两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案

1、两角和与差的余弦公式一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识 基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、 求值等三角问题 的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应 用。二、学情分析：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于 高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。 他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的 学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识

2、基础。三、教学目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。四、教学重点和难点:教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。五、教学工具：多媒体六、教学方法：讲授法，探究法七、教学过程：教学过程设计意图1、判断3是第几象限角？它的正弦值与余弦值是多少？它的4终边与单位圆的交点坐标是什么？基 础 练 习2、 若有两点A(1,0),B(1,J3),则AB两点间的距离是2 23、填值：cos60, cos45.4、cos15？提问：1、 角 的终边与单位圆的交点坐标是什么？如何研究角的

3、 三角比？2、平面内两点A(x1,y1), B(x2,y2),则AB两点的距离为IABJ(x X2)2 (y y2)2。通过做题和 简述每题所 用知识点使 学生回顾所 学知识、为新 课的推进做 准备。引 入 新 课求cos15的值有难度，先回答下列冋题：Ql 15可以用哪两个特殊角作差表示？Q2 cos15可以用这两个特殊角的三角函数值作差表示吗？我们知道 cos15o cos(60o 45o) cos60o cos 45o , 先从cos15猜一猜cos()公式的结构形式，AL 恵晁 2 1 73、,cos15 () =？4222怎么计算cos(60o 45o),是我们本节课所研究的问题。【

4、探究】cos()公式的结构形式？研究问题遵循从特殊到一般的规律，研究两角和与差的余弦公式也是。先看几个特殊角，寻找规律：通过求解cos15 ,引 入对两角差 的余弦公式 的探讨让学生通过 特殊值在转 化到一般情 况，符合学生 的认知规律。cos(60 30)cos60cos30Sin 60Sin 302丄22血2丄26 / 6公 式 推 导设、是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐Qlycos(120 60)cos120cos60Si n120sin 60111灵22222猜想：cos( ) CoS ?CoS Sin ? Sin ?通过探究我们猜想得出cos()的公式，从猜想到结论还需要严

5、格的证明。提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何 研究 的三角比呢？标系的原点，始边都与X轴的正方向重合，如图 1它们的终 边OA、OB分别与单位圆相交于A、B两点。Q2 AOB角度能用、表示吗?通过一系列 问题的设置 找出相等的 数量关系，从 而推导出公 式Q3我们要研究 AOB的三角比，必须要把 AOB位置放在什 么地方？怎样达到目的？答：始边旋转到与X轴的正方向重合。通过旋转达到目的。Q4:将终边OA、OB绕O旋转 ，转到OA和OB的位置， 则A， B的坐标是什么？X),si n()Q5这两个图中，出现了及的三角比，观察两图,旋转过程中哪些量不变，两图中哪些量与我们的研究目标

6、有关，能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系？说明：找到I ABl IAB |是难点，教师进行了适时点拨，利用变量替 换的方法得 出两角和的 余弦公式学生找到了这个关键数量关系.证明：T AB I I AB IIABI .'(cosCoS )2 (SinSin )2.2 2(cos ?cos Sin ?Sin )IAB I .cos( ) 12 sin2().2 2cos( ). cos( ) cos ?cos Sin ?Sin这个公式叫做两角差的余弦公式。它对任意角和 都成立。第一关：小试身手请用特殊角分别代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？(选择的特殊角可以是 30

7、76; 60° 45°等)(1) cos150 ;(2) cos1050 ;(3) cos750 .总结：可以利用两角和与差的余弦公式求非特殊角的三角比。Q6:根据两角差的余弦公式你能说出cos()的计算公式吗？用 代替，可得到两角和的余弦公式：cos( ) cos ?cos Sin ? Sin .由此得到两角和与差的余弦公式：归纳公式特 征有利于学 生记忆cos()cos?cosSin?Sincos()cos?cosSin?SinQ7:你能归纳上述两角和与差的余弦公式在结构上的特征吗?(1) 左右符号互异；(2) ccss, “酷酷与帅帅”。第二关：温故知新让学生发现C(

8、 ± )公 式是诱导公 式的推广。若 固定，分别用,-代替，你将会发现什么结论呢？(1)cos()(2)cos()2例 题 精 讲第三关：各显神通总结：诱导公式是两角和与差的余弦的特殊情况。倘若让你对G± )公式中的、 自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1) cos() 二倍角公式， 为以后学习 做铺垫总结：两角和与差的余弦公式是后面学习二倍角公式的基础。下面通过两个例题，巩固一下今天所学的两角和与差的余 弦公式。例 1、cos23 cos22 sin 23 sin 22例1让学生学会逆用公式变：cos 23 cos222例2、已知Sin-,3cos()的值。Sin 157 sin( 22 )(=),co