M , AF与BG交于N

49、,已知4ABM的面积比四边形FCGN的 面积大7.2平方厘米，则 ABC的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM、CN .根据燕尾定理，1c& ABMSA ABC，5再根据燕尾定理,Sa ABM : SacbmAG:GC 1:1 ,SA ABM : SA ACMBD ：CD1:3 ,所以Sa ABN : Sa CBNAG:GC 1:1SA ABN : SA FBNSA CBN : SA FBN4:3 ,所以 AN : NF,所以4:3 ,那么SZ ANGSA AFC所以Sfcgn1 Sa AFC7258 s ABC 根据题意，有1s ABC SA ABC 5287.2 ,可得 SA AB

50、C336 （平方厘米）【例30如图，面积为l的三角形ABCDX E、F、GH I分别是AB BCCA的三等分点，求阴影部分面积.QCFGB【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI与CD勺交点为M AF与CD勺交点为N, BI与AF的交点为P, BI与CE的交点为Q连接AM BN CP求 S四边形ADMI : 在ABC中，根据燕尾定理,SA ABM : SA CBMAI : CI1 : 2 SA ACM : SA CBMAD : BD 1:2以 SA ABM1"加，则 SA cbm2 （份），SA ACM1（伤），SA ABC4（份）,所以SA AB

51、MSAACMSA ABC , 4所以SA ADM一SA ABM 3一SA ABC , S AIM12一SA ABC , 12所以 S3边形 ADMI（一） SA ABC12 12SA ABC, 6同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC面积的16求S五边形DNPQE :在AABC中，根据燕尾定理SA ABN : SA ACNBF :CF 1: 2 SA acn : SABCNAD :BD1:2,所以SA ADN1SSA ABN 3- SA ABC3 7（IAB-同理S> BEQ- SA ABC21 ABC施八、SA ABP : SA ACPBF :CF 1:2, SAabp：Sacbp AI :CI1:2SA ABP- SA ABC5SE边形 DNPQESA ABPSAADNSABEP5 211 SASA ABC21HS 105 sAABC同理另外两个五边形面积是4ABC面积的七SK影111053禺70【例31如图，面积为l的三角形ABO, D