23双曲线习题课

1、2.3.3高二数学高二数学 选修选修2-1 第第二二章章 圆锥曲线圆锥曲线与方程与方程第第四四课时课时22yx.LC:1A,B35例例已已知知直直线线 与与双双曲曲线线相相交交于于两两点点. .与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线相相交交于于C C, ,D D两两点点, , 求求证证: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需证明线段分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可的中点重合即可.证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为: y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,

2、xx35k 与与相相交交于于两两点点2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 与与相相交交于于两两点点22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210kbL,D,5k30,xx35k 与渐近线相交于C两点与渐近线相交于C两点2CD210kbL,D,5k30,xx35k 与渐近线相交于C两点与渐近线相交于C两点可可见见A AB B, ,C CD D的的中中点点横横坐坐标标都都相相同同, ,从从而而中中点点重重合合. .(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立. 2. 过双曲线过双曲线x2-y2=4的右焦点的右焦

3、点F作倾斜角为作倾斜角为1050的的直线直线, 交双曲线于交双曲线于P、Q两点两点, 求求|FP|FQ |的值的值.|2,|FPFQePMQN |,|.22FPFQPMQN解解: 如右图所示如右图所示, 分别过点分别过点P、Q作作PM、QN垂直垂直于双曲线于双曲线x2-y2=4的右准线的右准线l:x= ,垂足分别为垂足分别为M、N. 则由双曲线的第二定义可得则由双曲线的第二定义可得2即得即得|cos752 2- 22,QNFQ又因为又因为 |cos75 2,2FQFQ即即所以所以2|.1cos752FQ 同理同理2|.1-cos752FP 所以所以222| |11-cos75cos752222

4、8 3.11 1cos1503-cos 75-222FPFQ点评：点评：双曲线上一点与焦点的连线段称为一条双曲线上一点与焦点的连线段称为一条焦半径焦半径, 焦半径、点准距焦半径、点准距(点到相应准线的距离点到相应准线的距离)、离心率三者之间的关系式是我们解决有关双曲离心率三者之间的关系式是我们解决有关双曲线距离的重要关系式线距离的重要关系式.3.已知直线已知直线y=ax+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于A、B两点两点.(1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点；(2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对

5、称，若存在若存在, 求求a; 若不存在若不存在, 说明理由说明理由.解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 设设A(x1, y1), B(x2, y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根它有两个实根, 必须必须0,1212222a2xx,x x3a3a 原点原点O(0, 0)在以在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0,即即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.22222a (a +1) +a+1=03a3a . (2)是否存在这样

6、的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称对称, 若存在若存在, 求求a; 若不存在若不存在, 说明理由说明理由.(3-a2)x2-2ax-2=0,4. 已知双曲线已知双曲线C的方程为的方程为 离心率离心率e= , 顶点到渐近线的距离为顶点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线求双曲线C的方程；的方程； (2)P是双曲线是双曲线C上一点，上一点，A, B两点在双曲线两点在双曲线C的的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限两条渐近线上，且分别位于第一，二象限. 若若 , , 2.求求AOB面积的取值范围面积的取值范围.2222-1(0,0),yxababAPPB 5522531解：解

7、：(1)由题意知，双曲线由题意知，双曲线C的顶点的顶点(0, a)到渐近到渐近线线ax-by=0的距离为的距离为 ,552所以所以222 5,5abab即即2 5.5abc由由2222555,2abccacab得得21 ,5abc所以双曲线所以双曲线C的方程为的方程为22-1.4yx 4. 已知双曲线已知双曲线C的方程为的方程为 离心率离心率e= , 顶点到渐近线的距离为顶点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线求双曲线C的方程；的方程； (2)P是双曲线是双曲线C上一点，上一点，A, B两点在双曲线两点在双曲线C的的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限两条渐近线上，且分别位于第一，二象限. 若

8、若 , , 2.求求AOB面积的取值范围面积的取值范围.2222-1(0,0),yxababAPPB 5522531APPB -2()(,),11mnmn(2)由由(1)知双曲线知双曲线C的两条渐近线方程为的两条渐近线方程为y=2x.设设A(m, 2m), B(-n, 2n), m0, n0.由由 得得P点的坐标为点的坐标为将将P点的坐标代入点的坐标代入 化简得化简得设设AOB=2 ,因为因为tan( )=2,又又22-1,4yx 2(1).4mn所以所以114tan,sin,sin2.255所以所以111| | sin22() 1.22AOBSOAOBmn 2 ,5,5nOBmOA 111(

9、 )() 1, ,2,23S189(1)2, ( ), (2),334SSS记记当当=1时，时，AOB的面积取得最小值的面积取得最小值2， 2 , 1 当当 时时, 函数函数 为增函数为增函数)( S易证易证:当当 时时, 函数函数 为为减减函数函数; )( S 1 ,31 当当= 时时,AOB的面积取得最大值的面积取得最大值 .313838所以所以AOB面积的取值范围是面积的取值范围是2, .,2ykxmyx2(,),2-2-mmkk,-2ykxmyx-2(,).22mmkk解法解法2: (2)设直线设直线AB的方程为的方程为y=kx+m.由题意知由题意知|k|0.得得A点的坐标为点的坐标为得得B点的坐标为点的坐标为由由 得得P点的坐标为点的坐标为,APPB 121(-),(),12-212-2mmkkkk由由由由2211| | |2211(-)()222-21 411() 1.2 4-2AOBAOQBOQABABSSSOQxOQxmmm xxmkkmk22-1,4yx 2224(1).4-mk将将P点坐标代入点坐标代入 得得设设Q为直线为直线AB与与y轴的交点轴的交点,则则Q点的坐标为点的坐标为(0,m).以下同解法以下同解法1. 点评：点评：求参数或式子的取值