2013高中数学精讲精练新人教版第07章立体几何初步

1、4复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的及角与距离的求解转化成空间向量的运算。第 1 课 空间几何体【考点导读】1. 观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3通过观察用两种方法（同表示形式；投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计

2、算公式。【基础练习】1一个凸多面体有 8 个顶点，如果它是棱锥，那么它有 14条棱， 8个面； 如果它是棱柱，那么它有 12条棱 6个面。2.（1）如图，在正四面体 ABCD 中，E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心，则EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 。AF ·· EBCG ·D（2）如图，E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是图的 （要求：把可能的图的序号都填上）.【范例导析】例 1下列命题中，假命题是 （1）（3）。（选出所有可能的）（1）有两

3、个面互相，其余各个面都是四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。例 2 DA¢B¢C¢是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若DA¢B¢C¢的面积为3 ，那么ABC 的面积为。： 2 6 。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实

4、物图元素与直观图元应关系。特别底和高的对应关系。例 3（1）画出下列几何体的三视图间的对（2）某物体的三视图如下，试该几何体的形状分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。：（1）这两个几何体的三视图分别如下：（2）该几何体为一个正四棱锥。点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征， 主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体

5、的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。【反馈演练】1+ 2p2p1一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。2如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，R2 3水面高度恰好升高 r，则=r。3：水面高度升高 r，则圆柱体积增加R2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此4R2 32 3有 r =R r。故=32。为。3r33点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。3在ABC 中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（），若将ABC 绕直线 BC 旋转3一周，则

6、所形成的旋转体的体积是 p 。24空间四边形 ABCD 中， AC = 8 ，BD = 12 ，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA边上的点，且 EFGH 为_ (16 , 24 ) _。四边形，则四边形 EFGH 的周长的取值范围是5三棱锥 P - ABC 中， PC = x ，其余棱长均为 1。（1） 求证： PC AB ；（2） 求三棱锥 P - ABC 的体积的最大值。解：（1）取 AB 中点 M ， DPAB 与DCAB 均为正三角形， AB PM , AB CM ， AB 平面 PCM 。 AB PCPCA(2)当 PM 平面 ABC 时，三棱锥的PM ，MB

7、此时V= 1 S× PM= 1 × 3 × 3 = 1DABCmax334286已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心 O1 且于母线 AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线.（1） 求圆锥的母线与底面所成的角；（2） 求圆锥的全面积解: （1）设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l， 由题意得：pl = 2pR ,R = 1 ,即cos ACO =1l2所以母线和底面所成的角为600.(2)设截面与圆锥侧面的交线为 MON，OO = 1 AB.其中 O 为截面与 AC 的交点，则 OO/AB 且112在截面 M

8、ON 内，以 OO1 所在有向直线为 y 轴，O 为原点，建立坐标系， 则 O 为抛物线的顶点，所以抛物线方程为 x2=2py，点 N 的坐标为（R，R），代入方程得：R2=2p（R），得：R=2p，l=2R=4p.圆锥的全面积为pRl + pR2= 8pp2 + 4pp2= 12pp2 .说明：将立体几何与几何相, 颇具新意, 预示了高考命题的新.第 2 课平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。2掌握两条直线之间的与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。3理解反证法证明的思路，会用反证法进行相

9、关问题的证明。【基础练习】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3）。（1） A Îa , B Îa ， AB Îa （2） a Î a , a Î b ，a I b = a （3） A Î a, a Ì a ， AÎa （4） A Ï a, a Ì a ， A Ïa 2下列推断中，错误的是 （4） 。（1） A Î l, A Îa , B Î l, B Îa Þ l Ì a（2） A, B, C 

10、06;a , A, B, C Î b ，A,B,C 不共线Þ a , b 重合（3） A Îa , A Î b , B Îa , B Î b Þ a I b = AB（4） l Ë a , A Î l Þ A Ïa3下列命题的真假，真的打“”，打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）A1D1E D（5）两条相交直线可以确定一个平面（）B1（

11、6）三条直线可以确定三个平面（7） 一条直线和一个点可以确定一个平面（8） 两两相交的三条直线确定一个平面（××××××）BC4如右图，点 E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，则过点 E 与直线 AB 和 B1C1AC1都相交的直线的条数是： 1条5完成下列证明，已知直线 a、b、c 不共面，它们相交于点 P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求证：BD 和AE 是异面直线证明：假设共面于g，则点 A、E、B、D 都在平面_内QAÎa，DÎa， &

12、#204;.QPÎa，PÎ .QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc _ _Ìg，_Ìg，这与 BD、AE ：假设 BD、AE 共面于g，则点 A、E、B、D 都在平面 g 内。AÎa，DÎa， a Ìg.PÎb，BÎb，PÎc，EÎc.BD、AE 是异面直线PÎa，PÎ g . b Ìg，c Ìg，这与 a、b、c 不共面【范例导析】例 1已知ABCD ，从平面 AC 外一点O 引向量OE = kOA,OF =

13、 KOB,OG = kOC,OH = kOD ，ODCAB（1）求证：四点 E, F , G, H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG HG分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，也可以转化为直线共面的条件即几何证法。EF解：法一：（1）四边形 ABCD 是四边形， AC = AB + AD ， EG = OG - OE ，= k × OC - k × OA = k(OC - OA) = k AC = k (AB + AD)= k(OB - OA + OD - OA) = OF - OE + OH - OE= EF + EH E, F , G, H

14、 共面；（2） EF = OF - OE = k(OB - OA) = k × AB ，又 EG = k × AC ， EF / AB, EG / AC所以，平面 AC / 平面 EG EF = OF - OE OE = kOA,OF = KOB,法二：（1） EF = k(OB - OA) = k AB EF / AB同理 HG / DC又 AB / DC EF / HG E, F , G, H 共面；（2）由（1）知： EF / AB ，从而可证 EF / 面ABCD同理可证 FG / 面ABCD ，所以，平面 AC / 平面 EG 点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学

15、会灵活运用。例 2已知空间四边形 ABCD.(1) 求证：对角线 AC 与 BD 是异面直线;(2) 若 ACBD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试(3)若 ABBCCDDA,作出异面直线 AC 与BD 的公垂线段. 分析：证明两条直线异面通常采用反证法。四边形 EFGH 的形状;证明：(1)（反证法）假设 AC 与 BD 不是异面直线，则 AC 与BD 共面， 所以 A、B、C、D 四点共面这与空间四边形 ABCD 的定义所以对角线 AC 与BD 是异面直线1(2)解：E,F 分别为 AB,BC 的中点,EF/AC,且 EF= AC.21同理 HG/AC,且

16、HG= AC.EF2且相等 HG,EFGH 是四边形.又F,G 分别为 BC,CD 的中点,FG/BD,EFG 是异面直线 AC 与BD 所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH 是矩形.(3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求.点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。例 3如图，已知 E，F 分别是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 AA1 和棱CC1 上的点，且D1AE = C F ，求证：四边形 EBFD 是C1F四边形11AB1简证：由 AE = C F 可以证得DABE D

17、C D F111 1D所以 BE = D1F又可以由正方体的性质证明 BE / D1FCEAB所以四边形 EBFD1 是四边形例 4：如图，已知平面a , b ，且a（）求证： AB 平面 PCD ；b = AB, PC a , PD b , C, D 是垂足（）若 PC = PD = 1,CD =2 ，试平面a 与平面 b 的位置关系，并证明你的结论解：（）因为 PC a , AB Ì a ，所以 PC AB 同理 PD AB 又 PCPD = P ，故 AB 平面 PCD （）平面a 平面 b 。证明如下：设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ，aPBCbDA连结CH 、 DH

18、 因为 AB 平面 PCD ，所以 AB CH , AB DH ， 所以ÐCHD 是二面角C - AB - D 的平面角又 PC = PD = 1,CD =2 ，所以CD2 = PC 2 + PD2 = 2 ，即ÐCPD = 900 在平面四边形 PCHD 中， ÐPCH = ÐPDH = ÐCPD = 900 ，所以ÐCHD = 900 故平面a 平面 b 【反馈演练】1题（对的打“”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （）（2） 两线段 AB、CD 不在同一平面内，如果 AC=BD，AD=BC，则

19、 ABCD（3） 在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60º （4） 四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （）：（1）× （2）×（3）（4）×2. 定点 P 不在ABC 所在平面内，过 P 作平面，使ABC 的三个顶点到的距离相等， 这样的平面共有 4 个。3. 给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线 a,b,c 中，a 与 b 共面且 b 与 c 共面，则 a 与 c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(

20、2)。4如图，已知ab = l, A Î l, B Î l, （A,B 不重合）lA过 A 在平面内作直线 AC，过 B 在平面内作直线 BD。求证：AC 和BD 是异面直线。证明：（反证法）若 AC 和BD 不是异面直线，D设确定平面，则由题意可知：平面和都过 AC 和 AC 外一点 B，所以两平面重合。同理可证平面和也重合，所以平面和也重合。这与已知条件平面和相交所以 AC 和 BD 是异面直线。第 3 课空间中的关系【考点导读】1掌握直线和平面、两个平面的判定定理和性质定理。2明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。3要

21、能灵活的对“线线【基础练习】”、“线面”和“面面”进行转化。1若a、b 为异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是异面或相交。CB2给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相. 垂直于同一平面的两个平面互相.若直线l1, l2 与同一平面所成的角相等,则l1, l2 互相.若直线l1, l2 是异面直线,则与l1, l2 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是4个。3对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l垂直。4. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线，、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：ac，bc Þ ab；ar，br

22、Þ ab；c，c Þ；r，r Þ；ac，c Þ a；ar，r Þ a其中正确题是。【范例导析】例 1如图，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 是求证：AB平面 EFG证明 ：面 EFGH 是截面点 E，F，G，H 分别在 BC，BD，DA，AC 上四边形EH面 ABC，GF面 ABD，由已知，EHGFEH面 ABD又EH面 BAC，面 ABC面 ABD=ABEHABAB面 EFG例 2如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点M 在 B1C 上，并且 CM=DN.求证:MN平面 AA1B1B.分析：“线线转化方式

23、。”、“线面”、“面面”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种简证：法 1：把证“线面”转化为证“线线”。即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN，作线即可。”。连 CN 并延长交直线 BA 于点 P，法 2：把证“线面”转化为证“线线D1连 B1P，就是所找直线，然后再设法证明 MNB1P.C1法 3：把证“线面”转化为证“面面”。A1过 M 作 MQ/BB1 交BC 于 B1，连 NQ,则平面 MNQ 与平面 ABB1A1，CABEB1MDNF从而证得 MN平面 ABB1A1.点评：证明线面或面面的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。【反馈演练】1对于平面a 和共面的直线m 、 n,

24、下列命题中真命题是（3）。（1）若m a , m n, 则 na（2）若ma,na,则 mn（3）若m Ì a , na ,则 mn（4）若m 、 n 与a 所成的角相等，则 mn2. 设 a、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是（2）。（1）经过直线 a 有且只有一个平面于直线 b（2）经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b（3）存在分别经过直线 a 和b 的两个互相的平面（4）存在分别经过直线 a 和b 的两个互相垂直的平面3关于直线 a、b、l 及平面 M、N，下列命题中正确的是（4）。（1）若 aM，bM，则 ab（3）若 a M，b M，且 la，lb，则

25、 lM（2）若 aM，ba，则 bM（4）若 aM，aN，则 MN4“任意的a Ì a ，均有 a / b ”是“任意b Ì b ，均有b / a ”的 充要条件。5.在正方体 AC1 中，过A1C 且于 AB 的截面是面 A1B1CD.6在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E,F 两点，则四边形 EBFD!的形状为四边形。7. 已知为四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面证明 连交于，连， 则为的中位线， Ë 平面，平面，平面8如图，已知 P 是四边形 ABCD 所在平面外一点， M 、 N

26、分别是 AB 、PC 的中点（1）求证：MN / 平面 PAD ；（2）若 MN = BC = 4 ，PA = 4所成的角的大小略证：（1）取 PD 的中点H，连接 AH，Þ NH / DC, NH = 1 DC23 ， 求异面直线 PA 与 MNPÞ NH / AM , NH = AM Þ AMNH 为四边形CABÞ MN / AH , MN Ë PAD , AH Ì PAD Þ MN / PADM(2): 连接 AC 并取其中点为 O，连接 OM、ON，则 OM且等于 BC 的一半，ON且等于 PA 的一半，所以

27、8;ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角，由 MN = BC = 4 ，PA = 4 3 得，OM=2，ON= 2 3所以Ð=O3N00M，即异面直线 PA 与 MN 成300 的角9两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB，且 AM=FN，求证： MN平面 BCE。证法一：作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足，则 MPAB，NQAB。MPNQ，又 AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45°RtMCPRtNBQMP=NQ，故四边形 MPQN 为MNPQCDPA四边形BNQFEPQ Ì 平面 BCE，

28、MN 在平面 BCE 外，MN平面 BCE。证法二：如图过 M 作 MHAB 于 H，则 MHBC， AMAH=ACAB连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得 FN =DCAHBFAB NH/AF/BE由 MH/BC, NH/BE 得:平面 MNH/平面 BCEABNMN平面 BCE 。FE第 4 课空间中的垂直关系【考点导读】1. 掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。2. 线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。【基础练习】1. “直线l 垂直于平面a 内的无数条直线”是“ la ”的必要条

29、件。2. 如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是或相交。3. 在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6。4两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面系是、相交或在另一个平面内。，则这条直线和另一个平面的位置关5在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，写出过顶点 A 的一个平面 AB1D1，使该平面与正方体的 12 条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。【范例导析】例 1如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC的中点,作 EFPB 交 P

30、B 于点 F.（1）证明 PA/平面 EDB；（2）证明 PB平面 EFD.：本小题考查直线与平面能力.,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证证明：（1）连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO.底面 ABCD 是正方形,点 O 是 AC 的中点在DPAC 中,EO 是中位线,PA / EO而 EO Ì 平面 EDB 且 PA Ë 平面 EDB,所以,PA / 平面 EDB（2）PD底面 ABCD 且 DC Ì 底面 ABCD, PD DCPD=DC,可知DPDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线,PEFDC DE PC .同样

31、由 PD底面 ABCD,得 PDBC.底面 ABCD 是正方形,有 DCBC,BC平面 PDC.而 DE Ì 平面 PDC, BC DE .AB由和推得 DE 平面 PBC.而 PB Ì 平面 PBC, DE PB又 EF PB 且 DE I EF = E ,所以 PB平面 EFD.例 2如图，ABC 为正三角形，EC 平面 ABC ，BD CE ，CE CA2 BD ，M 是 EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面 BDM 平面 ECA ；（3）平面 DEA 平面 ECA。分析：（1）证明 DE DA ，可以通过图形分割，证明DEF DBA。（2）证明面面垂直

32、的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知 DM EA ，取 AC中点 N ，连结 MN 、NB ，易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM 平面 ECA。证明：（1）如图，取 EC 中点 F ，连结 DF。EC平面 ABC ，BD CE ，得 DB 平面 ABC 。DBAB ，EC BC。1BDCE ，BD CE FC ，2则四边形 FCBD 是矩形，DF EC。又 BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以 DE DA。（2）取 AC 中点 N ，连结 MN 、NB ，12M 是 EA 的中点，MNEC。12由 BDEC ，且 BD 平面 ABC ，可得四边形 MN

33、BD 是矩形，于是 DM MN。DA ，M 是 EA 的中点， DM EA 又 EA I MN M ，平面 ECA ，而 DM Ì 平面 BDM ，则平面 ECA 平面 BDM。DEDM（3）DM 平面 ECA ，DM Ì 平面 DEA ， 平面 DEA 平面 ECA。点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。例 3如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC BC 1， 2 ，DACB90°，AA1是 A1B1中点（1） 求证 C1D 平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1 上什么位置时，会使得 AB1 平面 C1DF？并证明你的结论。分析：

34、（1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得 C1D 平面 A1B。（2）由（1）得 C1D AB1，只要过 D作 AB1的垂线，它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。证明：（1）如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱，A1C1 B1C1 1，且A1C1B190°。又 D是 A1B1的中点，C1D A1B1 .AA1 平面 A1B1C1 ，C1D Ì 平面 A1B1C1 ，AA1 C1D，C1D 平面 AA1B1B。（2）解：作 DE AB1 交 AB1 于 E ，延长 DE 交

35、BB1 于 F ，连结 C1F ，则 AB1 平面 C1DF ，点 F 即为所求。C1D 平面 AA1BB ，AB1 Ì 平面 AA1B1B，I C1DC1D AB1 又 AB1DF ，DFD ，AB1 平面 C1DF。点评：本题（1）的证明中，证得 C1D A1B1 后，由 ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1平面 AA1B1B ，立得 C1D 平面 AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。【反馈演练】1. 下列命题中错误的是 （3） 。（1） 若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线（2） 若一平面经过另一平面的垂线，则

36、两个平面互相垂直（3） 若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面（4） 若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直2设 x, y, z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x z ，且 y z,则x / y ”为真命题的是（填所有正确条件的代号）x 为直线，y，z 为平面x，y 为直线，z 为平面x，y，z 为直线x，y，z 为平面x，y 为平面，z 为直线3. 在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有 4 个。4. 若 AB 的中点 M 到平面a 的距离为4 cm ，点 A 到平面a 的距离为6 cm ，则点 B 到平

37、面a的距离为_2 或 14cm 。5命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题 A 的等价命题 B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。：侧棱相等（或侧棱与底面所相等）6. 、是两个不同的平面，m、n 是平面及之外的两条不同直线.给出四个论断：mn n m以其中三个论断作为条件， 余下一个论断作为结论， 写出你认为正确的 一个命题：。：m，n， Þmn 或 mn，m，n Þ7. 在直角梯形 ABCD 中，A=D=90°，ABCD，SD平面 ABCD，AB=AD=a，S D= 2a ，在线段 SA 上取一点 E（不含端点

38、）使 EC=AC，截面 CDE 与SB 交于点 F。（1）求证：四边形 EFCD 为直角梯形；CD（2）设 SB 的中点为 M，当的值是多少时，能使DMC 为直角三角形？请给出证明.AB解：（1） CDAB，AB Ì 平面 SAB CD平面 SAB面 EFCD面 SAB=EF，CDEFÐD = 900 ,CD AD,S又SD 面 ABCD SD CD CD 平面 SAD， CD ED 又 EF < AB < CD EFCD 为直角梯形FMECD(2)当= 2 时， DDMC 为直角三角形.ABCQ AB = a,CD = 2a, BD = AB 2 + AD 2

39、 = 2a, ÐBDC = 450 BC = 2a, BC BD , SD 平面 ABCD , SD BC, BC 平面SBD .在DSBD中， SD = DB, M 为 SB 中点， MD SB . MD 平面SBC, MC Ì 平面 SBC, MD MC DDMC 为直角三角形。DAB基本不等式不等式一元二次不等式二元一次不等式组【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和

40、性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了二次不等式与相应函数、方程的和相互转化。3.线性问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解

41、决简单的线性问题。同时注意结合的思想性中的运用。第 1 课基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】a2 + b21.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分2条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2. a2 + b2 = 1,b2 + c2 = 2, c2 + a2 = 2,则ab + bc + ca 的最小值为 1 -321163.已知 x, y Î R+ ，且 x + 4 y = 1 ，则 x × y

42、的最大值为4.已知lg x + lg y = 1 ，则 5 + 2 的最小值是 2xy【范例导析】例 1.已知 x < 5 ，求函数 y = 4x - 2 +1的最大值.4x - 54分析：由于4x - 5 < 0 ，所以首先要调整符号.解： x < 5 5 - 4x > 04æö + 3 -2+3=114x - 51= - 5 - 4x +y=4x-2+ç5 - 4x ÷è1ø当且仅当5 - 4x = 1.，即 x=1 时，上式成立，故当 x=1 时， ymax5 - 4xab例 2.（1）已知 a，b 为正

43、常数，x、y 为正实数，且 += 1 ，求 x+y 的最小值。xy（2） 已知 x > 0，y > 0 ，且 x + 2 y + xy = 30 ，求 xy 的最大值分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于 xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.abbxay解:(1) 法一： 直接利用基本不等式： x+ y = (x+ y)(+) = a+b+xyyxì ay = bxìïx = a+ abïxya+b+ 2 a

44、b 当且仅当í aíïî，即时等号成立abbïïî xy = b+= 1y法二：abay由 += 1 得 x= xyy - bay + y = a( y - b ) + ab + y x + y =y - by - b+ ( y - b ) + a + babab= a + y =y - by - bay>0 得 y-b>0 x+y 2 ab +a+b x>0，y>0，a>0 由y - bìab= y - bìï y = b+ abï y - b当且仅当&

45、#237; aíïî，即时，等号成立abbïïî xx = a+= 1y（2）法一：由 x + 2 y + xy = 30 ，可得， y = 30 - x (0 < x < 30) 2 + xx)22 ( 34x)2-(+6+4+-=éù64=34 - êë(x + 2) + x + 2 úû2 + x2 + x64+ 2注意到 x)2+(= 16 可得， xy £ 18 64当且仅当 x + 2 =最大值为 18，即 x = 6 时等号成立，代入 x

46、+ 2 y + xy = 30 中得 y = 3 ，故 xy 的x + 2法二：Q x, y Î R+ ， x + 2 y ³ 2 2xy = 2 2 ×xy ，代入 x + 2 y + xy = 30 中得： 22 ×xy + xy £ 30解此不等式得0 £ xy £ 18 下面解法见解法一，下略点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.【反馈练习】1. 设 a1,且 m = loga (a +1), n = log (a -1), p

47、= log (2a) ,则 m, n, p 的大小关系为 mp2aan 2. 已知下列四个结论：若 a, b Î R, 则 b + a ³ 2ab若 x Î R- , 则 x +其中正确的是b × a a b若 x, y Î R + ,则lg x + lg y ³ 2 lg x lg y ；= 2 ；若 x Î R- , 则-=×2³2+。2222= -4 ；3.已知不等式(x + y)(1 + a ) ³ 9 对任意正实数 x, y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 6xyx 2+ y 24.

48、（1）已知： x > y > 0 ，且： xy = 1 ，求证：³ 2 2 ，并且求等号成立的条件x - y（2）设实数 x，y 满足 y+x2=0，0<a<1，求证： log (ax+ay ) log 2 + 1 。aa8解： （1）分析：由已知条件 x，y Î R + ，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有x - y ， 无法利用 x + y ³ 2 xy ， 故猜想先将所求证的式子进行变形， 看能否出现1(x - y) +型，再行论证(x - y)证明：Q x > y > 0, x - y > 0.又Q xy

49、= 1,+ y 2(x - y)2 + 2xyx 222= (x - y) +³ 2 (x - y) ×= 2 2. 等号成立x - yx - yx - y(x - y)2当且仅当(x - y) =时(x - y)2 = 2 , x - y =2,+ y 2 = 4.x2(x - y)6 +2 ,6 -2Q xy =1, (x + y)2 = 6, x + y =6. 由以上得 x =y =226 +2 ,6 -2即当 x =y =时等号成立22说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式， 这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化

50、成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式x-x 22- 11 2 1(x- ) +228 ，a x+y（2）+ a y 2a x= 2a= 2a- 1 (x - 1 ) 2 + 1 ，0<a<112288- 1 (x- 1 )2 + 111 2a+ a y 2a 8a x228 2a 81 log a (a x + a y ) log a (2a 8 ) = log a 2 +18第 2 课一元二次不等式【考点导读】1.会二次不等式，了二次不等式与相应函数、方程之间的和转化。2.能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.【基础练习】1.解不等式：13（2） x2 + x +

51、> 0（1） -3x2 + 4x + 4 > 022（4） - 4 < - 1 x 2 - x - 3 < -2（3） (2 - x - 222解：（1）原不等式化为3x2 - 4x - 4 < 0 ，为- 2 < x < 23（2）原不等式化为 x2 + 2x + 3 > 0 ，为 R（3）原不等式化为 x2 + x +1 < 0 ，为ì1（4）由2 < 1 x2 + x + 3 < 4, 得ï 2í122ïïî 2ìïx >2 -1或x &

52、lt; - 2 -1得,í-6 -1 < x <6 -1ïî x Î(- 6 -1, - 2 -1)( 2 -1, 6 -1)二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程D 的点拨：大小的比较.、以及对应方程两根2, -1)(1,é-2 ù2. 函数 y =log 1 ( x2 - 1) 的定义域为2ëû3.二次函数 y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：则不等式 ax2+bx+c>0 的是(-¥,-2) U (3,+¥)4.若不等式 x 2 + bx + c > 0 的【范例导析】-<>1，3则 b= -2_或是c=_ -3.a(x -1)例.解关于的不等式> 1(a ¹ 1)x - 2分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.(a -1)x - (a - 2)解:原不等式等价于> 0 a ¹ 1 等价于：x - 2)æ - a - 2 ö(a -1 &#