朝阳区2019届高三一模数学(理)试题及答案

1、朝阳区2019年高三一模数学(理)2019本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项已知集合 A x|x 1,集合B x|x2 4,则AI2.A. x|x 2 B.x|1 x 2 C x|1x 2在复平面内，复数 z1 2ii对应的点位于.第三象限.第四象限3.1(x)4的展开式中的常数项为 x12A.124.若函数f (x)2x,10g 2 x,1,1,则函数f (x)的值域是5.A

2、. (,2),2. 0,) D如图，函数f(x)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则A.f(x)sin(2x,0) U (0,2)B.f(x)sin(4x一) 6C.f(x)cos(2xf (x)的解析式可以是D. f(x) cos(4x ) 6、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.必要而不充分条件.既不充分也不必要条件B.2俯视图D.4314, 10, 8.若这三天中至少有一天开车上班的职第二部分(非选择题共110分)10.执行如图所示的程序框图，则输出的 x值为11.在极坐标系中，直线 cos 1与圆2 / 13第1。题图y6.记不等式组 yykx

3、A.充分而不必要条件BC.充分必要条件D7.某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为的体积为A . 41),则该三棱锥8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是A. 5 B . 6 C7D829.双曲线乙y2 1的右焦点到其一条渐近线的距离是44cos相交于A,B两点，则AB12.能说明“函数 f(x)的图象在区间 0,2上是一条连续不断的曲线.若0,83f(0) f(2) 0,则f (x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是x 3,所表示的平面区域为D . “点(1,1) D” 是 “ k 1” 的正(主)视图侧(左)视

4、图n=n+l13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图 2所示）.上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 .图114.在平面内，点 A是定点，动点“ uuur uuurB,C 满足 | AB | | AC | 1 ,uururAB ACuuur uuuuuuir P|AP =

5、AB+ AC,1 2所表示的区域的面积是 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .（本小题满分13分）在 ABC中，a 历， A 120 , 4ABC的面积等于通，且b C.（I ）求b的值；（n）求cos2B的值.16 .（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40分钟）.将统计数据按5,10）,10,15）,15,20）, L ,35,40分组，制成频率分布直方图：17 / 13频率/组距假设乘客乘车等待时间相互独立.(I)在上班

6、高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客 A , B乘车等待时间都小于 20分钟”的概率;(n)从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于 20分钟的人数,用频率估计概率，求随机变量 X的分布列与数学期望.17.(本小题满分14分)如图，在多面体 ABCDEF中，平面 ADEF 平面ABCD .四 边形ADEF为正方形，四边形 ABCD为梯形，且 AD/BC ,BAD 90 , AB AD 1, BC 3.(I )求证：AF CD ;(n)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；(m)线段 BD上是

7、否存在点 M ,使得直线CE/平面AFM ?若存在，求-BM的值；若不存在，请说明理BD由.18 .(本小题满分13分)已知函数f(x)蛇x) (a R且a 0).x(l)当a 1时，求曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程;(n)当 a 1 时，求证：f(x) x 1;(in)讨论函数 f(x)的极值.19 .(本小题满分14分)26交于已知点M(xo,yO)为椭圆C:x y2 1上任意一点，直线l : x0x 2y0y 2与圆(x 1)2 y2A,B两点，点F为椭圆C的左焦点.(I )求椭圆C的离心率及左焦点 F的坐标；(n)求证：直线l与椭圆C相切；(出)判断 AFB是否为定值

8、，并说明理由.20 .(本小题满分13分)在无穷数列an中，a1,a2是给定的正整数，an 2 an 1 an , n N* .(I)右 a13, a21 ,写出 a9, a)o,aoo 的值；(n)证明：数列an中存在值为0的项；(出)证明：若a(,a2互质，则数列an中必有无穷多项为1.朝阳区2019年高三一模参考答案、选择题：（本题满分 40分）题号12345678答案BDCAACDB、填空题：（本题满分 30分）题号91011121314答案112282y （x 1）2 （答案不唯一）24334023三、解答题：（本题满分 80分）15 .（本小题满分13分）解：（I）由已知得2 (2

9、1)2=b2一 1 一 一 一 一S= -bcsin A=、3,2c 2bccos120 .整理得bc=4,22b c =17.解得b=1,或 b=4,c=4,c=1.8分a b(n)由正弦定理，sin A sin B即 sin B2114所以 cos2B=1 2sin2 B 1 2(7)2 13 .13分141416 .(本小题满分13分)解：(I)设 M表示事件“乘客 A乘车等待时间小于 20分钟”，N表示事件“乘客 B乘车等待时间 小于20分钟”，C表示事件“乘客 A,B乘车等待时间都小于 20分钟”.由题意知，乘客 A乘车等待时间小于20分钟的频率为(0.012 0.040 0.048

10、) 5 0.5,故 P(M )的估计值为 0.5.乘客B乘车等待时间小于 20分钟的频率为(0.016 0.028 0.036) 5 0.4,故 P(N)的估计值为 0.4.又 P(C) P(MN) P(M) P(N)故事件C的概率为1 . .6分5(n)由(i)可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4, , 2所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为一52显然，X的可能取值为0,1,2,3且XB(3,g).所以 p(x 0) c0(3)3p(x 1) c3- (3)2 区;51255 5125P(X 2) C咕)2 3 表 P(X 3) C3(2)3 短 55 1255125

11、故随机变量X的分布列为X0123P2712554125361258125l、，八 26,、EX 3 . .13 分5 517.（本小题满分14分）解：（I）证明：因为 ADEF为正方形，所以AF AD .又因为平面 ADEF 平面ABCD ,且平面ADEF I平面ABCD AD ,所以AF 平面ABCD .所以AF CD . 4分（n）由（I）可知， AF 平面 ABCD ,所以 AF AD , AF AB .因为 BAD 90 ,所以AB, AD, AF两两垂直.分别以AB, AD,AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.因为 AB AD 1 , BC 3,所以 A(0,0,0),

12、 B(1,0,0), C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1),F(0,0,1),uuruuiruuur(出)设 BM (0,1),BD设 M X1,y1，Z1 ,则 x 1, yz ( 1,1,0),所以 xi1, yi , zi0,所以 M 1, ,0 ,uuuu所以 AM 1, ,0 .uuuum AM 0：设平面AFM的一个法向重为 m (x0,y0,z0),则 uurm AF 0.因为 AFr 0,0,1 ,所以 (1)x0Vo 0,z 0.令 X0，则 y01 ,所以 m ( ,1,0).uuu在线段BD上存在点M ,使得CE平面AFM等价于存在0,1,使得m CE

13、 0.uuuuuu因为 CE 1, 2,1 ,由 m CE 0,所以 2(1) 0,-2解得 一0,1, 3BM 2所以线段BD上存在点M ,使得CE平面AFM ,且2M 2. .14分BD 318 . (本小题满分13分)解：(I)当a 1时,f(x)ln x1 ln x.所以 f (x) 2xx因为 f (1) 1, f(1) 0 ,所以曲线yf (x)在(1,f(1)处的切线方程为 y x.3分(n)当 a 1 时，f(x)皿一). x函数f (x)的定义域为(，0) .不等式f (x) x 1成立 ln( x) x 1成立 ln( x) x2 x 0成立. x2设 g(x) ln( x

14、) x x (x (,0),则 g (x)2x 12x2 x 1 ( 2x 1)(x 1)xxx当x变化时，g (x), g(x)变化情况如下表：x(,1)1(1,0)g (x)十0一g(x)极大值所以 g(x) g( 1).因为g( 1) 0 ,所以g(x) 0 ,所以 lnLl x 1 . .8分x(出)求导得f (x) 11n(ax).令f (x) 0 ,因为a 0可得x e . xa当a 0时，f(x)的定义域为 0,+.当x变化时，f(x), f(x)变化情况如下表：x(0,-) ae a二) af (x)十0一f(x)极大值e a此时f (x)有极大值f (-) 一，无极小值. a

15、 e当a 0时，f(x)的定义域为 ，0,当x变化时，f(x), f(x)变化情况如下表:x(,e) aeae(一 ,0) a此时f(x)有极小值f (-) a.13分f (x)一0十f(x)极小值-,无极大值.e19 .(本小题满分14分)解：(I)由题意 a 应，b 1 , c Oa b2 一，(x 1)2 y26, /日 20时，由得(y°x0x 2y0y 2 1所以离心率e 上丝,左焦点F( 1,0) . .4分a 2(n)当y0 0时直线l方程为x 应或x 隹，直线l与椭圆C相切.2Ly2122222当 y00时，由 2y，得(2y°xo)x4XoX4 4y00,

16、XoX 2y0y 2 2由题知，x0 y2 1 ,即 x2 2y2 2, 2所以(4x0)2 4(2y2 x2)(4 4y2)2216x0 2(1 y。)22=16(x0 2y0 2) 0 .8分故直线l与椭圆C相切.(出)设 A(x1,y3 B(x2,y2),当 y0 0 时，x1 x2, y1y2, xJ2 ,ULU UJU22FA FB (x1 1)2 y2 (x1 1)2 6 (x1 1)2 2x12 4 0,LUU UUL所以 FA FB ,即 AFB 900.当y02221)x2 2(2y2 x0)x 2 10y2 0,则xy%2(2y2%)x2251 V。x1x22 10y(2

17、d 2'1 Vo2x0 02x1x24y0x2)1Vo25x。 4x。 42 2y2uuu uuu因为 FA FB (Xi 1,yi)(X2 1,y2)X1X2 Xi X2 1 V1V2一2_2-224 20y0 8y0 4% 2 2y05% 4% 42 2y02 2y2225(X2 2y2) 10 02 2y0,ULU UUU0所以 FA FB ,即 AFB 900.故 AFB为定值90°. .14分20.(本小题满分13分)解:(I) a9 0,a10 1,a100 1 . .3分(II)反证法：假设 i, a,0.由于an 2an 1an ,记 MmaX a1,a2.则

18、 a M ,a2 M .则 0 a3a2 alM 1,0 a4a3 a2M 1,0 a5 a4a3 M2,0%a5a4 M 2,l,依次递推,有0a7a6a5M3,0 %a7a6 M 3,则由数学归纳法易得 a2kl M k, k N . 2 k I,当k M时，a2k 1 0,与a2k1 0矛盾.故存在i ,使a, =0.所以，数列an必在有限项后出现值为 0的项. .8分(III)首先证明：数列an中必有“ 1”项.用反证法，假设数列an中没有 T 项，由(II)知，数列an中必有“ 0”项，设第一个“ 0”项曷m (m 3),令一一*am 1 p , p 1, p N ,则必有 am 2 p ,于是，由 p am 1 | am 2 am 3 11P am 3 |,am 3 2p ,因此 p 是 Hm 3 的因数，由 p am 2 | am 3 Hm 4 112P Hm 4 | ,贝U Hm 4P或3p ,因此p是am 4的因数.依次递推，可得p是a1,a2的因数，因为p 1,所以这与a1,a2互质矛盾.所以，数列an中必