解三角形题型分类讲解

1、解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习1、正弦定理及其变形asin Asin B sin C2R (R为三角形外接圆半径)(1 a2RsinA,b 2Rsin B,c2RsinC (边化角公式)ab(2) sin A ,sin B ,sin C2R2Rc (角化边公式)2R( a:b:c sin A:sin B :sin Casin A a sin A b sin B，-bsin B c sin C c sinC2、正弦定理适用情况：(1)已知两角及任一边(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a, b和A,求B时的解的情况：如果sinA sin B ,则B有唯解；

2、如果sin A sin B 1,则B有两解;如果sin B 1,贝U B有唯一解；如果sinB 1,贝U B无解.3、余弦定理及其推论cosAa2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B 22,2cab 2abcosCcosB2bc2accosC2,22a b c2ab4、余弦定理适用情况：(1)已知两边及夹角；(2)已知三边.5、常用的三角形面积公式1-q(1 ) S ABC 底同； 2 11 .一 1(2) S ABC absin C - bcsin A - casin B (两边夹一角). 2226、三角形中常用结论(1) a b c,b c a,a c b

3、(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)(2)在 ABC中，A B a b sinA sin B(即大边对大角，大角对大边).(3)在ABC, ABC ，所以 sin(A B) sinC； cos(A B) cosC； tan(A B) tan C ./八 AB C AB C(4) sin cos , cos sin .2222二、典型例题题型1、计算问题(边角互换)例1、在 ABC中，若sinA:sinB:sinC 3:5: 7 ,则角C的度数为答案：C 23例2、已知AB/, A 60 , a V3,则 a b c sin A sin B sin C答案：2例3、在锐角 ABC中，内角

4、A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=b. 求角A的大小；TI题型2、三角形解的个数 例1.在 ABC中，已知b=40,c=20,C=8T ,则此三角形的解的情况是A.有一解 B.两解C.无解 D.有解但个数不确定例2.在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()Aa 7, b 14, A 30 ;B>b25,c30, C 150 ;Cb4,c5,B30;DaJ6,bV3,B60。例3.在AABC中,bsin A<a<b,则此三角形有A.一解 B.两解C.无解 D.不确定例4,在 ABC中，a=x, b=2, B=15 ,若三角形ABCT两个解

5、，则x的取值范围例5.在 ABC中a ,b 3 (0), A 45o，则满足此条件的三角形 有几个?题型3、判断三角形形状例1在 ABC中，已知(a2 b2) sin(A B) (a2 b2) sin(A B),判断该三角形的 形状。答案：等腰三角形或直角三角形例 2 zABC中,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则 ABC为A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例3. ZXABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若六二白二焉，则4ABC 为A.锐角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.任意三角形例 4.在 ABC 中，已知3b = A&isi

6、nB,且cosB = cofC,角 A是锐角，M ABC 的形状是.例 5.在 ABC 中，若 sin A 二 2si口 Be口s C,且因in A* - sin sinC?,则ABC的形状是.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为 边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式， 从而判断出三 角形的形状；(角化边)二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系， 通 过三角包等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系， 从而判断出三角形 的形状。(边化角)题型4、求范围或最值问题例1、在锐角 ABC中，BC=1 B=2A则烹的

7、值等于,AC的取值范围为例2、在 ABC中， A 60 , BC=3则 ABC的两边 AC+AB的取值范围是例3、在 ABC中，/ B 60 , AC=；4,则AB+2BC勺最大值例4、在 ABC中，/ B 60 , AC=3 ,则 ABC的周长的最大值为例5、zABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且出地共十九二匕.(1) .求角A的大小(2)若a=1,求三角形ABC勺周长l的取值范围.题型5、面积问题例1、 ABC的一个内角为120°,并且三边构成公差为4的等差数列，则 ABC的面积为答案：I例2.设在 ABC的内角所对边的长分别是，且 b=3, c=1, ABC勺面积为

8、血，求cosA与a的值；例3:在中，角的对边分别为，。(I )求的值；(H)求的面积.例4： C的内角，C所对的边分别为a, b, c.向量日=Q,与n - fcosA, sin B)平行.(I )求；(II )若a J7, b 2求 C的面积例5.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足 (1)求ABC勺面积；(2)若c=1,求a的值.例6.在锐角 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=b .(I )求角A的大小；(H)若 a=6, b+c=8,求 ABC的面积.例 7: ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos

9、c(acosB+b cos A) c.(I)求 G(II )若c "/XABC的面积为3叵，求 ABC的周长.2题型六、边化角，角化边注意点：换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分怎么区分边化角还是角化边呢若两边都是正弦首先考虑角化边，若 sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c ,且满足csinA=acosC .(I )求角C的大小；例2在ABC,内角A, B, C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则2sin 2B sin 2Asin 2A的值为.例3已知 ABC的内角A B、C的对边分别为a、b、c, asin A+ c

10、sin C- V2asin C= bsin B.求B；若 A= 75° , b=2,求 a, c.例4在zABC,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且史必 cosB sinC a b c(I)证明：sin Asin B sinC ；(II )若 b2 c2 a2 6bc ,求 tan B .例5在ABC,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知b+c=2acosB.(I)证明：A=2B; 2(II )若ABC勺面积5=里，求角A的大小.4例6 ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.(I )若 a, b, c成等差数列，证明：sin A sinC 2s

11、in A C ；(II )若a,b, c成等比数列，求cosB的最小值.题型七、三角变换与解三角形的综合问题例 1.在zABC中，AC=6, cos R = ；* C 二彳(1) 求AB的长(2) 求。口占1一高的值变式练习.在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b, c.曲由12c - csinB(1),求角C(2).若sin(B - 9) = g ,求;sin A的值2.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c ,且3nB=2 tajiC=3(1).求角A的大小(2)若c=3,求b的长.题型八、解三角形与平面向量结合例1.在ABC中，角A, B, C所对的边分别为

12、a,b, c,且 ABC的面积为S,凝,记=2s.(1)求bin A的值(2)若C=4克,近二16求b的值变 式 练 习 1. 在 锐 角 ABC 中，向 量m 二(me(A + yjj sin h + 彳)，n =(cos B, sin B),且m X n(1) .求A-B的值(2) .若cmB = 3 4c 二 & 求BT的长 V2. 在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c , 且M 二 (a - 伫，b + 匕)，n = (b - e,h),且m II n(1)求 B(2)若卜二.13, cos(A + 了)二警，求 a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题

13、例1.在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b, c,(1).求/ABC(2)若/ A=,D为三角形ABC外一点，DB=2, DC=1,求四边形ABCEH积 的最大值。变式练习.如图，在平面四边形 ABCD中，DA, AB, DE=1, EC=/7 ,2 rEA=2,ZADC = t,且/ CBE, / BEC / BC皿等差数列. (1)求(2)求BE的长4、如图，在梯形 ABCDK 已知 AD/ BC,AD=1,BD=/Hj NCAD*，tan /ADC=-2求：(1) CD的长(2)三角形BCD勺面积课时达标训练1、在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c(

14、1) .设应 以二位蔽求证三角形ABC是等腰三角形(2) .设向量S=2 吕 in。一 t =(cos 2C , cost?), Hs 胃 t, sin A ="求 sin (了 一 B)的 值.2、在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c .已知a>b,a=5,c=6,与i口 B二.(1)求b和质nA的值(2)求+ T)的值mbcos C* m为常数.3、在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.(1)若m=2,且cosC二噂，求ccs A的值;(2)若m=4,求同i (C - B)的最大值.4、如图，在梯形 ABCDK 已知 AD/ BC,

15、AD=1,BD=JRj，ZCAD= ,tan /ADC=-2求：(1) CD的长(2)三角形BCD勺面积5、已知函数f(x)=ys i n2x - cos>(1)求f (x)的最小值，并写出取得最小值时自变量 x的取值集合;(2)设ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且 c=j氏f=。若密inR = 2sinA|,求a,b的值。6.在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知2cosB=2c-b.(1)若 cos(A+C)聆;，求 cosC 的值;(2)若b=5,AC CB - 5,求三角形ABC的面积;(3)若。是三角形ABC外接圆的圆心，且

16、tosB5 11； Ct cos C、一AB +1 AC = mAO,求m 的值 J11 IJ解三角形基础练习1、满足A 45 , c a a 2的ABC的个数为m ,则am为2、已知a 5,b 5国A 30 ,解三角形。3、在 ABC中，已知a 4 cm, b x cm , A 60 ,如果利用正弦定理解三角8.338、3形有两解，则x的取值范围是()A、x 4B、0x4 G 4 x4、在 ABC 中，若 S -(a2 b2 c2),则角 C4一5、设 R是 ABC外接圆的半径，且2R(sin2A sin2C) (T2a b)sin B ,试求 ABC 面积的最大值。6、在 ABC 中，D

17、为边 BC 上一点，BD 33 , sin B5一 ,cos13ADC 国，求 AD .57、在ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a cosB ,试确定 ABC b cosA2c ab形状。8、在 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知8sA 2cosc cosBsin C(1)求；sin A1(2)若 cosB -,b 2,求 ABC 的面积。41、在 ABC 中，若(a b c)(b c a) 3bc ,且 sin A 2sinBcosC ,贝U ABC 是 A等边三角形R钝角三角形G直角三角形D等腰直角三角形2、 ABC中若面积S=1(a2 b2 c2)则角

18、C43、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB,在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为h m , 则清源山的高度为 m。八 hsin cosh cos sinA、Bsin()sin()hsin sinh cos cossin()sin()4、ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时，cosA 2cosB-C取得最2大值，并求出这个最大值。5、在 ABC中，a,b,c分别为角 A B C的对边，且满足csinA acosC(1)求角C的大小（2）求T3sinA cos（B /的最大值，并求取得最大值时角 A,B的大小。正弦定理、余弦定理水平测试

19、题、选择题1 .在 ABC中，角 A、B C的对边分别为 a、b、c,若 a2+ c2 b2= /3ac, 则角B的值为2.A.3.5九 2冗W或二T63已知锐角 ABC的面积为3品 BC= 4, CA= 3,则角C的大小为750 B . 60° C. 450 D. 30°（2010上海高考）若 ABC的三个内角满足 sin A： sin B： sin C= 5：11 ： 13,则AABCA. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4. 如果等腰三角形的周长是底边长的 5倍，那么它的顶角的余弦值为5. （2010湖南高考）在4ABC中，角A, B